NTMFlashNo1

Bài 32: (Phan Bội Châu năm 2013-2014)

  Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên tia đối tia $BC$. Kẻ các tiếp tuyến $AD, AE$ của $(O)$ ($D, E$ là các tiếp điểm). Kẻ $DH\perp EC$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm $DH$, $AC$ cắt $DE$ tại $I$. $CK$ cắt $(O)$ tại điểm $Q$ khác $C$, $AQ$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $Q$. Chứng minh rằng:

a) $AB.CI=AC.BI$

b) $QD\perp QI$

c) $DM//OC$

Lời giải

 

a) Dễ thấy $DB,DC$ là phân giác trong và ngoài $\widehat{ADI}$

Do đó,$\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CI}$

$\Rightarrow Q.E.D$

b) Xét tam giác $DEH$ có $I,K$ là trung điểm $DE,DH$.

Do đó,$IK\parallel EH$

$\Rightarrow \widehat{DIK}=\widehat{DEH}$

$DQEC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DQC}=\widehat{DEH}$

$\Rightarrow \widehat{DQK}=\widehat{DIK}$

$\Rightarrow DQIK$ nội tiếp.

$\Rightarrow Q.E.D$

c) Ta có:$AI.AO=AD^{2}=AQ.AM$

$\Rightarrow QIOM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{IQM}$

Từ đó dễ thấy $\overline{E,O,M}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài toán đề xuất tiếp theo:

Bài 29: (VMO ngày 1 2013-2014)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Gọi I là trung điểm cung BC không chứa điểm A.Trên AC lấy K khác C sao cho IK = IC. BK cắt (O) tại D và cắt AI tại E. DI cắt AC tại F. 

a) Chứng minh rằng: BC = 2EF.

b) Trên DI lấy M sao cho CM // AD.KM cắt BC tại N. (BKN) cắt (O) tại P. Chứng minh: PK đi qua trung điểm AD

Lời giải

a) Dễ thấy $E,F$ là trung điểm $BK,CK$

Từ đó có $Q.E.D$

b) Gọi $H$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ của $(O)$.

Dễ thấy $K$ là trực tâm tam giác $ADI$

Do đó $IK\bot AD$

Mà $CM\parallel AD$ 

Do đó, $IK\bot CM$

Nên $M$ là trực tâm tam giác $KIC$.

Ta có:

$\widehat{KPI}=\widehat{KPB}+\widehat{BPI}=\widehat{KNB}+\widehat{IAB}$

$=\widehat{NKC}+\widehat{C}+\widehat{IAB}=90^{o}-\widehat{ICA}+\widehat{C}+\widehat{IAB}$

$=90^{o}=\widehat{IPH}$

Do đó,$\overline{H,K,P}$

Dễ thấy $AHDK$ là hình bình hành

$\Rightarrow Q.E.D$

 

 

P/s: Bài này dễ nhất đề thi năm ấy!

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn OC lấy điểm I (I khác O, C). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.

1) CM: tứ giác ABOH nội tiếp.

2) CM: AB^2 = AD.AE.

3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. CM: HK song song DC.

4) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. CM: tứ giác BECF là hình chữ nhật.

 

Mọi người giúp mình câu 3 và 4 nhé! Xin cảm ơn!

1)$\widehat{ABO}=\widehat{OHA}=90^{o}$

Do đó có $Q.E.D$

2) Tính chất

3) $ABOH$ nội tiếp 

Do đó,$\widehat{HAO}=\widehat{HBO}$

Do $AO\parallel KE$ nên:

$\widehat{HAO}=\widehat{HEK}$

Do đó,$HBEK$ nội tiếp

nên $\widehat{KHE}=\widehat{KBE}$

Do $DBEC$ nội tiếp

nên $\widehat{CDE}=\widehat{KBE}$

Do đó có $Q.E.D$

4) Chứng minh $F$ thuộc $(O)$ thôi

Chém câu bất ngày 2 trước:

 

Đặt $b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z$

$\Rightarrow x,y,z>0;a=\frac{y+z}{2},b=\frac{z+x}{2},c= \frac{x+y}{2}$

Bất đẳng thức trên viết thành:

$\sum \frac{x+y}{2z}+\frac{3}{2}\geq \frac{4(x+y+z)^{3}}{3\prod (x+y)}$

$\Leftrightarrow \frac{\sum xy(x+y)+3xyz}{2xyz}\geq 4\frac{(x+y+z)^{3}}{3\prod (x+y)}$

$\Leftrightarrow (\sum x)(\sum xy)\geq 4xyz\frac{(x+y+z)^{3}}{3\prod (x+y)}$

$\Leftrightarrow \sum xy\geq 4xyz\frac{(x+y+z)^{2}}{3\prod (x+y)}$

Theo bất đẳng thức $\prod (x+y)\geq \frac{8}{9}(\sum x)(\sum xy)$ ta cần chứng minh:

$\sum xy\geq 3xyz\frac{x+y+z}{\sum xy}$

Đúng

$\Rightarrow Q.E.D$

 

Câu 3a) là đề thi thử vào 10 chuyên $KHTN-HN$ năm $2016-2017$

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI HSG LỚP 10

NĂM HỌC:2016-2017

NGÀY THI THỨ NHẤT

THỜI GIAN:180'

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^{2}+8} &=\sqrt{y}+y^{2}+1 \\
\sqrt{y^{2}+8} &=\sqrt{x}+x^{2}+1
\end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$thực thỏa mãn:

$a\geq b\geq c\geq 0$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm $P_{max}=2ab+5ac+8bc+\frac{15}{a+b+c}$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$

a) Cho $p$ nguyên tố thỏa mãn:$p\equiv 1\left ( mod4 \right )$.

