Đến nội dung


Dennis Nguyen

Đăng ký: 17-06-2021
Offline Đăng nhập: 04-12-2021 - 18:13
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathb...

13-11-2021 - 21:55

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.

Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?


Trong chủ đề: Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$

09-11-2021 - 21:10

Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.

Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.

Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.

Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.

$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.

Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.

Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.

Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.

$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.

Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.

Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.

Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)

Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó


Trong chủ đề: $3(x^2-x+1)(y^2-y+1)(z^2-z+1)\geq x^2y^2z^2+xyz+1 (\forall...

08-11-2021 - 20:26

Ta có bất đẳng thức phụ sau: $3(x^2-x+1)^3\geq x^6+x^3+1\Leftrightarrow (2x^2-x+2)(x-1)^4\geq0$ 

Tương tự thì $3(y^2-y+1)^3\geq y^6+y^3+1, 3(z^2-z+1)^3\geq z^6+z^3+1.$ 

Nhân 3 bất đẳng thức này vế theo vế thì ta được $27(x^2-x+1)^3(y^2-y+z)^3(z^2-z+1)^3\geq(x^6+x^3+1)(y^6+y^3+1)(z^6+z^3+1)\geq(x^2y^2z^2+xyz+1)^3$ (Holder) $\Rightarrow$ ĐPCM

Bạn có thể chia sẻ cách tìm ra bất đẳng thức phụ đó không? Mình thấy nhiều bài mới vô cũng xét bất đẳng thức phụ mà không biết làm sao ra được thế? 


Trong chủ đề: Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng

04-11-2021 - 21:28

Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.

Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$

 

Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.À 

À bạn có thể nào cho mình hỏi tại sao $D(EFXA)=-1$? Bạn có thể nói chi tiết với!


Trong chủ đề: Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng

02-11-2021 - 18:08

Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.

Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$

 

Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.

Phần chứng minh tứ giác $MYM'Z$ điều hòa nếu không dùng hàng điểm thì có thể chứng minh được không bạn?