E. Galois

Tặng các bạn 1 bài khá hay

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình d1: x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x – 2y – 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

Hãy đổi 1 tờ 100 000 VND ra 10 tờ nhỏ hơn không có tờ 10 000 và tờ 1 000

Từ bài toán trên ta có bài toán giải pt nghiệm nguyên sau:

$ \left\{\begin{array}{l}a+2b+5c+20d+50e+200f+500g = 1000\\ a+b+c+d+e+f+g = 10\\ \end{array}\right. $

Mời anh em cùng tham chiến.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{27} {\left[ {C_{27}^k \left( {\dfrac{x}{{100}}} \right)^k \left( {\dfrac{{100 - x}}{{100}}} \right)^{27 - k} .\left( {80k - 23x} \right)} \right]} $

trên đoạn [0;100].

Hai người, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá. A là
bắt đầu, và tiếp đó hai người chơi xen kẽ luân phiên nhau. Mỗi người lấy hoặc
một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài. Cuối cùng tất cả các lá bài được chọn, và
người không lấy lá bài cuối cùng là người thua. Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo chiến thuật tối ưu?

Tôi có 1 tờ giấy. Tôi xé nó thành 9 mảnh, rồi để 9 mảnh ấy xuống mặt bàn. Tôi nhắm mắt lại vơ hú họa một số mảnh giấy lên và lại xé mỗi mảnh trong số chúng thành 9 mảnh. Rồi tôi lại để chúng xuống mặt bàn, trộn tung số giấy ở mặt bàn lên.

...

Tôi cứ làm như thế một số lần. Cuối cùng, tôi nhờ anh bạn của tôi đếm. Anh ta cho kết quả là trên bàn có 720 mảnh giấy. Anh ta đếm đúng hay sai?

Mình xin ủng hộ một chuyện

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN HƠN

Một ngày nọ, một nhà toán học cảm thấy quá mệt mỏi với việc làm toán. Thế là ông ta quyết định đi xin việc ở đội lính cứu hoả. Đội trưởng đội cứu hoả ngắm nhà toán học và nói "Anh trông có vẻ được. Tôi sẽ rất vui nhận anh vào làm việc nếu anh vượt qua được bài kiểm tra nhỏ này".
Ông ta đưa nhà toán học tới nơi luyện tập của đội lính cứu hoả, nơi có đặt một chiếc thùng, một trụ cứu hoả và một vòi nước. Ông đặt câu hỏi
- Nào! Bây giờ giả sử anh đang đi trên đường và nhìn thấy cái thùng đang cháy, anh sẽ xử lý thế nào?
Nhà toán học trả lời ngay không chút do dự
- Tôi sẽ lắp ngay ống nước vào trụ cứu hoả, bật nước và dập tắt ngọn lửa.
- Rất tốt. Bây giờ thì chỉ còn một câu hỏi nhỏ cho anh nữa thôi - Anh sẽ làm gì nếu đang đi dạo và thấy chiếc thùng không cháy?
Nhà toán học suy nghĩ một lát rồi đáp
- Tôi sẽ châm lửa cho nó!!!
Lính cứu hoả hét lên
- Cái gì! Thật khủng khiếp! Tại sao anh có thể làm như vậy được nhỉ?
Nhà toán học thản nhiên
- Có gì đâu. Làm như thế tôi sẽ đưa bài toán về bài toán vừa giải xong!

Mình thấy hiện nay, VMF chúng ta có nhiều bạn học và làm toán rất tốt. Điển hình là đội ngũ điều hành viên 2011. Hầu như các bài toán post lên đều được các vị anh hùng này giải trong nháy mắt.

Tuy nhiên, một xã hội phát triển bình thường thì đại đa số mọi người là ở mức trung bình. Vì vậy, cần tạo điều kiện để các bạn có khả năng trung bình về toán phát triển. Bạn nghĩ sao nếu một người có năng lực toán trung bình vào VMF, họ không thể tham gia post 1 bài nào, bài họ làm được đã bị các bạn làm hết. Hoặc có khi họ post lên 1 bài họ chưa làm được, nhưng bạn lại cho là nó quá dễ, bạn chỉ nói chung chung cách giải. Thậm chí những thắc mắc của họ còn không được chỉ dẫn tường tận.

