namdung

Đây là phần đầu bài viết của tôi. Bạn nào có những ví dụ hay về những ứng dụng của BDT Ptolemy và Định lý Ptolemy thì gửi cho tôi nhé.

Hì, có lẽ tôi là một nhà tổ chức tồi.

Hoặc cơn bão ở ngoài khơi ảnh hưởng đến sự nhiệt tình của một số bạn.

Tuy nhiên thì buổi offline ở Bình Quới cũng đã diễn ra với sự tham dự của 6 thành viên:

Namdung, Bửu Lộc (GV Trần Đại Nghĩa), Cao Minh Quang (GV chuyên Vĩnh Long), Lưu Minh Đức (GV PTNK) và hai bạn Hy Hiếu, Trung Hiếu đến từ trường PTNK.

Khu du lịch Bình Quới tuyệt đẹp, và chúng tôi cũng chiếm được 1 hòn đảo xinh xắn ở ngay bên tay trái của cổng vào. Rất thú vị là cách đó không xa, có buổi sinh hoạt của CLB Thủ khoa, thuộc Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Lý Tự Trọng do Nhà giáo lão thành Đàm Lê Đức lãnh đạo. Vì vậy, bên cạnh những thông tin xoay quanh chủ đề "Kỳ thi Toán quốc tế 2007" và "Vai trò của Toán rời rạc trong trường phổ thông", chúng tôi còn được nghe những bài thơ, bài hát của các thầy cô giáo và của các bạn học sinh, trong đó có bài "Ngày đầu tiên đi ... dạy" như thế này

Ngày đầu tiên đi dạy
Vợ dắt tay đến trường
Tôi vừa đi vừa khóc
Vợ dỗ dành bên tôi
Ngày đầu tiên đi dạy
Tôi mắt ướt nhạt nhòa
Con vỗ về an ủi
Ba ơi! Ba nín đi

Ngày đầu như thế đó,
Viên phấn như bạn hiền
Tôi bây giờ cứ ngỡ
Lớp học là quân xanh
Tôi bây giờ khôn lớn,
Bỗng nhớ về ngày xưa
Ngày đầu tiên đi dạy
Vợ con cùng vỗ về...


Phần trao đổi toán và nghe diễn văn nghệ kéo dài 1h30. Sau đó chúng tôi đã chuyển sang phần liên hoan thân mật tại quán Cháo vịt Thu Nga, một trong những địa danh nổi tiếng của bán đảo Thanh Đa. Thật là danh bất hư truyền, vịt luộc vừa thơm, không béo mà mềm, cháo rất ngon, rất thơm, bắp cải và rau sống rất hợp khẩu vị.

Nói chung là một buổi offline ngắn nhưng bổ ích và thú vị, đặc biệt trong 1 sáng chủ nhật đẹp trời như vậy.

Kinh phí (khoảng 600K, trong đó có 300K thuê địa điểm - hơi phí) được share bởi các mạnh thường quân: Namdung, Bửu Lộc, Minh Đức.

Xin cảm ơn các bạn đã đến tham dự offline. Hy vọng lần sau sẽ đông hơn 1 chút.

Dự định là sau 5/9, 2 tuần 1 lần, nhóm GV tại Tp HCM và các tỉnh lân cận sẽ tổ chức seminar Toán sơ cấp, địa điểm tại trường Lê Hồng Phong. Sẽ có thông báo cụ thể sau.

Không biết tụi em không tham gia được thì có thể có mấy tài liệu,...và nội dung về buổi off ko ?

Tôi sẽ gửi tài liệu và hình ảnh cuộc offline trên mạng. Tôi có định dấu cái gì đâu.

Tôi đây, Nam Dũng đây

Vừa rồi nhiều vụ việc quá, chẳng vào diễn đàn được.

Offline HCM dự định thế này:

Sáng 26/8, khu du lịch Bình Quới
Nội dung:
+ Kỳ thi Toán quốc tế 2007
+ Vai trò của Toán rời rạc ở phổ thông
+ Dùng trắc nghiệm để kiểm tra kiến thức và kỹ năng ntn?

Ai đăng ký tham gia thì giơ tay nhé.

BTC sẽ có ít nhất 5 người đã tham dự chấm thi IMO vừa qua.

