NTMFlashNo1

        Gợi ý giúp mình các câu cuối in đỏ với các bạn! Cám ơn các bạn nhiều!       

Câu 1:

c) Tính chất tứ giác điều hòa

d) Ở đây

P/s: Giải theo cách lớp 10. hơi bất tiện nhưng không sao, học trước có mất gì đâu.

Có gì mai t viết cho cách lớp 9

cho 3 số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a + b + c =3, chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

Nếu hai trong ba số $a,b,c=0$ thì $BĐT$ hiển nhiên đúng

Nếu ba số $>0$ ta có:

$BĐT$ trên tương đương với:

$\sum \frac{a}{a+b+\frac{a+b+c}{3}}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{3a}{4a+4b+c}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4a(a+b+c)}{4a+4b+c}-a \right ]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)$

Ta có:

$\frac{9}{4a+4b+c}=\frac{9}{(2b+c)+2(2a+b)}\leq \frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}$

$\Rightarrow \sum \frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{1}{9}\sum ca(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b})=\frac{1}{9}\sum a$

$(đúng)$

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho $\bigtriangleup$ABC nhọn AB < AC . Đường cao BD , CE của $\bigtriangleup$ABC cắt nhau ở H . DE cắt BC ở F , M là trung điểm của BC . CMR : FH vuông góc với AM

Gọi $(O_{1}),(O_{2})$ là đường tròn đường kính $AH,MH$

$\Rightarrow O_{1}O_{2}\parallel AM$

$AH\cap BC\equiv K$

Nên $(F,K,B,C)=-1$

$\Rightarrow FK.FM=FB.FC$ (theo hệ thức $Maclaurin$)

Dễ thấy $BCDE$ nội tiếp

$\Rightarrow FB.FC=FD.FE$

$\Rightarrow FK.FM=FD.FE$

$\Rightarrow \Im _{F/(O_{1})}=\Im _{F/(O_{2})}$ ($\Im _{F/(O_{1})}$ là phương tích của $F$ với $(O_{1})$)

Mà $\Im _{H/(O_{1})}=\Im _{H/(O_{2})}=0$

Do đó, $FH$ là trục đẳng phương của $(O_{1}),(O_{2})$

Do đó,$FH\bot O_{1}O_{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$

$\boxed{43}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ các đường cao $BE,CF,AD$ cắt nhau tại $H$, lấy $H$' đối xứng với $H$ qua $BC$, $H'E$ cắt $(O)$ tại $M$. Chứng minh $BM$ đi qua trung điểm $EF$.

Hình học VMF.png

Dễ thấy $D$ là trung điểm của $HH'$

$H$ là tâm nội tiếp tam giác $DEF$

$ABDE$ nội tiếp nên $\widehat{FBE}=\widehat{HDE}$

$\Rightarrow \triangle EFB\sim \triangle EHD(g.g)$

$K$ là trung điểm $EF$

$\Rightarrow \frac{EF}{HE}=\frac{BF}{HD}$ hay $\frac{EF}{2HE}=\frac{BF}{2HD}$

$\Rightarrow \frac{FK}{HE}=\frac{BF}{HH'}$

$\Rightarrow \triangle KFB\sim \triangle EHH' (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{FBK}=\widehat{HH'E}=\widehat{ABM}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Tham khảo tại đây

Cho (O) đường kính AB = 2R. M là một điểm cố định nằm giữa A và O. (M khác A, O).  Kẻ dây CD của đường tròn tâm (O) vuông góc AB tại M. Trên cung nhỏ BC lấy điểm N (N khác B, C), dây AN cắt CD tại K.

a) CM: Tứ giác BMKN nội tiếp và góc AKD = góc ADN.

b) CM: AC^2 = AK.AN ; AK.AN + AB.BM = 4R^2.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD cắt ND tại E. CM: tam giác CNE cân.

Đường tròn tâm G ngoại tiếp tam giác CAN. CM: C, G, B thẳng hàng.

d) Khi N di chuyển trên cung nhỏ BC thì E di chuyển trên đường nào?

 

Mọi người giúp mình câu c) và d) nhé. Xin cảm ơn!

$c)$ Dễ thấy $AN$ là phân giác $\widehat{CNE}$

        Ta có: $\widehat{CKN}=\widehat{AKD}=\widehat{NBA}=\widehat{ADN}=\widehat{NKE}$

         Do đó, $KN$ là phân giác $\widehat{CKE}$

     $\Rightarrow Q.E.D$

(Đường tròn tâm G ngoại tiếp tam giác CAN. CM: C, G, B thẳng hàng.) câu này sai!

