E. Galois

TXĐ: R
Ta có:
\[
y = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x \left( {x - 3} \right),\forall x \ge 0 \\
\sqrt { - x} \left( {x - 3} \right),\forall x < 0 \\
\end{array} \right.
\]
Do đó
\[
y' = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{x - 3}}{{2\sqrt x }} + \sqrt x ,\forall x > 0 \\
- \dfrac{{x - 3}}{{2\sqrt { - x} }} + \sqrt { - x} ,\forall x < 0 \\
\end{array} \right.
\]
y' không xác định tại x = 0.
\[
y' = 0 \Leftrightarrow x = 1
\]
Bây giờ ta xét dấu y'
------------------------------------------------------------------------------
x | $ - \infty$__________0___________1_______$ + \infty$
------------------------------------------------------------------------------
y' |______+_______||_____-______0_____+
_________________________________________________

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x_{CD} = 0; y_{CD} = 0$
hàm số đạt cực tiểu tại $x_{CT} = 1; y_{CT} = -2$

THÔNG BÁO TUYỂN ĐHV THCS, ĐHV TOÁN CAO CẤP VÀ ĐHV OLYMPIC

Thân gửi các thành viên của VMF!

Các bạn thân mến! VMF hiện nay đã được thay đổi cơ bản về giao diện. Và sự đổi mới không chỉ dừng ở hình thức của diễn đàn mà còn ở cả lực lượng và đội ngũ ĐHV.

Hiện nay, BQT VMF cần tuyển thêm một số ĐHV cho các box Toán THCS, Toán Olympic và Toán cao cấp. Đây là dịp để bạn có thể trở thành một trong các ĐHV của diễn đàn. Nếu thấy mình có đủ năng lực, thời gian và tâm huyết, bạn hãy đăng kí ngay bây giờ.

Tiêu chuẩn chung:
- Có thời gian online và có thể ghé thăm VMF thường xuyên (Trung bình 10 phút mỗi ngày hoặc 1 tiếng mỗi tuần)
- Có chút kiến thức về tin học cơ bản.
- Yêu toán học, nhiệt tình và tâm huyết với VMF

Tiêu chuẩn riêng:
- ĐHV Olympic: là học sinh THCS trở lên, có năng lực toán học tương đối tốt, có khả năng về toán học sinh giỏi, toán olympic, khuyến khích giáo viên, sinh viên khoa Toán và các bạn ở trong Đội tuyển HSG cấp tỉnh trở lên.

- ĐHV toán Đại học: Là sinh viên ĐH trở lên, có năng lực toán học, khuyến khích các nghiên cứu sinh, giảng viên, sinh viên khoa Toán

- ĐHV THCS: là học sinh THCS trở lên, có năng lực toán học, khuyến khích giáo viên, sinh viên khoa toán.
Nếu thấy mình phù hợp với các tiêu chuẩn trên, bạn hãy đăng kí ngay tại tôpic này bằng cách viết bài trả lời với nội dung sau:

1) Nick trên diễn đàn:
2) Tên thật
3) Ngày sinh
4) Lớp, trường (tỉnh) đang học
5) Vị trí muốn đăng kí

Cảm ơn các bạn! Rất mong được làm "đồng nghiệp" với các bạn

Vốn muốn để dành bài này cho các bạn đang là sinh viên mà mãi chẳng thấy ai lên tiếng.
Vì
$$D_1 = \{(1,2),(1,3),(2,3) \} $$
$$D_2 = \{(2,1),(1,3),(3,2) \} $$
nên:
$$ 1 D_1 2; 1 D_1 3; 2 D_1 3 $$
$$ 2 D_2 1; 1 D_2 3; 3 D_1 2 $$
Từ đó:
$$ 1 D_1.D_2 1; 1 D_1.D_2 2; 2 D_1.D_2 2 $$
Và ta có đpcm

Mở rộng bài toán 1,
Tìm a để pt sau có nghiệm và tìm nghiệm đó
\[
3^x - a = \log _3 \left( {a + \log _3 \left( {a + x} \right)} \right)
\]

Cái này chỉ có giới hạn phải thôi
Nếu được dùng quy tắc lôpitan thì mình xin phép làm như sau:
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } x^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } e^{x\ln x} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\ln x}}{{x^{ - 1} }}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{x}.\left( { - x^2 } \right)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \left( { - x} \right)} = e^0 = 1
\]

Các bạn thân mến!