Kinh phí: Sẽ đi xin + Tôi tài trợ + Anh em đóng góp

Namdung

thưa thầy, cho em hỏi điều kiện để 1 BĐT có thể được chuẩn hóa là gì ạ (cái này em có xem qua trong quyển "Sáng tạo BĐT" của Phạm Kim Hùng nhưng rất mơ hồ), nhờ thầy dùng kiến thức THCS để giải thích ạ (em mới học lớp 9)

Hàm số f được gọi là thuần nhất bậc k nếu khi ta tăng tất cả các biến lên t lần thì hàm số tăng lêng t^k lần. Nói cách khác:

$ f(tx, ty, ..., tz) = t^kf(x, y, ..., z)$
Nếu ta có bất đẳng thức dạng

$f(x, y, ..., z) \ge 0$
trong đó f(x, y, ..., z) là một hàm thuần nhất bậc k thì ta có thể chuẩn hóa được.

Ví dụ:

Bất đẳng thức $x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz$
hay bất đẳng thức
$3(x^3+y^3+z^3)^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^3 $
Có thể chuẩn hóa thành
Chứng minh rằng nếu x, y, z dương có tích bằng 1 thì $x^3 + y^3 + z^3 \ge 3 $
Chứng minh rằng nếu x, y, z dương có $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ thì $x^3 + y^3 + z^3 \ge 3$

Bất biến là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán Olympic, đặc biệt là các bài toán có nội dung tổ hợp.

Hiện nay tôi đang viết một bài giảng về bất biến. Vì vậy đang cần đến một số ví dụ hay (cũng như các vấn đề lý thuyết hay) về ứng dụng của bất biến.

Bài toán cơ bản sử dụng bất biến được phát biểu dưới dạng như sau:

Bài toán 1. Có một tập hợp các trạng thái S và tập hợp các phép biến đổi T từ S vào S. Có hai trạng thái s và t thuộc S. Hỏi có thể dùng hữu hạn các phép biến đổi thuộc T để đưa trạng thái s về trạng thái t được không?

Định nghĩa. Cho S là một tập hợp các trạng thái. T là tập hợp các phép biến đổi từ S vào S. Hàm số f: S --> R được gọi là bất biến trên tập các trạng thái  đối với tập các phép biến đổi T nếu
f(t(s)) = f(s) với mọi s thuộc S và t thuộc T.

Như vậy, bất biến f có thể giúp chúng ta giải quyết trọn vẹn câu hỏi ìBằng các phép biến đổi T, có thể đưa từ trạng thái s về trạng thái t?” trong trường hợp mà f(s) khác f(t). Cụ thể câu trả lời sẽ là ìkhông”. Tuy nhiên, nếu f(s) = f(t) thì ta lại chưa có thể kết luận gì. Chính vấn đề này dẫn đến một khái niệm mới: bất biến toàn năng.

Định nghĩa. Bất biến f đối với cặp (S, T) được gọi là bất biến toàn năng nếu:
Trạng thái s có thể đưa về từ trạng thái t bằng các phép biến đổi T khi và chỉ khi f(s) = f(t).

Bất biến toàn năng sẽ giúp chúng ta giải quyết trọn vẹn bài toán ìchuyển được”. Tuy nhiên, việc xây dựng một bất biến như vậy không đơn giản. Trong nhiều trường hợp, sẽ dễ dàng hơn khi chúng ta xét đến một hệ bất biến toàn năng.

Định nghĩa. Hệ các bất biến $(f_1, f_2, …, f_k)$ đối với cặp (S, T) được gọi là hệ bất biến toàn năng nếu: Trạng thái s có thể đưa về từ trạng thái t bằng các phép biến đổi T khi và chỉ khi $f_i(s) = f_i(t)$ với mọi i = 1, 2, …, k.

Sau đây là một số ví dụ về ứng dụng của bất biến:
1. Trên bảng có các số 1/96, 2/96, 3/96, …, 96/96. Mỗi một lần thực hiện, cho phép xoá đi hai số a, b bất kỳ trên bảng và thay bằng a + b – 2ab. Hỏi sau 95 lần thực hiện phép xoá, số còn lại trên bảng là số nào?

