Đến nội dung


12DecMath

Đăng ký: 25-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 06:48
*****

#731262 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong Hôm qua, 15:58

$\boxed{25}$: Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. $P$ là một điểm bất kì nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $BC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle OPP'$ cắt $AP$ tại $G$. Chứng minh trực tâm của tam giác $AGO$ nằm trên $HP'$.  




#731260 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong Hôm qua, 08:06

$\boxed{24}$: Cho $\triangle ABC$ và $M$ là một điểm nằm trong đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

a/ Chứng minh rằng $AM.BC,BM.AC,CM.AB$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác $\triangle$.

b/ Tìm vị trí điểm $M$ sao cho điện tích tam giác $\triangle$ là lớn nhất.
 




#731254 CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON.

Gửi bởi 12DecMath trong 21-10-2021 - 21:29

 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Gọi N là trung điểm OH. Gọi D, E là hình chiếu của N lên AC, AB. CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON.

Bài này bạn dùng bổ đề Euler sau của thầy Linh: 
https://nguyenvanlin...2B0BEooupFFmxx0

Gọi trung điểm của đường trung bình ứng với A của tam giác ABC là P

Gọi đối xứng của N qua P là S thì S nằm trên AO 
Gọi trung điểm của AN là X thì XP song song với AO ( đường trung bình) 

Ta đi chứng minh $\angle PGA= \angle PHA$ (dễ dàng chứng minh bằng các tứ giác nội tiếp) 

Vậy P nằm trên đường thẳng Euler của ADE mà O cũng nằm trên đó

Vậy OP là đường thẳng Euler của ADE đi qua trung điểm ON 




#731225 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 20-10-2021 - 19:21

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi :lol:

Hehe :3 
Tóm tắt he  :D: Gọi $X,Y$ là trung điểm của $AB,AC$. Chứng minh được $A,X,D,Y$ đồng viên mà $A, X, O, Y$ đồng viên.

Suy ra: $G$ nằm trên $(O)$ 

Đến đây thì dễ rồi: Chứng minh $DA$ là phân giác $\angle FDE$. Từ đó ta được điều phải chứng minh thôi  :icon10:




#731158 Chứng minh rằng nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

Gửi bởi 12DecMath trong 15-10-2021 - 08:33

Cho $S$ là tập số thực thỏa: 
i/ $1 \in S$

ii/ $\forall a,b \in S, a-b \in S$ 

iii/ $a \in S, a \ne 0$ thì $\frac{1}{a} \in S$

Chứng minh rằng $\forall a,b \in S$ thì $ab \in S$.

- Giúp với ạ, em cảm ơn :wub: 




#731131 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 09:31

bài này vẫn có nghiệm nhé

Sorry, mình đã sửa lại > . <




#731126 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 07:51

Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

Cho mình gửi link AoPS luôn nha  :wub: 
Lời giải: https://artofproblem...1557175p9502820




#731125 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 07:29

Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé

À soggi, mình quên xét trường hợp 1 số bằng 2, từ đó mình đẩy lên là được $a,b$ lẻ xong mình xét ước nguyên tố  :ukliam2: 
Còn bộ nghiệm là $(a,b)=(1,2)$ và $(2,1)$.




#731123 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 12-10-2021 - 21:06

Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$

UwU bài 8:

Xét các ước nguyên tố thì ta sẽ chứng minh được $a=b$

Đến đây bài toán dễ rồi. Ta sẽ có nghiệm là $a=b=1$




#731024 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 11:27

Bài 4. Chứng minh rằng nếu $\displaystyle p$ là số nguyên tố thì $\displaystyle p^{3} +\frac{p-1}{2}$ không là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 4 khá đơn giản:

Giả sử $p^3 +\frac{p-1}{2}=n(n+1)$ với $ n \in \mathbb{N} (*)$

$(*) \leftrightarrow 2p^3+p-1=2n(n+1).\text{VP} \vdots 4 \rightarrow 2p^3+p=p(2p^2+1) \equiv 1 \pmod 4$

Suy ra: $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1$ hoặc $3 \pmod 4$ Trường hợp $p \equiv  2p^2+1 \equiv 1 \pmod 4$ vô lí

