Đến nội dung


12DecMath

Đăng ký: 25-03-2021
Offline Đăng nhập: 01-07-2022 - 16:20
*****

#733778 [TOPIC] Các bài toán hình học đồng quy, thẳng hàng

Gửi bởi 12DecMath trong 24-06-2022 - 00:19

Bài toán 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và $\displaystyle D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $\displaystyle A,B,C$ xuống $\displaystyle BC,CA,AB$. Gọi $\displaystyle L$ là điểm Lemoine của $\displaystyle ABC$ và $\displaystyle O$ là tâm ngoại tiếp của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle OL$ đi qua trực tâm $\displaystyle DEF$.

 

Đây là lời giải bài 2 bằng tọa độ số phức : )

Hình gửi kèm

  • 288720648_350665350480544_1325022837677683003_n.png



#733768 [TOPIC] Các bài toán hình học đồng quy, thẳng hàng

Gửi bởi 12DecMath trong 22-06-2022 - 21:52

Lời giải Bài toán 1. 

 

Bài này còn 1 cách nữa dùng Desargues cho KBC và AMN nhưng rất trâu và dài không kém cách này. có thời gian mình sẽ đăng sau

288438832_402783288555123_14480730751901

Ở đoạn bạn biến đổi tỉ số kép bằng sin, hình như bạn đã viết sai và theo mình đó là: $ \boxed{C(QNOA) = \frac{\sin\angle OCA}{\sin\angle QCA}.\frac{\sin\angle NCD}{\sin \angle NCA}}$




#733760 [TOPIC] Các bài toán hình học đồng quy, thẳng hàng

Gửi bởi 12DecMath trong 22-06-2022 - 12:22

Bài toán 3. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ ngoại tiếp $\displaystyle ( I)$ và tiếp xúc $\displaystyle BC,CA,AB$ tại $\displaystyle D,E,F$. $\displaystyle G$ là điểm Gergonne của tam giác $\displaystyle ABC$. Dựng $\displaystyle X$ sao cho $\displaystyle GEXF$ là tứ giác điều hòa. Định nghĩa tương tự $\displaystyle Y,Z$. Chứng minh $\displaystyle AX,BY,CZ$ đồng quy.

Khó thật đấy, mình giải hơn 2 ngày :(

Hình gửi kèm

  • 285122018_1463493894084414_6249295428471311965_n.png



#732679 Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

Gửi bởi 12DecMath trong 15-02-2022 - 20:28

  • Vòng 1: 

$\text{Bài } 1:(4\textit{ điểm)}$ Giải hệ phương trình: 

$$\begin{array}{l} x^3-y-1=\sqrt[3]{x^3+y+1}\\ y+4=x+2\sqrt{x} \end{array}$$

$\text{Bài } 2:(4\textit{ điểm)}$ Cho tam giác $ABC$ nộp tiếp đường tròn $(O)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $DF, DE$. Đường tròn đường kính $XY$ cắt $BC$ tại $S, T$ với $S$ nằm giữa $B, T$. 

           a) Chứng minh $SX$ là phân giác trong của góc $AST$

           b) Chứng minh $(AST)$ tiếp xúc với $(O)$ 

$\text{Bài } 3:(4\textit{ điểm)}$ Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho $\frac{(n+1)^{3n+1}-3n-2}{3n+1}$ là số nguyên.

$\text{Bài } 4:(4\textit{ điểm)}$ Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ sao cho 

$$f(10f(x)+f(y))=10x+y$$ với mọi $x,y$ thuộc $\mathbb{Q}$.

$\text{Bài } 5:(4\textit{ điểm)}$ Xét $A$ là tập con của $S = \{1;2;\dots;2010\}$ sao cho tổng hai phần tử (phân biệt) tùy ý của $A$ không là bội của $125$.

           a) Cho ví dụ một tập hợp $A$ có đúng $1003$ phẩn tử.

           b) Tập $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?  