2. Vòng tròn được chia thành n hình cánh quạt bằng nhau. Tại mỗi một cánh quạt có sẵn một viên bi. Mỗi một lần thực hiện, cho phép di chuyển hai viên bi bất kỳ sang ô bên cạnh, một viên theo chiều kim đồng hồ, một viên ngược chiều kim đồng hồ. Hỏi với những giá trị nào của n, ta có thể dồn tất cả các viên bi vào một cánh quạt sau một số hữu hạn các bước chuyển?

3. Có 3 đống sỏi có 10, 9 viên và 7 viên. Hai người chơi trò bốc sỏi: Mỗi một lần bốc có thể bốc đi một số viên bất kỳ (ít nhất 1 viên) từ một đống sỏi bất kỳ. Ai không còn sỏi để bốc sẽ thua cuộc. Hỏi ai là người thắng cuộc nếu chơi đúng.

4. Alibaba cùng chia với 1 tên cướp 10 đống cát vàng. Alibaba có thể tại 1 thời điểm bất kỳ lấy 3 đống vàng và đi, hoặc anh ta có thể chọn 4 đống vàng bất kỳ và chia mỗi đống thành 2 phần: phần phải và phần trái. Sau đó tên cướp sẽ hoán đổi các phần phải (không được để yên) và sau đó các phần lại nhập lại làm một.

Hỏi Alibaba có thể lấy đi 49 kg vàng không, nếu ban đầu có 50kg vàng?

5. Người ta có thể cắt một hình 17 giác lồi thành 14 tam giác không?

Rất mong sự góp ý và giúp đỡ của các bạn.

Các bạn thân mến,

Trong kỳ thi chọn HSG Toán quốc gia năm ngoái, có một bài phương trình hàm đa thức khá đơn giản, nhưng trên thực tế thì điểm số trung bình của bài này không cao. Đặc biệt, trong các bài giải được, những bài giải gọn gàng, xúc tích và chặt chẽ không nhiều.

Để giúp cho các bạn học sinh nắm được những kỹ thuật cơ bản trong việc giải phương trình hàm đa thức, nắm được những tính chất "then chốt" của đa thức mà ta cần vận dụng trong việc xử lý phương trình hàm đa thức, tôi dự định sẽ tổ chức một seminar về phương trình hàm đa thức với đối tượng là các bạn trẻ yêu toán, thời gian dự kiến là ngày 17/12/2006.

Nội dung sẽ gồm các mục chính sau:

1) Phương trình hàm dạng P(f(x))P(g(x)) = P(h(x))

2) Phương trình hàm dạng P(f(x))P(g(x)) = P(h(x)) + Q(x)

3) Phương trình Diophant cho đa thức

4) Phương trình hàm chứa vi phân

Để có thêm tư liệu viết bài này, tôi rất cần sự đóng góp của các bạn về các bài toán PTH đa thức cũng như các phương pháp giải. Mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn.

Tiến độ dự kiến của các mục

1) Sẽ post ngày 2/12
2) Sẽ post ngày 4/12
3) Sẽ post ngày 7/12
4) Sẽ post ngày 9/12

Namdung

Hướng dẫn:

1) Hãy chứng minh rằng lim x_n = +oo

2) Từ đó suy ra lim (x_{n+1}^2 - x_n^2) = 2.

3) Có 1 định lý nói thế này:

Nếu lim x_n = a thì lim S_n = a trong đó

S_n = (x_1+x_2+...+x_n)/n

Định lý này gọi là định lý trung bình Cesaro. Định lý Stoltz tổng quát hơn nhưng thực tế thì ít dùng hơn định lý nêu trên (ít nhất là ở các bài toán phổ thông)

Bạn có thể dùng định nghĩa để chứng minh định lý nêu trên. Chú ý chỉ cần xét trường hợp a = 0.

Chào các bạn

Không phải chỉ trên DDTH mới đặt ra câu hỏi "Tại sao có nhiều toán BDT". Cả trên mathlinks.ro, một diễn đàn nổi tiếng của dân Olympic toán, câu hỏi tương tự cũng được đặt ra.