Vậy $p \equiv  2p^2+1 \equiv 3 \pmod 4 \rightarrow p=4k+3 (k \in \mathbb{N})$

Ta phát biểu 1 bổ đề: Nếu các số nguyên $x,y$ và $p \equiv 3 \pmod 4$ thỏa mãn $p \mid x^2+y^2$ thì:

$$p \mid x; p \mid y$$

$(*) \leftrightarrow p(2p^2+1)=(n+1)^2+n^2 \rightarrow (n+1)^2+n^2 \vdots p$

Áp dụng bổ đề thì ta được: $p \mid n, p \mid (n+1)$ mà ta có: $\text{gcd}(n+1,n)=1$ 

Điều này là điều vô lí. Vậy ta có đpcm




#731022 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 07-10-2021 - 10:03

Bài 11. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^{n} -1|

Trường hợp $n=1$ là một trường hợp đúng.

Ta chứng minh $n>1$ là sai.

Dễ thấy nếu $n$ chẵn thì vô lí

Vậy $n$ lẻ. Suy ra: $2^n \equiv 8 \pmod {12} \rightarrow 2^n-1 \equiv 7 \pmod {12}$

Vì vậy $2^n-1$ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng $12k \pm 5.$ Gọi số đó là $p$

Ta có: $\left(\frac{3}{p}\right) =1$. Theo luật tương hỗ Gauss thì: $\left(\frac{p}{3}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.$

Mặt khác ta có: 

$$\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{\pm 2}{3}\right)= \pm 1$$

Suy ra: $(-1)^{\frac{p-1}{2}}= \pm 1$. Điều này vô lí nên ta có đpcm.




#731003 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 15:05

Bài 15.Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m,n$ nguyên tố cùng nhau và $\displaystyle \varphi \left( 5^{m} -1\right) =5^{n} -1$

Bài 15.

Ta đi phản chứng giả sử $\text{gcd}(m,n)=1$. Ta đặt:

$$5^m-1=2^k.p^{a_1}_1.p^{a_2}_2...p^{a_t}_t$$

Trong đó $k \in \mathbb{N^*}, p_i \in \mathbb{P}, a_i \in \mathbb{N}, \forall i=\overline{1,t}$. Nếu $5^m -1$ không có ước nguyên tố lẻ thì $5^m-1 =2^k$. Khi đó ta có: $\varphi (5^m-1)=5^n-1=2^{k-1}$. Vì vậy:

$$5^m-1=2.5^n-2 \longleftrightarrow 2.5^n - 5^m=1$$

$\rightarrow$ Điều này là điều vô lí.

Vậy nên $5^m-1$ phải có ước nguyên tố lẻ. Ta có: 

$$\varphi (5^m -1) = 2^{k-1} \prod _{i=1}^{t}p_i^{a_1-1} \cdot \prod _{i=1}^{t}(p_i-1)=5^n-1$$

Theo phản chứng thì ta có:  $\text{gcd}(m,n)=1$

Suy ra: $\text{gcd}(5^m-1,5^n-1)=5^{\text{gcd}(m,n)}-1=5-1=4$

Do đó nếu $k \geq 3$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \equiv 0 \pmod 8$, mâu thuẫn. Nếu $k=1$ thì cũng vô lí.

Vậy $k=2$

Nếu tồn tại $j$ sao cho $a_j >1$ thì $5^m-1 \equiv 5^n-1 \pmod{p_j}$

Do $a_j=1, \forall i =\overline{1,t}$

Ta được: 

