$\boxed{21}$ Cho $n$ là số nguyên dương và $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là các số thực thoả mãn $x_{1}\leq x_{2}\leq ... \leq x_{n}$.
(a) Chứng minh rằng:
$$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2\leq \frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2$$
(b) Chỉ ra rằng đẳng thức xảy ra khi $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là một dãy cấp số cộng.
Đáp án:
$(a)$ Không mất tính tổng quát, giả sử $\sum_{i=1}^n x_{i}=0$
Ta có
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_{i}-x_{j}|=2\sum_{i<j} (x_{j}- x_{i})=2\sum_{i=1}^n (2i-n-1)x_{i}$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2\leq 4\sum_{i=1}^n (2i-n-1)^2 \sum_{i=1}^n x_{i}^2=\frac{4n(n+1)(n-1)}{3} \sum_{i=1}^n x_{i}^2$$
Mặt khác, ta lại có
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2=n\sum_{i=1}^n x_{i}^2-\sum_{i=1}^n x_{i} \sum_{j=1}^n x_{j}+n\sum_{i=1}^n x_{j}^2=2n\sum_{i=1}^n x_{i}^2$$
Do đó, $$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|)^2 \leq $\frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (x_{i}-x_{j})^2$$
$(b)$ Nếu đẳng thức xảy ra thì sẽ tồn tại số thực $k$, sao cho $x_{i}=k(2i-n-1)$, hay ta có thể nói là $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ là dãy cấp số cộng.
Mặt khác, giả sử $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ là dãy cấp số cộng với công sai $d$. Ta có
$x_{i}=\frac{d}{2} (2i-n-1)+\frac{x_{i}+x{n}}{2}$.
Trừ $\frac{x_{1}+x_{n}}{2}$ cho mỗi $x_{i}$ ta được $x_{i}=\frac{d}{2}(2i-n-1)$ và $\sum_{i=1}^n x_{i}=0$, từ đó đẳng thức xảy ra.