Tôi không có ý định trả lời câu hỏi này, vì đây quả thực là một câu hỏi khó. Hồi cuối cấp 2, tôi cũng rất đam mê BDT vì chúng hấp dẫn và khá dễ hiểu (không cần trang bị kiến thức cao siêu gì). Đến nay, tôi vẫn thích BDT vì đây vẫn là lĩnh vực dễ sáng tạo ra bài toán mới nhất (trong khi đó với 1 bài toán hình học, tổ hợp hay thậm chí phương trình, việc nghĩ ra bài toán mới khó hơn nhiều).

Ở đây, tôi muốn đặt vấn đề liên quan đến tính thực tế của BDT, nói cách khác, đến ứng dụng của BDT trong toán học và trong cuộc sống.

Đành rằng, có nhiều bài toán đặt ra mà gần như không có ý nghĩa thực tế gì cả (ví dụ nổi tiếng: phương trình x^n + y^n = z^n) nhưng vẫn có những ý nghĩa khoa học lớn lao. Nhưng, theo tôi, thực tế vẫn là thước đo quan trọng nhất để đánh giá ý nghĩa của một bài toán. Vì vậy, những bài toán xuất phát từ thực tế luôn là những bài toán đáng được quan tâm, và, rất may mắn, chúng thường là những bài toán đẹp.

Với những suy nghĩ như vậy, tôi muốn mở diễn đàn dành cho tất cả chúng ta để nói về những ứng dụng của BDT trong toán học và trong cuộc sống. Và để bắt đầu, tôi đưa ra một số bài toán kinh điển:

1. Có ba làng A, B, C, D trên đỉnh một hình vuông cạnh 1km. Hãy thiết lập mạng lưới giao thông nối liền 3 làng tốn ít chi phí nhất.

2. Có một miếng tôn hình vuông kích thước 1m x 1m. Hãy sử dụng miếng tôn này để hàn thành 1 hình hộp chữ nhật (không cần đáy) có dung tích lớn nhất.

3. Hai làng A, B nằm hai bên 1 dòng sông. Hỏi phải xây cầu ở vị trí nào để đường đi từ A đến B ngắn nhất (cầu phải xây vuông góc với bờ sông)

4. Từ A đến B, người ta phải đi qua 1 cách đồng và 1 con sông. Tốc độ chạy trên cách đồng là v1, tốc độ bơi trên sông là v2. Hỏi phải bố trí cách di chuyển thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?

5. Một gia đình cần 900g chất protit và 400g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Ta biết rằng thịt bọ chứa 80% protit và 20% lipit, thịt heo chứa 60% protit và 40% lipit. Người ta chỉ mua nhiều nhất 1600g thịt bò, 1100 g thịt heo. Giá tiền 1kg thịt bò là 60.000 đồng, thịt heo là 48.000 đồng. Hỏi gia đình này phải mua mỗi loại thịt bao nhiêu để chi phí ít nhất?

Rất mong muốn được nhận thêm sự đóng góp của các bạn về những ứng dụng đa dạng của BDT.

Chúng ta sẽ không giới hạn ở các bài toán phổ thông.

Tìm hàm số ngược của hàm số y = f(x) tương đương với việc giải phương trình f(x) = y, trong đó y làm tham số.

Không phải phương trình nào ta cũng giải được như vậy. Ví dụ với hàm

f(x) = 2x+1 thì phương trình f(x) = y <=> 2x+1 = y <=> x = (y-1)/2

như thế hàm ngược là hàm g(x) = (x-1)/2.

Với hàm f(x) = x^5 thì ta có hàm ngược là x^{1/5}

Nhưng với hàm f(x) = tg(x) thì ta chịu. Đành phải đặt tên là arctg(x). Với hàm e^x thì đặt tên hàm ngược là ln(x).

Nói chung, khi học, ta cần nắm được định nghĩa của hàm ngược, chứ tìm hàm ngược thì không quan trọng lắm, vì đa số là không tìm được.

Ví dụ đơn giản: Ai cũng biết hàm f(x) = x^5 + x là song ánh từ R vào R, và như thế f có hàm ngược. Nhưng công thức hàm ngược thì chịu.

Phương pháp diện tích là một phương pháp hay để giải các bài toán hình học liên quan đến: công thức hình học, các tính chất hình học như song song, thẳng hàng. Một ví dụ kinh điển là bài toán Newton về tứ giác ngoại tiếp (trung điểm hai đường chéo đi qua tâm đường tròn nội tiếp).

