E. Galois

Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $

Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$

 

 

Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.

 

Từ $v_n=nv_{n-1}, \forall n \geq 1$ ta suy ra $v_n=n!, \forall n \geq 1$. Khi đó

$$u_n-u_{n-1}=v_{n}=n!\Leftrightarrow u_n=u_{n-1}+n!, \forall n \geq 2$$

Do đó

$$\begin{align*} u_1&=1 \\ u_2 &= u_1 + 2! \\ u_3 &= u_2 + 3! \\ ... & ... \\   u_n &= u_{n-1} + n! \end{align*}$$

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được $u_n= \sum_{k=1}^{n} k!, \forall n \geq 1$.

Rất tiếc là không thể biểu diễn $u_n$ qua các hàm số sơ cấp.

 

$$\sum_{k=0}^{n}k!=\dfrac{i\pi}{e}+\dfrac{Ei (1)}{e}-\dfrac{(-1)^n \Gamma [n+2]\Gamma [-n-1,-1]}{e},$$

với

$$Ei(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t dt, \quad \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt; \quad \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}dt$$

Nghĩa là tính ra đc hẳn số đo của $\angle MFB$ luôn ấy ạ?

 

Đúng rồi, là tính số đo góc đó

Tặng bạn cái hình

 

 screenshot_1708181066.png   48.31K   13 Số lần tải

Cho điểm $A$ thuộc đường tròn $(c)$. Lấy điểm $Q \in (c)$, $Q$ bất kỳ khác $A$. Đường tròn $(Q,QA)$ cắt đường tròn  $(c)$ tại điểm thứ hai $P$. Đường tròn $(A,PA)$ cắt đường tròn  $(Q,QA)$ tại điểm thứ hai $D$. Đường tròn $(D,DA)$ cắt đường tròn  $(A, AP)$ tại $E,F$. Gọi $B,C$ là giao điểm thứ hai của $AE,AF$ với $(c)$. Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác đều.

Cho điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$. Một đường tròn $(c)$ tâm $M$ với bán kính bất kỳ sao cho $(c)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $C$ là giao điểm của đường tròn $(B, BM)$ và đường tròn $(c)$ ($C$ thuộc cung nhỏ $AB$. Gọi $D$ là giao điểm của $d$ và $(B,BM)$. Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn $(C,CD)$ và đường tròn $(c)$, $E$ thuộc cung $AC$ nhỏ. Đường thẳng $ME$ cắt $d$ tại $F$. Tính góc $\widehat{MFB}$.

Xem ở đây: https://diendantoanh...psilon-mathbbr/

Nếu coi mẫu dữ liệu là liên tục thì mode là điểm cực đại của hàm phân phối $F(x)$. Bài toán trở thành:
Cho hàm số $F(x)$ liên tục trên $[a_1;a_4]$. Chia đoạn $[a_1;a_4]$ thành ba đoạn bằng nhau $[a_1; a_2], [a_2; a_3]; [a_3; a_4]$. Đặt $$\sum_{x=a_i}^{a_{i+1}}F(x)=m_i, \quad i = 1,2,3.$$
Biết rằng $m_2>m_1; m_2>m_3$. Tìm điểm cực đại của $F(x)$.

Nhờ các bạn giải hộ bài toán này

Cố gắng chứng minh công thức $\eqref{1}$ bằng hình học, ta thấy rằng, hợp lý nhất thì mode phải là hoành độ của giao điểm $D$ của $AC$ và $FH$. Đặt $x=CE$.

 screenshot_1697216271.png   10.83K   69 Số lần tải

Ta có

$$\frac{x}{AB}=\frac{DE}{CB}\Rightarrow DE=\frac{x.CB}{AB}$$

$$\frac{EF}{GH}=\frac{DE}{FG}\Rightarrow DE=\frac{EF.FG}{GH}$$

Rõ ràng $AB=GH=h$, $EF=h-x$ nên ta có

$$\frac{x.CB}{h}=DE=\frac{(h-x).FG}{h}\Leftrightarrow x.(CB+FG)=h.FG \Leftrightarrow x= \frac{FG}{FG+CB}.h$$

Mà $FG=m_i-m_{i+1}$, $CB=m_i-m_{i-1}$. Do đó

$$x=\dfrac{m_i-m_{i+1}}{(m_i-m_{i-1})+(m_i-m_{i+1})}. h$$

Vậy 

$$\begin{equation} \label{2} mode = a_i + \dfrac{m_i-{\color{Red} m_{i+1}}}{(m_i-m_{i-1})+(m_i-m_{i+1})}. h \end{equation}$$

Công thức này không đúng so với $\eqref{1}$

 

Rất mong các bạn chỉ ra hộ mình chỗ chưa đúng.