  • Vòng 2: 

$\text{Bài } 1:(5\textit{ điểm)}$

                Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức sau: 

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c} \geq 5$$ 

$\text{Bài } 2:(6\textit{ điểm)}$

                Cho tam giác $ABC \textit{(AB<AC)}$ nhọn nôi tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$, $G$ là trọng tâm và $D$ là chân đường cao của $A$ lên $BC$. Đường tròn $(BOC)\textit{(có đường kính $OO'$)}$ lần lượt cắt $AC$ và tia đối tia $BA$ tại $E,F$. Các tia $EO,FO$ cắt $(O)$ tại $E',F'\textit{(E',F' nằm cùng phía nhau bờ BC)}$. $BF',CE'$ cắt nhau tại $I$, chân đường vuông góc của $I$ lên $BC$ là $R$. $AI$ cắt lại $(O)$ tại $X, XR$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $P$. 

           a) Tia $PI$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $Y$. Gọi $T$ là tâm đường tròn $A-Apollonius$ của tam giác $ABC, OT$ cắt $AD$ tại $K, YK$ cắt $BC$ tại $Z$. Gọi $L$ là hình chiếu của $O$ lên $AZ$. Chứng minh rằng đường tròn $(DLZ)$ tiếp xúc với đường tròn $(BOC)$. 

           b) Tia $O'D$ cắt $(O)$ tại $D_1,D_2 \textit{($D_2$ thuộc đoạn O'D)}$. $D_1H$ cắt $D_2G$ tại $G_1$ và $D_2H$ cắt $D_1G$ tại $G_2$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $J$ là trung điểm $DM, G_1G_2$ cắt lại đường tròn $(G_1JR)$ tại $W$. Đường thẳng $WR$ cắt $G_2D, G_2M$ theo thứ tự tại $W_1, W_2.$ Chứng minh rằng $W$ là trung điểm của đoạn $W_1,W_2.$

$\text{Bài } 3:(5\textit{ điểm)}$

                Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 

           i)       $0 \leq f(m) \leq m^2; \forall m \in \mathbb N$

           ii)      $f(m)-f(n)$ chia hết cho $m-n; \forall m,n \in \mathbb N, m > n$

($N$ là tập số tự nhiên)

$\text{Bài } 4:(4\textit{ điểm)}$

                Chứng minh rằng $\binom{2n}{n} \mid \textit{lcm}(1,2,\dots,2n)$ với mọi số nguyên dương $n$; trong đó $\binom{m}{k}$ là tổ hợp chập $k$ của $m$ phần tử và $\textit{lcm}(a,b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$. 
                                                                                   __________________Hết__________________




#732548 Chứng minh (AST) tiếp xúc với (I)

Gửi bởi 12DecMath trong 26-01-2022 - 17:31

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $DE, DF$. Đường tròn đường kính $XY$ cắt $BC$ lần lượt tại $S, T$. Chứng minh rằng $(AST)$ tiếp xúc $(I)$




#731292 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 24-10-2021 - 18:57

Dưới đây là 2 bài khai thác điểm Fermat: 

$\boxed{27}$: Cho tam giác $ABC$ có điểm $F$ là điểm Fermat. $AF,BF,CF$ cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ tiếp xúc với đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

$\boxed{28}$: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp có điểm $F$ là điểm Fermat. $AF,BF,CF$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$. Gọi $H_1,H_2$ là các trực tâm của tam giác $ABC$ và $XYZ$. Chứng minh $F$ là trọng tâm của tam giác $H_1H_2O$. 




#731265 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 22-10-2021 - 18:19

Giả sử $(O)$ là $(ABC)$.

$(OPP')$ cắt lại $(O)$ tại $F$.

Ta có $\angle FOG=\angle FPG=\frac{\angle FOA}{2}$ nên OG là phân giác của $\angle FOA$.

Suy ra A, F đối xứng với nhau qua OG.

Gọi E là trực tâm $\Delta AGO$ thì A, E, F thẳng hàng.

Gọi $D$ là điểm đối xứng với H qua BC.

Ta có $(P'O,P'E)\equiv (GO,GE)\equiv (AE,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,GA)+(AG,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(P'O,P'P)+(AP,AO)\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+\frac{(OP,OA)}{2}\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+(DP,DA)\equiv (P'O,BC)+(DP,BC)\equiv (P'O,BC)+(BC,HP')\equiv (P'O,HP')(\mod\pi)$.

Vậy E, H, P' thẳng hàng.

Hay! Anh cũng dùng góc mà quên mất có nhiều trường hợp hình  :wub:




#731262 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 22-10-2021 - 15:58

$\boxed{25}$: Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. $P$ là một điểm bất kì nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $BC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle OPP'$ cắt $AP$ tại $G$. Chứng minh trực tâm của tam giác $AGO$ nằm trên $HP'$.  