Chúng ta cùng đóng góp các bài toán giải bằng PP này nhé.

Về phương pháp hàm sinh có thể tham khảo ở topic Các phương pháp đếm nâng cao, trong Hộp thư Toán rời rạc.

Riêng về cấp số, đó chính là các CSC, CSN thông thường thôi, nhưng nếu biết áp dụng có thể giải nhiều bài hay ho.

Hì, về lục mãi mới ra ... hi vọng góp vài ví dụ minh họa (đây là "phiên bản" thời 2002, ko biết có lạc hậu chưa )

Lời giải 2 mà Hatucdao đưa ra thật là độc đáo. Theo Erdos thì Chúa có 1 cuốn sách
ghi toàn những lời giải như vậy, vấn đề là chúng ta phải tìm ra nó thôi.

Bài học: Bài toán nào hay cũng có lời giải đẹp.

Tuy nhiên: Trước khi tìm được lời giải đẹp phải tìm được lời giải cái đã.

Lời giải bài toán Happy ticket bằng phương pháp hàm sinh

Theo như lý luận trước đó, số vé hạnh phúc bằng số nghiệm của phương trình

http://dientuvietnam...1 x x^2 ... x^9)^6

Mà http://dientuvietnam...metex.cgi?A^{(2)}có thể có những phần tử giống nhau)

Chứng minh rằng nếu tồn tại A, B là các tập hợp thỏa mãn điều kiện 1) A khác B, 2) |A| = |B| = n, 3) thì n là lũy thừa của 2.

• caybutbixanh yêu thích

Hàm sinh

Trong phần này chúng ta sẽ nêu ra định nghĩa của hàm sinh, các tính chất cơ bản của hàm sinh. Tiếp đó chúng ta sẽ nêu ra các ứng dụng cơ bản của hàm sinh trong việc giải quyết các bài tóan đếm và giải các phương trình đệ quy.

Định nghĩa

Cho dãy số $(a_n)_{n=0}^{\infty}$. Hàm sinh của dãy $(a_n)$ ký hiệu là G(x) là tổng hình thức
$1/(1-x)^2$ là hàm sinh của dãy số $(a_n)$ với $(a_k+b_k)$ còn f(x).g(x) là hàm sinh của dãy $(c_k)$ với $(a_k)$ trong đó $(b_k)$ trong đó $1/(1-x)^3$ là hàm sinh của dãy ${c_k}$ với ${a_k}$ cho bởi
$(1+x)^n$. Có một số dãy số cũng có hàm sinh có dạng $(1+x)^u$, trong đó u là số thực. Để làm điều này, ta cần đến một số định nghĩa về hệ số nhị thức mở rộng.

Định nghĩa: (Hệ số nhị thức mở rộng) Hệ số nhị thức mở rộng được định nghĩa bởi
$x^r$ trong khai triển lũy thừa của hàm sinh G(x), trong đó G(x) được xác định bởi các điều kiện của bài tóan. Nếu tìm được đúng hàm G(x), ta chỉ cần tìm khai triển lũy thừa của hàm này từ đó suy ra hệ số của $x^r$.

Ví dụ: Tìm số các cách chọn 3 số nguyên không âm có tổng bằng 10.

Ví dụ: Tìm số các chọn các đồng tiền mệnh gía 1$, 5$, 10$, 20$ để được tổng là 25$.

Ví dụ: Tính số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.

Ý tưởng chính được trình bày trong các lý luận sau:

Đáp số của bài 1 là hệ số của $x^{10}$ trong khai triển

$\dfrac{1}{(1-x)^3}$

Đáp số của bài 2 là hệ số của $x^{25}$ trong khai triển của

$ (1 + x + x^2 + ...)(1+x^5+x^{10}+...)(1+x^{10}+x^{20}+...)(1+x^{20}+x^{40}) $
Đây là điểm rất quan trọng trong lý luận của chúng ta. Nếu hiểu được điểm này thì ứng dụng thứ nhất của hàm sinh là trong tầm tay của các bạn.

Tôi sẽ quay trở lại chủ đề này trong bài tiếp theo. Trước mắt các bạn hãy xem kỹ lại những gì đã được trình bày.