Nobodyv3

Tuyệt vời!
Một cách giải Made in hxthanh và $hxthanh^{ \textregistered}$

@hxthanh: em nghĩ không những tiếp tục mà còn phải phổ biến hơn nữa! Những bài giải của thầy có nét duyên dáng, độc đáo riêng... mọi người nên học hỏi.
Thú thật, khi đọc các bài của thầy, riêng em, không thể một sớm một chiều mà hiểu được! Phải nghiền ngẫm nhiều ngày mà chưa chắc lĩnh hội thấu đáo nên phải đành gác lại để khi nào rảnh rỗi đọc tới đọc lui thì may ra hiểu phần nào...
Tóm lại, thầy cứ tiếp tục post bài thầy nhé, có thể các bài này không kiêu sa,
cuốn hút như một cô tiểu thư đài các chốn thị thành nhưng lại nổi bật phần duyên dáng, thùy mị, giản dị của một cô gái chân quê, mộc mạc, diệu hiền...

@hxthanh :Thật ra em chưa nghĩ ra cách tính tay bài toán này. Em post lên cho mọi người giải để mà học hỏi. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của máy tính thì đáp án của em là $63497$, rất mong mọi người kiểm tra giúp.

Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3) ) $ với :
$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3\le 11\\
y_1+y_2+y_3\le 13\\
z_1+z_2+z_3\le 15\\
x_1+y_1+z_1=8\\
x_2+y_2+z_2=8\\
x_3+y_3+z_3=8
\end{cases}$

Trường hợp riêng $n=3,9$ (tdụ với số 3 chữ số ):
$x=\overline{abc}=100a+10b+c=9(11a+b)+a+b+c$
$\Rightarrow$ tất cả các số chia hết cho 3, cho 9 thì thỏa đề bài.

Ta có hàm sinh :
$f(x)=\frac{x(1-x^9)}{1-x}.\left ( \frac{1-x^{10}}{1-x} \right )^2.\frac{1-x^{10}}{1-x^2}=\frac{(x-x^{10})(1-x^{10})^3}{(1-x)^3(1-x^2)}$
   $=(x-x^{10}-3x^{11}+3x^{20}+3x^{21}-3x^{30}-...)\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+2}^2x^i\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}$
1) Tính $\left [ x^6 \right ]f(x)=\left [ x^{30} \right ]f(x)=m$ :
  + $k=0\rightarrow C_7^2$
  + $k=1\rightarrow C_5^2$
  + $k=2\rightarrow C_3^2$
     $\Rightarrow m=C_7^2+C_5^2+C_3^2=34$
2) Tính $\left [ x^{12} \right ]f(x)=\left [ x^{24} \right ]f(x)=n$ :
  + $k=0\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$
  + $k=1\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$
  + $k=2\rightarrow C_{9}^2$
  + .....................................
  + $k=5\rightarrow C_{3}^2$
     $\Rightarrow n=(C_3^2+C_5^2+C_7^2+...+C_{13}^2)-(C_2^2+C_4^2)-3C_3^2=187$
3) Tính $\left [ x^{18} \right ]f(x)=p$
  + $k=0\rightarrow C_{19}^2-C_{10}^2-3C_9^2$
  + $k=1\rightarrow C_{17}^2-C_8^2-3C_7^2$
  + $k=2\rightarrow C_{15}^2-C_6^2-3C_5^2$
  + $k=3\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$
  + $k=4\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$
  + $k=5\rightarrow C_9^2$
  + .....................................
  + $k=8\rightarrow C_3^2$
     $\Rightarrow p=(C_3^2+C_5^2+...+C_{19}^2)-(C_2^2+C_4^2+...+C_{10}^2)-3(C_3^2+C_5^2+...+C_9^2)=310$
 
  Vậy đáp án là $\left ( \left [ x^6 \right ]+\left [ x^{12} \right ]+\left [ x^{18} \right ]+\left [ x^{24} \right ]+\left [ x^{30} \right ] \right )f(x)=2m+2n+p=2.34+2.187+310=752$.

Great solution!
Bình loạn :
Nếu mình hiểu đúng ý thì tác giả đã :
- Lập hàm sinh cho các số chẵn.
- Rút hệ số để tính các số có tổng chữ số chia hết cho 6 (điều này đảm bảo các số này chia hết cho 3 suy ra chia hết cho 6).
Giải rất khéo, xin phép được học hỏi.

Cảm ơn @chanhquocnghiem , @Nobodyv3 , mình đã tìm ra lỗi sai ở đâu (đã sửa)
Quay lại bài toán, bỏ đi điều kiện các chữ số khác nhau, kết quả là $752$. Các bạn thử tính xem!

