12DecMath

$\boxed{29}$ Cho tam giác ABC có đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BEDC. AH cắt OD và OE lần lượt tại J,I. Chứng minh rằng EJ,DJ,BC đồng quy (Nguồn: Hình học phẳng -Vĩ Đụt)

Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.

Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.

Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.

Untitled.png

P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó

 

Chắc anh nói nhanh nhỉ(do k có thời gian)

Bài 5: Gọi M là hình chứ của I lên AC .

Ta sẽ chứng minh được các cặp tam giác AIB đồng dạng với tam giác ACI_a và tam giác AIM đồng dạng với tam giác AEI_a. Từ đó ta sẽ suy ra được AE=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$

Gọi E' là giao điểm của BL với AC thì cũng chứng minh được AE'=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$ => đpcm

Bài 6:

Bài này để chứng minh thì ta cần dùng cái công thức tính diện tích của tam giác qua bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Thì cần chứng minh 2 công thức: S_ABC=p.r (p là nửa chu vi tam giác) và

S_ABC=(p-a).r. Phần sau biến tỉ hơi căng nhưng mà em cứ biến đổi 1 cách máy móc cũng được, cũng sẽ ra. Nếu có cách hay hơn anh sẽ đăng. P/s: Em với mọi người cùng suy nghĩ nha, bài này khá khó!

Ok em... 🙃🙃🙃 chắc tầm mai hoac xi nua nha

$\boxed{26}$: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi L,M,N lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. Cho X,Y là chân đường cao hạ từ L,N lên tia DF. Chứng minh XM vuông góc với MY                       

Ai giúp em ý C bài hình chuyên sư phạm vòng 2 2016 với ạ. Em đang định chứng minh tứ giác BDPH và CEQH nội tiếp mà không biết chứng minh sao?

Em thấy các chuyên đề hồi trước của diễn đàn rất hay ạ. Mong diễn đàn lại như xưa     

Cho em gửi lời giải của em ạ! 

$\boxed{Problem 4}$Cho $\Delta ABC(AB<AC)$ có trung tuyến $AM$, đường cao AH. Biết $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ 

Đây là tính chất của đẳng giác trong tam giác. Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM thì AH đẳng giác với AM =>

$\widehat{BAH}$=$\widehat{CAM}$.

Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O). Điểm P bất kì nằm trên cung nhỏ CD. PB $\cap$ CD = K, PB $\cap$ CA=M

PA $\cap$ DC =L,  PA $\cap$ DB =N. MN cắt cạnh AD,BC tại F,E. FK $\cap$ EL=Q. Chứng minh PQ $\perp$ CD

$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP. 

Đưa về chứng minh M,H,S,G thẳng hàng là được, rồi dùng phương tích để chứng minh

$\boxed{21}$Cho các điểm $M,N,P$ thứ tự thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho tứ giác $MNAP$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $BN$ và $CP$. Chứng minh rằng: $\widehat{OMP}=\widehat{AMN}$.

Không mất tính tổng quát thì ta giả sử MB $\leq$ MC. G là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của MN và CP.. 
Vì MNAP là hình bình hành nên $\widehat{OPM}$=$\widehat{ANM}$ . Vậy ta cần chứng minh tam giác QPM đồng dạng với tam giác ANM

Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác PBM cân tại P và tam giác NCM cân tại N.

=> PB=PM=AN và NC=NM=AP

Có: MN//AP, suy ra : $\frac{PQ}{PM}$=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{KM}{KN}$=$\frac{PB}{PA}$=$\frac{NA}{NM}$

=> ta có điều chứng minh

$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)

Screenshot (1319).png

Lời giải:(vắn tắt)

Ta dễ chứng minh: $MF = EN$ (Cái này là bài hình lớp 8 cơ bản)

Trên tia đối của $MN$ lấy $J$ sao cho $MF = MJ$ do đó $MJ = EN$ suy ra $EJ=MN$ 

Từ $F$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $L$, lấy điểm $G$ đối xứng với $F$ qua $BC$ thì ta dễ có $\widehat{FDL}=\widehat{GDL}$, mà $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$(Cái này cũng cơ bản của lớp 8) nên suy ra $G,D,E$ thẳng hàng.

Như vậy, ta cần chứng minh: $EJ=EG$

Tứ giác $MFLB$ nội tiếp nên $\widehat{FML}=\widehat{LBF}$ mà $\widehat{LBF}=\widehat{AEF}$ nên $\widehat{FML}=\widehat{AEF}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ML//AE$

Mà ta có: $ML//GJ$ (đường trung bình) nên $AE//GJ$ suy ra $BE$ vuông góc $GJ$

$\Delta JEG$ có $EB$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân $\Rightarrow EJ=EG$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài này thì ta có thể gọi đối xứng của E qua BC. Rồi chứng minh F,D,E' thẳng hàng, rồi chứng minh FE' =MN. Nếu từ B kẻ vuông góc NC tại K thì dễ dàng chứng minh được BK = FE' => Ta có điểu phải chứng minh

$\boxed{20}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $M.$ $I$ là giao điểm giữa đường vuông góc với $AB$ tại $A$ và $BE.$ Gọi $T$ là giao điểm giữa $(DEF)$ và $AH.$ Chứng minh $T$ là trung điểm $AH$ và $T, I, M$ thẳng hàng.

Lời giải :

Lời giải:

$\boxed{19}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi S,S' lần lượt là diện tích của (O) và (I). Tính giá trị nhỏ nhất của $S/S'$

Mình xin phép góp 2 bài nữa cho topic:

$\boxed{9}$ Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:

$$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$$

$\boxed{10}$ Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4.$ Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+5abc\geq 8$$
 

$\boxed{10}$:

Sr vì em không biết đánh Latex