#731260 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 22-10-2021 - 08:06

$\boxed{24}$: Cho $\triangle ABC$ và $M$ là một điểm nằm trong đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

a/ Chứng minh rằng $AM.BC,BM.AC,CM.AB$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác $\triangle$.

b/ Tìm vị trí điểm $M$ sao cho điện tích tam giác $\triangle$ là lớn nhất.
 




#731254 CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON.

Gửi bởi 12DecMath trong 21-10-2021 - 21:29

 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Gọi N là trung điểm OH. Gọi D, E là hình chiếu của N lên AC, AB. CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON.

Bài này bạn dùng bổ đề Euler sau của thầy Linh: 
https://nguyenvanlin...2B0BEooupFFmxx0

Gọi trung điểm của đường trung bình ứng với A của tam giác ABC là P

Gọi đối xứng của N qua P là S thì S nằm trên AO 
Gọi trung điểm của AN là X thì XP song song với AO ( đường trung bình) 

Ta đi chứng minh $\angle PGA= \angle PHA$ (dễ dàng chứng minh bằng các tứ giác nội tiếp) 

Vậy P nằm trên đường thẳng Euler của ADE mà O cũng nằm trên đó

Vậy OP là đường thẳng Euler của ADE đi qua trung điểm ON 




#731225 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi 12DecMath trong 20-10-2021 - 19:21

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi :lol:

Hehe :3 
Tóm tắt he  :D: Gọi $X,Y$ là trung điểm của $AB,AC$. Chứng minh được $A,X,D,Y$ đồng viên mà $A, X, O, Y$ đồng viên.

Suy ra: $G$ nằm trên $(O)$ 

Đến đây thì dễ rồi: Chứng minh $DA$ là phân giác $\angle FDE$. Từ đó ta được điều phải chứng minh thôi  :icon10:




#731158 Chứng minh rằng nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

Gửi bởi 12DecMath trong 15-10-2021 - 08:33

Cho $S$ là tập số thực thỏa: 
i/ $1 \in S$

ii/ $\forall a,b \in S, a-b \in S$ 

iii/ $a \in S, a \ne 0$ thì $\frac{1}{a} \in S$

Chứng minh rằng $\forall a,b \in S$ thì $ab \in S$.

- Giúp với ạ, em cảm ơn :wub: 




#731131 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 09:31

bài này vẫn có nghiệm nhé

Sorry, mình đã sửa lại > . <




#731127 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 08:47

Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle p,q$ nguyên tố sao cho $\displaystyle 2^{m} p^{2} +1=q^{5}$

 

Bài 12.

Ta có: $2^mp^2+1=q^5 \Longleftrightarrow 2^mp^2=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

Xét $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1)$

Ta có: $q^4+q^3+q^2+q+1=(q-1)(q^3+2q^2+3q+4)+5 \Longrightarrow \text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1)\mid 5$

Xét trường hợp $q=2$: 

Suy ra: $\text{VP} \vdots 2 \Longrightarrow \text{VT} \vdots 2 \Longrightarrow 2^m=1 \Longrightarrow m=0$ (vô lí) 

Xét trường hợp $q > 2$ suy ra: $q-1$ chẵn và $q^4+q^3+q^2+q+1$ lẻ vì $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1)\mid 5$

Nếu $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 5$ thì: $q-1=2^mp > q^4+q^3+q^2+q+1=p$ (vô lí) 

Suy ra: $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 1 \Longrightarrow q-1=2^m; q^4+q^3+q^2+q+1=p^2 (*)$ 

Xét $p=2 \Longrightarrow q=1$ (vô lí). Suy ra: $p>2$

$(*) \Longleftrightarrow q=2^m+1$. Xét $m$ lẻ: 

Suy ra: $\text{VP} \vdots 3 \Longrightarrow q=3 \Longrightarrow m=1, p=11$ (thỏa) 

Xét $m$ chẵn 
Nếu $m \geq 3$thì $q=2^m+1 \equiv 1 \pmod 8$
Suy ra: $p^2 \equiv 5 \pmod 8$ 
Không có $p$ thỏa mãn điều này. Vậy $m <3$

$m=2$ vô lí

Vậy ta có bộ nghiệm $(m,p,q)$ là $(1,11,3)$




#731126 [TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi 12DecMath trong 13-10-2021 - 07:51

Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

Cho mình gửi link AoPS luôn nha  :wub: 
Lời giải: https://artofproblem...1557175p9502820