pcoVietnam02

Hình như sai đề anh ạ, không thể chứng minh được nhé

 

Bạn pkh2705 đã confirm lại đề bài rồi nhé. Đáp án sẽ có sau. 

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4$ là số chính phương

Gợi ý:

• Chứng minh bài toán phụ: Chứng minh nếu $\frac{x^2+1}{y^2}+4$ là số chính phương thì $\frac{x^2+1}{y^2}+4=9$
• Nếu như vậy, ta sẽ có một phương trình Pell loại 2: $x^2-5y^2=-1$

Đáp án: $(x,y)$ là những nghiệm của phương trình sau $(2 + \sqrt{5})^z = x + y\sqrt{5}$

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

 

Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật của phương trình Diophante)

Những bài tiếp theo:

$\boxed{15}$ Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa

 $$ f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0), \forall x,y \in \mathbb R$$

$\boxed{16}$ Cho tất cả các hàm $f:\mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R$ thỏa 

$$f(a+b+c+d) = f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Chứng minh rằng $f$ là hàm cộng tính

$\boxed{140}$ Tìm tất cả số nguyên dương $x,y,z$ và số nguyên tố $p$ sao cho $(2x+3y)(3x+2y)=p^z$

Bây giờ là bài số 24

$\boxed{24}$ Cho $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$$3\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9+c^9}{3}} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$

Bài tiếp theo 

$\boxed{23}$ Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y,z$

$$6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \leq 27xyz+10(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$$

Đây là những bài tiếp theo cho Topic.
$\boxed{13}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa
$$ f(f(x))+f(f(y))= 2y + f(x-y)$$
$\boxed{14}$ Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa $$f(f(x)+y)-y=f(x+f(y)-2y)$$

hình như VP phải là 8 ạ? 4 thì yếu quá

 

Oke anh đã sửa lại VP bđt rồi nhé

Bài tiếp theo.

$\boxed{22}$ (Võ Quốc Bá Cẩn): Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: 

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3} \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+ \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 8$$

$\boxed{21}$ Cho $n$ là số nguyên dương và $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là các số thực thoả mãn $x_{1}\leq x_{2}\leq ... \leq x_{n}$.
(a) Chứng minh rằng:
$$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2\leq \frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2$$
(b) Chỉ ra rằng đẳng thức xảy ra khi $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là một dãy cấp số cộng.

 

Đáp án:

$(a)$ Không mất tính tổng quát, giả sử $\sum_{i=1}^n x_{i}=0$

Ta có 

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_{i}-x_{j}|=2\sum_{i<j} (x_{j}- x_{i})=2\sum_{i=1}^n (2i-n-1)x_{i}$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2\leq 4\sum_{i=1}^n (2i-n-1)^2 \sum_{i=1}^n x_{i}^2=\frac{4n(n+1)(n-1)}{3} \sum_{i=1}^n x_{i}^2$$

Mặt khác, ta lại có

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2=n\sum_{i=1}^n x_{i}^2-\sum_{i=1}^n x_{i} \sum_{j=1}^n x_{j}+n\sum_{i=1}^n x_{j}^2=2n\sum_{i=1}^n x_{i}^2$$

Do đó, $$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2 \leq $\frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2$$

$(b)$ Nếu đẳng thức xảy ra thì sẽ tồn tại số thực $k$, sao cho $x_{i}=k(2i-n-1)$, hay ta có thể nói là $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ là dãy cấp số cộng.

Mặt khác, giả sử $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ là dãy cấp số cộng với công sai $d$. Ta có 

$x_{i}=\frac{d}{2} (2i-n-1)+\frac{x_{i}+x{n}}{2}$.

Trừ $\frac{x_{1}+x_{n}}{2}$ cho mỗi $x_{i}$ ta được $x_{i}=\frac{d}{2}(2i-n-1)$ và $\sum_{i=1}^n x_{i}=0$, từ đó đẳng thức xảy ra.

Bài tiếp theo cho mọi người đây:
$\boxed{136}$. Tìm số nguyên dương $m,n$ sao cho
$$3^m=2n^2+1$$

Chính xác rồi, tiếp theo sẽ là 1 bài tương đối khó
$\boxed{21}$ Cho $n$ là số nguyên dương và $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là các số thực thoả mãn $x_{1}\leq x_{2}\leq ... \leq x_{n}$.
(a) Chứng minh rằng:
$$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2\leq \frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2$$
(b) Chỉ ra rằng đẳng thức xảy ra khi $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là một dãy cấp số cộng.

Bài tiếp theo
$\boxed{20}$ (Junior Balkan Mathematics Olympiad)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Bài tiếp theo đánh dấu 100 posts
$\boxed{19}$ [Võ Quốc Bá Cẩn] Cho các số thực phân biệt $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\frac{(1-a^2)(1-b^2)}{(a-b)^2}+\frac{(1-b^2)(1-c^2)}{(b-c)^2}+\frac{(1-c^2)(1-a^2)}{(c-a)^2} \geq -1$$