Số nhỏ nhất thỏa đề bài là số $1014$ và lớn nhất là số $9984$, do đó số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {9984-1014}{18}+1=$
Edited.
Em còn đếm nhầm không nhỉ? Sai rồi.

Với sự trợ giúp của máy tính, ta tính :
$\bullet $ Số các số tận cùng là $0$:
Hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)\\
\Rightarrow [x^{6k}]q(x)&=16
\end{align*}$$Vậy, ta được $3!16=\boldsymbol {96}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $2$:
Hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$Đặt $r(x)$ là tổng các số hạng có bậc là $3k+1$ trong $q(x)$, mà các số hạng này  có bậc nếu cộng với 2 thì chia hết cho 6. Tdụ : $q(x)$ có 1 số hạng $3x^{16} $ được giữ lại trong $r(x)$ vì 16+2=18 chia hết cho 6. Số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+1}]r(x)=3!15$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!15-2!5=\boldsymbol {80}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $4$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$ Đặt $r(x)$ gồm các số hạng có bậc là $3k+2$ mà các số hạng này có bậc nếu cộng với 4 thì chia hết cho 6 thì số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+2}]r(x)=3!14$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!14-2!5=\boldsymbol {74}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $6$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^4y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$ Đặt $r(x)$ là tổng các số hạng có bậc là $3k$ trong $q(x)$ mà bậc các số hạng này nếu cộng với 6 thì chia hết cho 6. Số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k}]r(x)=3!16$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!16-2!5=\boldsymbol {86}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $8$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^4y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$  Đặt $r(x)$ gồm các số hạng có bậc là $3k+1$, mà các số hạng có bậc nếu cộng với 8 thì chia hết cho 6 thì số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+1}]r(x)=3!15$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!15-2!5=\boldsymbol {80}$ số
Cho nên số các số thỏa yêu cầu là :
$$96+80+74+86+80=\boldsymbol {416}$$ số

Có bao nhiêu số 4 chữ số khác nhau chia hết cho 6 và tổng các chữ số cũng chia hết cho 6.

À, đúng rồi, em đọc không kỹ!
Cám ơn thầy.

Em tính hệ số của $\left | A_{23} \right |$ là $\frac{5!}{2.3.2!}=10$ không khớp với số liệu của thầy?

- Một người thầy tận tâm!
- Vâng, khi tính tay ( by hand and paper) các cấu hình đối xứng, em đếm cao lắm là tới $f(n,4)$, nhiều hơn nữa thì rất rối rắm, dễ mắc sai sót...

Wow, nice solution.
Thầy chịu khó ghê!

Trong $5$ câu chọn ngẫu nhiên, chỉ được sai không quá $2$ câu.
Xác suất sai không quá $2$ câu (đạt trên $9,5$ điểm) là :
$P=\left ( \frac{1}{4} \right )^5+C_5^1\left ( \frac{3}{4} \right )\left ( \frac{1}{4} \right )^4+C_5^2\left ( \frac{3}{4} \right )^2\left ( \frac{1}{4} \right )^3=\frac{53}{512}$

Như vậy em thấy, thì thông tin " đã làm đúng 45 câu " là đề cho thừa! , vì lúc này bài toán tương đương : "Một bài kiểm tra có 5 câu hỏi, hỏi XS để bạn An làm sai nhiều nhất 2 câu? "

1 .Trong một hộp đựng bi của An có chứa bao gồm 10 bi xanh, 20 bi vàng và 30 bi đỏ.Hỏi An có bao nhiêu cách chọn ra 30 viên bi để đi tặng Minh, biết rằng mỗi loại có ít nhất 1 viên được lấy ra.
2 .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 25 quả bóng gồm 3 loại bóng, xanh, đỏ, trắng sao cho số bóng đỏ chọn nhiều nhất là 2, số bóng xanh chọn nhiều nhất là 3 và số bóng trắng chọn nhiều nhất là 4.

1) Hàm sinh cho số cách chọn thỏa yêu cầu :
$\begin{align*}
f(x)&=\frac {x^3(1-x^{10})(1-x^{20})(1-x^{30})}{(1-x)^3}\\
&=\frac {(x^3-x^{13}-x^{23}+...)}{(1-x)^3}
\end{align*}$
Hệ số của hạng tử $x^{30}$ trong khai triển của đa thức $f(x)$ chính là số cách chọn thỏa yêu cầu :
$\begin {align*}
\Rightarrow [x^{30}]f(x)&=([x^{27}]-[x^{17}]-[x^{7}])\sum_{k\geq 0}\binom {k+2}{2}x^k\\
&=\binom {29}{2}-\binom {19}{2}-\binom {9}{2}\\
&=406-171-36=\boldsymbol {199}
\end{align*}$
2) Sau một lúc đếm tới đếm lui mà không tìm được kết quả, mình xin đi đến kết luận là bài này vô nghiệm.