Nếu cứ như thế này mãi, những người học toán trung bình sẽ dời bỏ VMF vì ở đây quá tầm với họ.

Đừng làm VMF xa lạ với người học toán!

Hãy để cho các bạn có học lực trung bình cũng có cơ hội giải bài.

Vậy nên, các bạn thuộc hàng đại anh hùng của VMF, nếu thấy bài nào dưới cơ mình thì xin các bạn đừng reply, hãy tạo điều kiện cho những người yếu hơn. Nếu post bài, nên post chi tiết (Nét đẹp của toán học là ở chỗ bài giải toàn vẹn). Nếu họ không hiểu chỗ nào, các bạn nên chỉ giúp nhiệt tình.

Vì một VMF thân thiện,
Mong được ủng hộ!

Vì Russell có nhiều điểm đặc biệt nhất nên mình xin phép post riêng.

Bertrand Arthur William Russell (18/05/1872 – 02/02/1970), là nhà triết học, sử học, logic học, toán học, nhà phản biện xã hội học người Anh.



Nghịch lý Russell
Russell chia tập hợp thành hai loại:

1* Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.

2* Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:

Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?

Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell. Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:

Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?

Giả sử Tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì Tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy Tập Russell là tập lạ thường, mâu thuẫn với giả thiết!

Giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:

* Nếu Tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.

* Nếu Tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.

Đó chính là Nghịch lý Russell, được trình bầy dưới dạng ký hiệu như trong minh hoạ sau:

Hình bên trái: Một cái hộp chứa chính nó - một sản phẩm phi thực tế. Hình bên phải: Một tập hợp chứa chính nó - một sản phẩm của logic hình thức thuần tuý.
...

Năm 1924, tức một năm trước khi mất, Frege trăng trối: ìNghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”. Rồi ông nói tiếp: ìTôi càng suy nghĩ về điều này thì tôi càng đi đến chỗ tin rằng số học và hình học đều nẩy sinh từ cùng một nền tảng, thực ra là từ nền tảng hình học; Do đó toàn bộ toán học thực ra là hình học”.

Nghịch lý Russell đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp. Nếu nó chưa đủ sức khai tử Chương Trình Hilbert như 29 năm sau Định Lý Bất Toàn của Godel sẽ làm, thì ít nhất nó cũng đã cho thấy lý thuyết tập hợp thực ra cũng chẳng phải ìlý tưởng”, ìchính xác”, và ìtuyệt đối” như người ta đã kỳ vọng quá nhiều vào nó – kỳ vọng đến nỗi coi nó là nền tảng của toán học, muốn dùng nó làm cơ sở để diễn đạt toàn bộ toán học, và thậm chí, ra sức nhồi nhét ngôn ngữ tập hợp vào đầu học sinh phổ thông.

Có hai người chơi đánh cờ (ván cờ không có kết quả hòa). Họ là kì phùng địch thủ (ngang tài ngang sức, kết quả 1 ván đấu không đoán trước được, 50 ăn 50). Họ thỏa thuận với nhau rằng, ai thắng được 6 ván trước thì sẽ dành trọn phần thưởng. Nhưng vì 1 lý do khách quan, họ phải dừng cuộc chơi khi người thứ nhất thắng được 5 ván còn người thứ 2 thắng được 2 ván.
Phải chia phần thưởng thế nào cho công bắng.

Nếu họ không ngang tài ngang sức thì chia thế nào?

-----------------------------------------------------------------------------------
(Nguyên nhân chỉnh sửa: Bổ sung giả thiết ván cờ không có kết quả hòa)

Gọi A là điểm xuất phát.
Bước 1: Lạc đà mang theo 1000 quả chuối đi từ A đến điểm B sao cho AB = 200km. Nó ăn hết 200 quả cho lượt đi. Đến B, còn 1000 - 200 = 800 quả. Còn phải quay về A nên cần mang về 200 quả (ăn dọc đường). Để lại B: 800 - 200 = 600 quả.