$d)$ Đường tròn tâm $A$ bán kính $AE=AC$ không đổi (Do $M$ cố định)

Cho $\triangle ABC$, trên các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ lần lượt lấy các điểm $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ sao cho : $\frac{AC_{1}}{AB}= \frac{BA_{1}}{BC}= \frac{CB_{1}}{CA}$

$CMR$ : $\triangle ABC$ và $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ có cùng trọng tâm.

$\triangle ABC$ và $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ cùng trọng tâm

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \left ( \frac{BA_{1}}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{CA_{1}}{BC}\overrightarrow{AB} \right )+\left ( \frac{AB_{1}}{AC}\overrightarrow{BC}+\frac{CB_{1}}{AC}\overrightarrow{BA} \right )+\left ( \frac{AC_{1}}{AB}\overrightarrow{CB}+\frac{BC_{1}}{AB}\overrightarrow{CA} \right )=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \sum \overrightarrow{AB}\left ( \frac{CA_{1}}{BC}-\frac{CB_{1}}{AC} \right )=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \sum \overrightarrow{AB}\left ( 1-\frac{BA_{1}}{BC}-\frac{CB_{1}}{AC} \right )=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \sum \overrightarrow{AB}\left ( 1-2k \right )=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \left ( 1-2k \right )\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} \right )=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \left ( 1-2k \right )\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ $(Đúng)$

Với: $\frac{AC_{1}}{AB}=\frac{BA_{1}}{BC}=\frac{CB_{1}}{AC}=k$

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4

NĂM:2017-2018

LỚP:11

         Rất mong các bạn gợi ý vài dòng giúp! Cám ơn nhiều!           

Câu 1: Ở đây

Cho a² + b² + c² = 1. Tìm GTNN của P = $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}$

Ta có:

$P^{2}=(\sum \frac{ab}{c})^{2}=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+2\sum a^{2}$

Mặt khác:$\left\{\begin{matrix} \frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}} &\geq 2c^{2} \\ \frac{a^{2}c^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}a^{2}}{c^{2}} &\geq 2a^{2} \\ \frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}a^{2}}{c^{2}} &\geq 2b^{2} \end{matrix}\right.$

(Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$)

Do đó;$p^{2}\geq 4\sum a^{2}\Rightarrow P\geq 2$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Điểm M thuộc cung nhỏ BC. Vẽ MD, ME, MF vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F.

a/ CM: MEFC và MDAF nội tiếp.

b/ CM: MB.MF = MD.MC

c/ CM: D, E, F thẳng hàng.

d/ Gọi I, K là trung điểm của AB, EF. CM: MK vuông góc KI.

 

Các bạn giảng giúp mình câu d/ với. Xin cảm ơn!

$a);b);c)$ là các tính chất đường thẳng $Simson$

$d)$  Ta có:

$\bigtriangleup MEF\sim \bigtriangleup MAB (g.g)$

Mà $I,K$ là trung điểm $AB,EF$

$\Rightarrow \bigtriangleup MBI\sim \bigtriangleup MEK$

$\Rightarrow \widehat{DIM}=\widehat{EKM}$

Do đó,$DIKM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{IKM}=\widehat{IDM}=90^{o}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(3-ab)(3-bc)+(3-bc)(3-ca)+(3-ca)(3-ab)}{(3-ab)(3-bc)(3-ca)}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{27-6(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{27-9(ab+bc+ca)+3abc(a+b+c)-(abc)^{2}}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 27+7abc(a+b+c)-15(ab+bc+ca)-3(abc)^{2}\geq 0$ $(1)$

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$

$(1)\Leftrightarrow 27+7pr-15q-3r^{2}\geq 0$

P/s:Mình nghĩ đến đây dùng $Schur$ là ra nhưng học yếu kém loại này nên mong các bác giải quyết nốt!

          Mong các bạn gợi ý giúp sắp thi rồi mà vẫn còn trở ngại các câu cuối bài hình. Xin các bạn cho chút hướng giải các câu in đậm bên dưới! Cám ơn nhiều!           