Ta biết rằng mode của mẫu dữ liệu là giá trị có tần số lớn nhất. Trong SGK toán 11 của chương trình giáo dục Phổ thông 2018 có công thức tính mode của mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

 

Giả sử ta có bảng số liệu ghép nhóm sau

Ở đây các nhóm có độ dài bằng nhau, tức là 

$$a_{i+1}-a_{i}=h, \quad i =1,...,k$$

Giả sử $[a_i; a_{i+1})$ là nhóm có tần số lớn nhất. Khi đó 

\begin{equation} \label{1} mode = a_i + \dfrac{m_i-m_{i-1}}{(m_i-m_{i-1})+(m_i-m_{i+1})}. h \end{equation}

Quy ước: $m_0=m_{k+1}=0$.

 

Mình không hiểu công thức $\eqref{1}$ có được từ đâu. Rất mong các bạn giúp mình chứng minh nó.

Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ X đang diễn ra từ 8/8-12/8 tại Đà Nẵng.

Có anh em nào của Vmf đang tham gia xin hãy khoe ảnh và nói vài điều về không khí hay nội dung để mọi ghen tị nào

@bangbang1412 hình như em đang ở đó

Giải pháp: mã hoá file với định dạng *.tuỳ
Viết một app decoder file *.tuỳ
Tạo k*eygen cho app theo id
Active… qua mail

 

Cách làm này lại quá phức tạp, người mua sản phẩm sẽ phải tải app riêng để chỉ đọc mỗi file này thôi thì họ cũng ko thích. Hơn nữa đối tượng em định bán cho cũng là những người có trình độ CNTT yếu, và bản thân em cũng không có khả năng viết app. Cách làm này có vẻ là búa bổ đầu chim sẻ rồi

Mình có một bộ tài liệu pdf (soạn từ Latex), mình định rao bán nó. Tuy nhiên mình lo ngại rằng người mua đầu tiên sẽ gửi nó cho nhiều người khác để chia sẻ với nhau hòng giảm bớt chi phí và dĩ nhiên như vậy mình sẽ thu về ít doanh thu hơn.

 

Các bạn có cách nào để cài đặt sao cho file pdf đó ở mỗi máy khác nhau sẽ có mật khẩu khác nhau, hoặc chỉ đọc được trên 1 máy tính hoặc một phương pháp nào khác đòi hỏi cá nhân hóa tài liệu đó, đảm bảo chỉ có tác giả cho phép thì người đọc mới đọc được không?

 

Cảm ơn các bạn

Cho 2 đường thẳng $d_1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0$ và $d_2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.$

b) Chứng minh $d_1$; $d_2$ luôn cắt tại 1 điểm cố định là $I$. Khi $m$ thay đổi thì $I$ chạy trên đường nào.

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác $IAB$ với $A$; $B$ là các điểm cố định mà $d_1$; $d_2$ đi qua.

 

Ta chỉ ra các điểm cố định của $d_1, d_2$. Với $d_1$, ta có:

$$ mx + (m-1)y - 2m +1= 0, \quad \forall m \Leftrightarrow  m(x+y-2)-y+1=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+y-2=0 \\ -y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow  x=y=1$$

Vậy điểm cố định của $d_1$ là $A(1;1)$.

$$(1- m)x + my - 4m + 1 =0, \quad \forall m \Leftrightarrow  x + 1 +m(y-x-4)=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+1=0 \\ y-x-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$$

Vậy điểm cố định của $d_2$ là $B(-1;3)$.

Dễ thấy 

$$m(1-m) + (m-1)m = 0, \quad \forall m$$

Do đó $d_1 \perp d_2$. 

Vậy giao điểm $I$ của $d_1,d_2$ là điểm luôn nhìn $AB$ dưới 1 góc vuông. Do đó khi $m$ thay đổi, $I$ chạy trên đường tròn đường kính $AB$.

 

Diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ $I$ đến $AB$ lớn nhất, khi đó $IAB$ là tam giác vuông cân. Tìm được $I(-1;1)$ hoặc $I(1;3)$