$$5^{m} -1=4p_{1} p_{2} p_{3} \dots p_{t}$$
$$5^{n} -1\equiv 2( p_{1} -1)( p_{2} -1) \dots (p_{t} -1)$$
Do $4 || 5^m-1$ nên $m$ lẻ.
Ta có: 
$$5^m \equiv 1 \pmod p_i, \forall i= \overline{1,t} \longleftrightarrow 5^{m+1} \equiv 5 \pmod{p_i}, \forall i=\overline{1,t} \rightarrow (\frac{5}{p_i})=1,\forall i= \overline{1,t}$$
Theo luật tương hổ Gauss: 
$$ (\frac{5}{p_i})(\frac{p_i}{5})=1, \forall i= \overline{1,t}$$
Nên có $(\frac{p_i}{5})=1 \rightarrow p_i \equiv +- 1 \pmod 5$
Mà $p_i \equiv 1 \pmod 5$ vô lí nên $p_i \equiv -1 \pmod 5$
Ta có: 
$$4 \equiv 5^m -1 = 4p_1p_2p_3 \dots p_t \equiv 4.(-1)^t \pmod 5 \rightarrow 2 \mid t $$
Từ đó: 
$-1 \equiv 5^n-1 = 2(p_1-1)(p_2-1) \dots (p_t-1) \equiv 2.(-2)^t=2^{t+1}\pmod 5 \rightarrow 2^{t+2}\equiv  -2 \pmod 5 \rightarrow (\frac{-2}{5})=1$
Điều này vô lí. Hoàn tất chứng minh <3 



#731000 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 06-10-2021 - 14:47

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle pq|5^{p} +5^{q}$ ( China,2009)

Bài 17. Đây là một bài toán rất nổi tiếng khi chúng ta học với bổ đề LTE. Em xin nhắc lại cách giải đó ạ!

. Xét trường hợp $p=q=5$ và $p=5, q \ne 5$ 

. Xét trường hợp $p,q \ne 5$

Ta có: $5^p \equiv 5 \pmod p$ và $5^q \equiv 5 \pmod q$ nên:

$pq \mid 5^p + 5^q \longleftrightarrow 5^{p-1} +1 \vdots q; 5^{q-1} +1 \vdots p \rightarrow 5^{2(p-1)}$ $-1 \vdots q; 5^{2(q-1)}-1 \vdots p$

Vì $5^{2(p-1)} -1 \vdots q$ mà $5^{p-1}$ không chia hết cho $q$ nên:

$$v_2(\text{ord}_q(5))=1+v_2(p-1)$$

Do $5^{q-1}$ chia hết $q$ nên $q-1 \vdots \text{ord}_q(5)$ nên: 

$$v_2(q-1) \geq 1+ v_2(p-1)$$

Tương tự thì ta xét chia hết cho $p$ thì ta có: $v_2(p-1) \geq 1+v_2(q-1)$

$\rightarrow$ Điều này mâu thuẫn. 

Từ đây ta đi tìm nghiệm. 
P/s: Em rất ủng hộ topic, mong anh sẽ tiếp tục duy trì ạ. Em cảm ơn <3 




#730974 Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n...

Gửi bởi 12DecMath trong 05-10-2021 - 16:23

Cho em hỏi bài này với ạ . 

Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
 




#730829 Chứng minh $HJLK$ nội tiếp

Gửi bởi 12DecMath trong 01-10-2021 - 08:41

Gọi $S$ là giao điểm của $(HIG)$ với $(AEF)$

Ta phát biểu bổ đề tỉ số phương tích

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Lấy điểm $C,D$ bất kì thỏa mãn $\frac{\mathbb{P}_{C/(O)}}{\mathbb{P}_{D/(O)}}=\frac{\mathbb{P}_{C/(O')}}{\mathbb{P}_{D/(O')}}$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ đồng viên. 

Quay trở về bài toán: 

$(1)$ Ta chứng minh $AH$ là tiếp tuyến của $(HIG)$ 

Đây chính là câu $(a)$ bài 5 trong đề thi tuyển sinh vào trường LQĐ Đà Nẵng 2020

$(2)$ Xét phương tích của điểm $J,K$ đối với $(HIG)$ và $(AEF)$

$\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{IH.IA}{IH^2}=\frac{IH^2}{IH^2}=1$

$\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}=\frac{KH.KF}{KH.KG}=\frac{KH.KG}{KH.KG}=1$

Suy ra: $\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}$

Nên: $(KJH), (AEF), (HIG)$ đồng trục $\rightarrow K, J, H, S$ đồng viên

Làm tương tự với điểm $L$ thì $J, H, L, S$ đồng viên. Suy ra $HJLK$ nội tiếp. 

File gửi kèm