Câu 1:

c) Ta có:$\widehat{ABS}=90^{o}-\widehat{SBO}=90^{o}-\widehat{SEO}=\widehat{ECH}$

Từ đó có đpcm

Câu 2:

b) Chứng minh: $OK\parallel BC$,$IK\parallel BC$

c) có vấn đề

$CI$ cắt $BK$ tại $Q$ thì hợp lý hơn

Bài 39: (Thi thử chuyên $KHTN-2011$)

Cho $(O)$ đường kính $AB$.Đường thẳng $d$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$. $I$ cố định trên $AB$. $DE$ là dây cung thay đổi của $(O)$ luôn đi qua $I$. $BD,BE$ cắt $d$ tại $M,N$.Chứng minh:

a) $DENM$ nội tiếp

b) $AM.AN$ không đổi 

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp $DENM$ thuộc đường tròn cố định.

$\boxed{39}$ (đề thi vào chuyên toán thpt chuyên đhsp)

Cho tứ giác lồi ABCD, trung tuyến AM của ABC, trung tuyến AN của tam giác ADC. Chứng minh $S_{ABCD}\leq\frac{1}{2}(AM+AN)^2$

p/s: đề lâu lắm rồi cũng không nhớ năm bao nhiêu

Vấn đề của bạn khá "cũ" xem như đây là bài để tham khảo.

          Gợi ý giúp mình các câu in đỏ bên dưới với các bạn! Cám ơn các bạn nhiều luôn! Gợi ý thôi cũng được không cần giải chi tiết.           

Câu 1:

c) Ta có: $OH.OM=OB^{2}=OD^{2}$

Do đó,$\bigtriangleup OHD\sim \bigtriangleup ODM (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OMD}$

Do đó,$OD$ là tiếp tuyến với $(HDM)$

Do đó, $OD\bot KD$

$\Rightarrow Q.E.D$

Câu 2:

$N$ là giao điểm thứ 2 của $(OKA)$ với $(O)$

Chứng minh $N,H,I$ thẳng hàng.

mình xin góp 1 bài

BÀI 33:(câu c bài hình tuyển sinh chuyên toán thpt chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2016 - 2017)

Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H$, trung điểm $M$ của $BC$, lấy $N$ thuộc $BC$ sao cho $\angle BHN = \angle CHM$, kẻ AQ vuông góc với HN tại Q, chứng minh đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNQ$ và đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$ tiếp xúc với nhau

Bạn đăng thì đăng cho đủ đề 

đăng như thế này thì làm khó nhiều bạn quá!!, không tiện theo dõi.

Lời giải tóm tắt ý tưởng:

Bổ đề: Cho tam giác $ABC$ đường cao $AD,BE,CF$cắt nhau tại $H$.$EF\cap BC\equiv X$ .$M$ là trung điểm $BC$.Khi đó,$MH\bot AX$.

$(MNQ),(ABC)$ tiếp xúc nhau 

$\Leftrightarrow \overline{O,X,T}$  (với $O,T,X$ là tâm $(ABC),(MNQ),MH\cap (O)$)

Dễ thấy $QXFE$ là hình thang cân nội tiếp đường tròn $(\omega )$

Từ Bổ đề Ta có:$HX.HM=HD.HA=HN.HQ$ nên $(T)$ đi qua $N$.

$AB\cap (O)\equiv Y$ 

$\widehat{AYN}=\widehat{AYX}$ (Biến đổi một lúc là ra thôi)

$\Rightarrow \overline{X,N,Y}$

$\widehat{NXT}=\widehat{NXO}$

$\Rightarrow \overline{X,T,O}$

$\boxed{Bài 35}$: (trích câu hình đề thi hsg toán 9 Hà Nam năm 2013-2014)
Cho $\Delta ABC$ đều:
a.Xác định vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để $MA+MB+MC$ lớn nhất
b.gọi $T$ là điểm nằm trong $\Delta ABC$; $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $T$ tới $BC,CA,AB$. Tìm quỹ tích điểm $T$ trong tam giác để $x+y=z$. Từ đó suy ra tâp hợp điểm $T$ trong tam giác $ABC$ sao cho $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

P/s: bài hình năm đấy dài lắm nên mình chỉ trích thôi
$\boxed{Bài 36}$: (sáng tác)
Cho tam giác ABC nội tiếp $(O)$, điểm $P$ trong tam giác gọi $E$ là giao điểm của $AP$ và $(O)$, đường kính $EQ$, $AF$. Gọi giao điểm của $QP$, $FP$ với $(O)$ lần lượt ở $G$ và $D$, $AG$ cắt $DE$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ cắt $DF$ tại $U$ .Chứng minh rằng $UP$ và $QF$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$.

Bài 36 hình như đề sai