Chứng minh:tồn tại $k$ nguyên sao cho $k^{2}\equiv -1\left ( modp \right )$.

 

b) Tìm $(a,b,c)$ nguyên sao cho với mọi $p$ nguyên tố lẻ thì:

$a\left ( (\frac{p-1}{2})! \right )^{2}+b\left ( \frac{p-1}{2} \right )!+c\vdots p$

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho tam giác $ABC$ với $AB>AC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$,$(I_{a}$ bàng tiếp đỉnh $A$.$AI\cap BC\equiv D.AI\cap (O)\equiv M$.$N$ thuộc đoạn $BD$.$(O_{1})$ ngoại tiếp $AND$.$(O_{2})$ đi qua $A,I$ và tiếp xúc trong với $(O_{1})$ tại $A$.$(O)\cap (O_{2})\equiv P.(O_{2})\cap AN\equiv Q$

Chứng minh:a) $\overline{M,N,P}$

                    b) $NI_{a}\parallel PQ$

 

 

 

 

NGÀY THI THỨ HAI

THỜI GIAN:180'

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:

$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$

$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$

Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$ là ba cạnh một tam giác.

Chứng minh:

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{6abc}$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$,$A$ thay đổi,$B,C$ cố định.$AD,BE,CF$ là các đường cao.$P,Q$ thuộc tia đối của $ED,FD$ sao cho $EP=FQ=EF$.Chứng minh:

 

a) $(DPQ)$ đi qua điểm cố định

b) Đường qua $A$ vuông góc $PQ$ đi qua điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$.Cho bẩy số nguyên dương phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{7}$ .Xét $1\leq i< j\leq 7$ ta viết lên bảng các số $a_{i}+_{j},\left | a_{i}-a_{j} \right |,a_{i}a_{j}$.$G$ là tập các số nguyên dương lẻ trên bảng.Tìm $max\left | G \right |$ khi $a_{1},a_{2},...,a_{7}$ thay đổi

Cho a+b+c=abc

 Chứng minh: $\frac{1+\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{1+\sqrt{1+b^{2}}}{b}+\frac{1+\sqrt{1+c^{2}}}{c}\leq abc$

Cách khác:

 

Đề bài có thêm dữ kiện $a,b,c>0$ ta làm như sau:

Từ giả thiết có:$a+b+c=abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$\sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{a^{2}}}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}\leq abc$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq abc$

$\Leftrightarrow 3\left ( \sum \frac{1}{a} \right )\leq abc$

$\Leftrightarrow 3\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( abc \right )^{2}= \left ( a+b+c \right )^{2}$

(Đúng)

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho $m,n\in \mathbb{N}^{+},a\in \mathbb{N},d=(m,n)$.

Chứng minh:a) Nếu $\frac{n}{d},\frac{m}{d}$ đều lẻ thì $(x^{n}+a^{n},x^{m}+a^{m})=x^{d}+a^{d}$

                    b) Nếu $\frac{n}{d},\frac{m}{d}$ đều chẵn thì $(x^{n}+a^{n},x^{m}+a^{m})=1$

Giả sử $P(x)$ là đa thức có $deg\geq 2$ thỏa mãn $P(1)=P(-1)$.

Chứng minh: $\exists Q(x,y)$ sao cho $P(t)=Q(t^{2}-1,t^{3}-1)$ với mọi $t$ thực.

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^{2}-y^{2}), \forall x, y\in \mathbb{R}.$

Ở đây

CMR $\left ( \frac{a^{n}-b^{n}}{a-b},a-b \right )= \left ( n,a-b \right )$ với mọi a,b nguyên, n nguyên dương

Ở đây

Bạn có thể up lời giải bài 1 được không

Bạn có thể tham khảo tại đây

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

 

           QUẬN HÀ ĐÔNG                                                                                         Năm học:2016-2017

 

$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$

 

Thời gian làm bài:150'

 

 

$\boxed{\text{Bài 1:(5,5 điểm)}}$

 

Xét biểu thức: $P=(\frac{x-25\sqrt{x}}{x-25}-1)(\frac{25-x}{x+3\sqrt{x}-10}-\frac{\sqrt{x}-5}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+5})$

 

$a)$ Rút gọn biểu thức $P$.

