DOTOANNANG

Với mỗi số nguyên dương k, ta xét dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\geq 1}$ xác định bởi:

$a_{n}= \sqrt{k+ \sqrt{k+ ...+ \sqrt{k}}}$

Biểu thức trên có n dấu căn.

Chứng minh rằng dãy số này hội tụ với mỗi số nguyên dương k. Tìm k để giới hạn của dãy là số nguyên. Chứng minh rằng k lẻ thì giới hạn của dãy là vô tỉ.

CM:$\cos A+ \cos B+ \cos C\geq \frac{1}{4} \left ( 3+ \cos \left ( A- B \right )+ \cos \left ( B- C \right )+ \cos \left ( C- A \right ) \right )$ với mọi tam giác

Bài này khó không thể sủ dụng các phương pháp chúng minh thông thường. Phải khai triển chúng dưới dạng biểu thức của $x+ y+ z$ và $x^{2}+ y^{2}+ z^{2}$

Cho các số dương $x, y, z$ thoả mãn $x^{2}+ y^{2}+ z^{2}= \frac{1- 16xyz}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$S= \frac{x+ y+ z+ 4xyz}{1+ 4xy +4yz+ 4zx}$

Đây là bài toán cuối trong tạp chí toán học và tuổi trẻ số 486 tháng 12 năm 2017. Mình đã làm xong và sớm gửi bài rồi nên bây giờ đưa ra bài này cho forum giải quyết tăng post và tăng like.

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

$\cos \frac{A}{2}+ \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{ \sin \frac{A}{2}}+ \sqrt{ \sin \frac{B}{2}}+ \sqrt{ \sin \frac{C}{2}} \right )$

Nếu lo làm sai thì bạn thử vào WOLFRAM alpha kiểm tra lại biểu thức mình khai triển.Kết quả rất là mĩ mãn với cách 1 của mình

Cách này phức tạp nhung hay và dễ làm

Một bài toán đưa ra từ đầu đến cuối k có gì sai, đáp số đúng thì không còn cách nào để có thể nói nó không đúng được đâu. Đằng này thì bạn khai triển SOS thì hẳn công thức và cách giải đó đúng rồi, Bạn phải tự tin vào lời giải của mình chứ

à mà nếu bạn thắc mắc kĩ thuật pqr gì mà chẳng có pqr thì mình thay thế chúng bằng uvw (thích thì thay d,e,f cũng được). Trả lời trước mắc công lát lại bị hỏi.

Thật ra kĩ năng này rất cũ và xưa.Nếu có cố gắng thì cũng chẳng còn sót lại vì bất đẳng thức hiên đại chú trọng phần nhiều về kĩ thuât chứ không thiên về biến đổi. Mình chỉ áp dụng chúng cho những bài nhẹ và không tốn nhiều thời gian. Chẳng hạn như cách 1 mình làm phía trên là phân tích pqr, khai triển chúng dưới dang tổng tích và sử dụng bất đẳng thức liên quan giữa chúng. Cách giải từ đầu đến cuối vô cùng chặt chẽ thích hợp với nhiều bài toán. Còn cách này thì chỉ là một cái cách giải được suy ra từ một bài toán quốc tế mà thôi.Cái cách trên là kĩ thuật thì cái dứoi chỉ đơn giản là một kĩ năng xử lí.

Thật ra khi thi muốn chắc ăn thì tốt  nhất bạn nên sử dụng a+ 0,5c và b+ 0,5c là đủ rồi. Không cần màu mè như mình vô thì mắc công chứng minh sai rồi đổ thừa tại mình. Mấy con số mà mình ghi chỉ để giúp bạn hình dung rõ cách làm của mình hơn mà thôi. Chúc bạn thuần thục kĩ năng mới.

làm kĩ thì như vậy nè:

$a^{2} +c^{2}\leq a^{2}+ ac +...$ đúng không mà mình đã giả sử c= min{a, b, c} rồi nên bất đẳng thức phía trên đúng 

Mình cũng nhanh chóng suy ra cái dưới. Chỉ tới mức này rồi nhớ like giùm cho không làm mất công của tui từ trưa tới giờ trả lời gần mấy người rồi đó

Thật ra không có gì quá khó hiểu đâu:

Cách chứng minh 2 cái bất đẳng thức trên chỉ là tân dụng c= min{a, b, c}. Còn bạn đang thắc mắc về mấy con số như $\frac{1}{2}, \frac{1}{30}$ thì không cần phải nghĩ ngợi làm gì nữa. Cái bất đẳng thức đó cho dù có thay bao nhiêu số cũng vậy cả thôi. Cái ý chính là sử dụng sao cho $x+ y= a+ b+ c=  1$ nên bạn phân tách kiểu gì mà thỏa việc đó chẳng hạn như:

$a+ \frac{10^{6}}{2.10^{6}+ 1} c$ và $b+ \frac{10^{6}+ 1}{2. 10^{6} +1} c$ thì tổng của chúng vẫn là a+ b+ c= 1 mà thôi.

Việc tạo ra con số 30 thực ra chỉ là ngày sinh của mình. Bạn có thể thử với bao nhiêu số cũng được

hèn gì mình thấy điều kiên dấu bằng không hề xảy ra.