Bước 2: Lặp lại bước 1, ở B bây giờ có 600 + 600 = 1200 quả.

Bước 3: Lạc đà mang theo 1000 quả chuối cuối cùng đi từ A đến điểm B. Nó ăn hết 200 quả trên đường đi. Đến B, còn 1000 - 200 = 800. Vậy số quả ở tại B bây giờ là 1200 + 800 = 2000.

Bước 4: Lạc đà mang theo 1000 quả từ B đi 333,333km đến địa điểm C. Nó ăn hết 333,3 quả chuối dọc đường (333 quả và 1/3 quả chuối), cần mang theo 333 quả (và 2/3 quả chuối ăn dở)dọc đường từ C về B (không thì chết đói). Vậy để lại C: 1000 - 333 - 334 = 333 quả.

Bước 5: Lạc đà lại mang theo 1000 quả từ B đi 333,333km đến địa điểm C. Nó ăn hết 333,3 quả chuối dọc đường (đã ăn hết quả chuối ăn dở)
Còn 1000 - 333 = 667 quả. Vậy bây giờ ở C có: 667 + 333 = 1000 quả.

Bước 6: Từ C đến chợ còn 1000 - 333,333 - 200 = 466,667km. Lạc đà mang nốt 1000 quả còn lại. Ăn mất 467 quả. Còn 1000 - 467 = 533 quả.
(thật ra là còn 533 quả 1/3 nữa)

Một vườn chuối nằm cạnh một sa mạc. Vườn có 3000 chuối. Chủ rừng muốn vận chuyển chuối đến chợ bằng lạc đà, trên một đoạn km 1000 của sa mạc. Chủ nhà chỉ có một con lạc đà, có thể mang theo tối đa là 1000 chuối ở bất kỳ lần vận chuyển nào và ăn một quả chuối mỗi km nó đi. Số lượng lớn nhất của chuối có thể được giao tại chợ là bao nhiêu?

Các bác có biết chính xác admin của VMF là ai không? Em muon biết để nộp đơn ứng cử vào làm thành viên quản trị. Hi vọng sẽ giúp ổn định lại VMF. EM có nhiều thời gian, sẽ có thể quan tâm tới VMF của chúng ta nhiều hơn

Trời tưởng gì chứ mấy anh hiệp sỹ thì đi làm vườn ở nhà vườn quốc gia Cúc Phương rồi. Số điện thoại liên hệ : 1900100 bít

Mình xin ứng cử vào Ban quản trị diễn đàn. Mình có nhiều thời gian. Xin mọi người ủng hộ

Tính
$I= \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}ln \dfrac{ (1+sinx)^{1+cosx} }{1+cosx)}dx $

Đặt $ x = \dfrac{\pi }{2} - t $
Suy ra:
$ I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln \dfrac{{(1 + \cos t)^{1 + \sin t} }}{{(1 + \sin t)}}dt} $

Do đó:

$ 2I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {\ln \dfrac{{(1 + \cos x)^{1 + \sin x} }}{{(1 + \sin x)}} + \ln \dfrac{{(1 + \sin x)^{1 + \cos x} }}{{(1 + \cos x)}}} \right]dx} $

$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {\ln \left( {(1 + \cos x)^{\sin x} .(1 + \sin x)^{\cos x} } \right)} \right]dx} $

$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x.\ln (1 + \cos x)dx + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x.\ln (1 + \sin x)dx} } $

$ = - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln (1 + \cos x)d(1 + \cos x) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln (1 + \sin x)d(1 + \sin x)} } $

Sử dụng
$ \int {\ln xdx = x\ln x - x + C} $

Ta có
$ 2I = \left. {\left( {\ln \dfrac{{(1 + \sin x)^{(1 + \sin x)} }}{{(1 + \cos x)^{(1 + \cos x)} }} + \cos x - \sin x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} $

$ = \left( {\ln 4 - 1} \right) - \left( {\ln \dfrac{1}{4} + 1} \right) = \ln 16 - 2 $

Vậy
$ I = \ln 4 - 1$