 

$b)$ Tính $P$ nếu: $x=\frac{4+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2+\sqrt{2}-\sqrt{3}}+(8-\sqrt{2})$

 

$c)$ Tìm $x$ để $P$ nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài 2:(5 điểm)}}$

 

$1.$ a) Tìm $x$ biết:

$x^{4}+7x^{3}+14x^{2}+14x+4=0$

 

        b) Tìm $x$ biết: 

$\sqrt{\left ( 5-2\sqrt{6} \right )^{x}}+\sqrt{\left ( 5+2\sqrt{6} \right )^{x}}=10$

 

$2.$ Tìm $x,y\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn:

$x^{2}-4xy+5y^{2}=2\left ( x-y \right )$

 

$\boxed{\text{Bài 3:(3 điểm)}}$

 

$a)$ Tìm $Min$ của:

$A=x+y+z+2020-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}$

 

$b)$ Cho $a,b,c\geq 0$ sao cho $abc=8$.Tìm $Max$ của biểu thức:

  

$B=\frac{1}{a^{3}+b^{3}+8}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+8}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+8}$

 

$\boxed{\text{Bài 4:(5,5 điểm)}}$

 

Cho đường tròn $(O,R)$.Đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại $H\neq O$.Biết $AH=a,CD=b$.

 

$a)$ Chứng minh:$\bigtriangleup HAD\sim \bigtriangleup HCD$

$b)$ Tính $R$ theo $a,b$

$c)$  Qua $H$ vẽ dây $MN$ và $PQ$ vuông góc với nhau.Xác định vị trí các dây này để $MN+PQ$ có giá trị lớn nhất.

 

$\boxed{\text{Bài 5:(1 điểm)}}$

 

Chứng minh trong $2016$ số tự nhiên bất kỳ:$n_{1},n_{2},...,n_{2016}$ luôn tồn tại một số chia hết cho $2016$ hoặc hữu hạn số có tổng chia hết cho $2016$.

Giải hệ phương trình:

$a^{3}+2a^{2}+4b^{2}+5=b^{3}$

$a^{2}+4a+7=13b-2b^{2}$

Hệ trên tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}+2(a^{2}+2b^{2})+5 &=0 \\ a^{2}+2b^{2}+4a-13b+7 &=0 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow a^{3}-b^{3}+3(a^{2}+2b^{2})+4a-13b+12=0\\\Leftrightarrow (a^{3}+3a^{2}+3a+1)-(b^{3}-6b^{2}+12b-8)+(a-b+3)=0\\\Leftrightarrow (a+1)^{3}-(b-2)^{3}+\left ( a-b+3 \right )=0\\\Leftrightarrow (a-b+3)\left [ (a+1)^{2}+(a+1)(b-2)+(b-2)^{2}+1 \right ]=0$

Do $(a+1)^{2}+(a+1)(b-2)+(b-2)^{2}+1>0$ với mọi $a,b$.

Nên

$a=b-3$

Từ đó thay vào giải nghiệm của phương trình có:

$a^{2}+2b^{2}+4a-13b+7=0\\\Leftrightarrow (b-3)^{2}+2b^{2}+4(b-3)-13b+7=0\\\Leftrightarrow 3b^{2}-15b+4=0\\\Leftrightarrow b=\frac{15+\sqrt{177}}{6};b=\frac{15-\sqrt{177}}{6}$

Từ đó suy ra $a$

 

Cho $a,b,c,d,e> 0:a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=5$

CMR: $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+e}+\frac{c^2}{d+e+a}+\frac{d^2}{e+a+b}+\frac{e^2}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}\geq \frac{1}{5}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+c+d})=\sum \frac{1}{b+c+d}$

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ có:

$\sum \frac{1}{b+c+d}\geq \frac{5^{2}}{3(\sum a)}$

Mà,

$\sum a\leq \sqrt{(1+1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})}=5$

Từ đó có $ĐPCM$.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D thuộc cung BC (không chứa A). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$ 

Ta thấy $\overline{K,H,I}$ chính là đường thẳng $Simson$.

Dễ thấy $BKDH,HDCI$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\bigtriangleup KDI\sim \bigtriangleup BDC(g.g)$ $(1)$

Do $\widehat{DKH}=\widehat{DBC}=\widehat{DAC},\widehat{KHD}=\widehat{DCA}$

$\Rightarrow \bigtriangleup KDH\sim \bigtriangleup ADC (g.g)$

$\Rightarrow \frac{DK}{AD}=\frac{KH}{AC}=\frac{DH}{DC}$ và $\frac{DK}{DH}=\frac{AD}{DC}$.

$\Rightarrow AC.DK=AD.HK$

Tương tự có $\bigtriangleup HID\sim \bigtriangleup BAD(g.g)$

$\Rightarrow AB.DI=AD.HI$

Ta có:$\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{AC.DK+AB.DI}{DI.DK}=\frac{AD(HK+HI)}{DI.DK}=\frac{AD.KI}{DI.DK}$

Cần chứng minh:$\frac{AD.KI}{DI.DK}=\frac{BC}{DH}$

$\Leftrightarrow \frac{AD.KI}{DI.BC}=\frac{DK}{DH}=\frac{AD}{DC}\Leftrightarrow \frac{KI}{DI}=\frac{BC}{DC}$ (đúng,theo $(1)$) 

Vậy có $ĐPCM$