Mình đã thử lại hầu hết các chức năng của diễn đàn và cũngđọc tôpic này rất kĩ. Hầu hết các ý kiến trên kia là "không quen" hay "xấu" (theo cảm nhận chủ quan). Mình có 1 vài ý kiến sau:

- Sự thay đổi nào cũng sẽ dẫn người ta đến sự không quen, lạ lẫm. Chúng ta là những người trẻ, thường thì người trẻ sẽ nhanh tiếp cận, nhanh thích ứng với cái mới, phải không. Hi vọng tâm lý ngại thay đổi sẽ không làm chúng ta đánh mất sức sáng tạo của mình.

- Khuê đã rất cố gắng để hoàn thành việc thay giao diện cho VMF. Bạn ấy đã rất vất vả (Khuê vừa phải học, phải đi thực tập và làm đồ án). Công việc ở VMF cũng như làm dâu trăm họ, khó mà vừa lòng hết mọi người được. Mọi người nên thông cảm cho Khuê. Chúng ta chỉ nên yêu cầu những vấn đề thật sự là lỗi kĩ thuật của diễn đàn thôi nhé.

1) Ta có:
$$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i - 1} \right)^2 } = \frac{{n\left( {4n^2 - 1} \right)}}{3}$$ (1)
nên
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{1^2}}}{{{n^3}}} + \frac{{{3^2}}}{{{n^3}}} + ......... + \frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}{{{n^3}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {4n^2 - 1} \right)}}{{3n^3 }} = \frac{4}{3}
\]

Bàn thêm: Hãy tính giới hạn này bằng cách khác

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

Bài 1 : Cho parabol $ (P): y=x^2 + 4x - 8 $ và đường thẳng $ (d): y=2x+m$ . Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm tập hợp các trung điểm của AB .

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của pt
$$ x^2 + 4x - 8 = 2x+ m $$
hay
$$ x^2 + 2x - 8 - m = 0 (1)$$

(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi pt (1) có đúng hai nghiệm. Điều này tương đương với:
\[
\Delta ' = 1 + 8 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 9 (2)
\]

Với điều kiện (2), (P) và (d) có các giao điểm là:
\[
A\left( {a;2a + m} \right);B\left( {b;2b + m} \right)
\]
Khi đó, trung điểm của AB là:
\[
M\left( {\dfrac{{a + b}}{2};a + b + m} \right) \Rightarrow M\left( { - 1; - 2 + m} \right)
\]
Gọi C(-1;-11). Điểm C chia dt x = -1 làm 2 phần, ta gọi phần trên là Ct
Tập hợp điểm M là tia Ct (không tính điểm C)

Trong 10 chữ số thì chữ số 0 chắc chắn không thể tham gia vào cách thành lập số thỏa yêu cầu bài toán được. Vậy ta còn 9 chữ số {1, 2, ..., 9}. Với mỗi một bộ 5 chữ số trong 9 chữ số đó bao giờ chúng ta cũng chỉ có thể lập được một số duy nhất thỏa ycbt. Suy ra số các số cần tìm chính là số tổ hợp chập 5 của 9.
Vậy có: $C_9^5=126$ số.

Bàn thêm: Bạn hãy tính tổng của 126 số này!

Giả sử các số đang xét có dạng ABCDE.
* Với vị trí A:
- có $ C_8^4 $ số có số 1 đứng ở vị trí này;

- có $ C_7^4 $ số có số 2 đứng ở vị trí này;

- có $ C_6^4 $ số có số 3 đứng ở vị trí này;

- có $ C_5^4 $ số có số 4 đứng ở vị trí này;

- có $ C_4^4 $ số có số 5 đứng ở vị trí này;

Vậy tổng ở vị trí A là:

$ S_A = 1.C_8^4 + 2.C_7^4 + 3.C_6^4 + 4.C_5^4 + 5.C_4^4 = 210 $

* Với vị trí B:
- có $ C_7^3 $ số có số 2 đứng ở vị trí này;

- có $ 2.C_6^3 $ số có số 3 đứng ở vị trí này;

- có $ 3C_5^3 $ số có số 4 đứng ở vị trí này;

- có $ 4C_4^3 $ số có số 5 đứng ở vị trí này;

- có $ 5C_3^3 $ số có số 6 đứng ở vị trí này;

Vậy tổng ở vị trí B là:

$ S_B = 2.C_7^3 + 6.C_6^3 + 12.C_5^3 + 20.C_4^3 + 30.C_3^3 = 420 $

* Với vị trí C:
- có $ C_6^2 $ số có số 3 đứng ở vị trí này;

- có $ C_3^2.C_5^2 $ số có số 4 đứng ở vị trí này;

- có $ C_4^2.C_4^2 $ số có số 5 đứng ở vị trí này;

- có $ C_5^2.C_3^2 $ số có số 6 đứng ở vị trí này;

- có $ C_6^2.C_2^2 $ số có số 7 đứng ở vị trí này;

Vậy tổng ở vị trí C là:

$ S_C = 3.C_6^2 + 4.C_3^2.C_5^2 + 5.C_4^2.C_4^2 + 6.C_5^2.C_3^2 + 7.C_6^2.C_2^2 = 630 $

* Với vị trí D:
- có $ C_5^1 $ số có số 4 đứng ở vị trí này;

- có $ C_4^3.C_4^1 $ số có số 5 đứng ở vị trí này;

- có $ C_5^3.C_3^1 $ số có số 6 đứng ở vị trí này;

- có $ C_6^3.C_2^1 $ số có số 7 đứng ở vị trí này;

- có $ C_7^3.C_1^1 $ số có số 8 đứng ở vị trí này;

Vậy tổng ở vị trí D là:

$ S_D = 4.C_5^1 + 5.C_4^1.C_4^3 + 6.C_3^1.C_5^3+ 7.C_2^1.C_6^3 + 8.C_1^1.C_7^3 = 840 $

* Với vị trí E:
- có $ C_4^4 $ số có số 5 đứng ở vị trí này;

- có $ C_5^4 $ số có số 6 đứng ở vị trí này;

- có $ C_6^4 $ số có số 7 đứng ở vị trí này;

- có $ C_7^4 $ số có số 8 đứng ở vị trí này;

- có $ C_8^4 $ số có số 9 đứng ở vị trí này;

Vậy tổng ở vị trí D là:

$ S_D = 5.C_4^4 + 6.C_5^4 + 7.C_6^4 + 8.C_7^4 + 9.C_8^4 = 1050 $

Vậy tổng cần tìm là:

$ S = S_E + 10.S_D + 100.S_C + 1000.S_B + 10000.S_A = 2 592 450 $

Hôm nay, ngày 31 tháng 08 năm 2011, rất ngạc nhiên vì VMF đã tăng hạng lên hạng 3060

hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến (SBC) = 2, với giá trị nào của góc (là góc giửa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích hình là bé nhất ????
đưa ra bài giải cụ thể hộ mình nha! thanks....!

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình chóp, M là trung điểm BC, ta có:

$ V_{S.ABCD} = 2.V_{A.SBC} = \dfrac{2}{3}.S_{SBC} .d_{\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)} = \dfrac{4}{3}S_{SBC} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{S_{COB} }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{a^2 }}{{3\cos \alpha }} $

Mặt khác:

$ V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}a^2 .SO = \dfrac{{a^2 }}{3}.MO.\tan \alpha = \dfrac{{a^3 \tan \alpha }}{6} $

Do đó:

$ a = \dfrac{2}{{\sin \alpha }} $

Vậy:

$ V_{S.ABCD} = \dfrac{4}{{3\cos \alpha - 3\cos ^3 \alpha }} $

Xét hàm số

$f(x) = 3x - 3x^3 $

trên (0;1)

Ta có:

$ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right)} f(x) = f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \\ \\ \Rightarrow \min V_{S.ABCD} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \\ \end{array} $

Hôm nay, ngày 27 tháng 08 là ngày sinh nhật supermember, một ĐHV 2011, người đã gắn bó lâu dài với VMF. Anh ấy sắp phải đi xa, không thể tiếp tục đóng góp nhiều hơn cho VMF được nữa. Đây thật sự là một tổn thất của VMF.

Vì những đóng góp không mệt mỏi của supermember cho VMF, mình lập tôpic này như là một lời tri ân tới anh ấy. Mong các bạn cùng viết bài.

P/s: Chúc Lộc mạnh khỏe, may mắn và thành công

Xét tính hàm số của $f(x)=sin( \sqrt{2} -1)x+sin( \sqrt{2} -1)x$

Chắc là thế này
Xét tính hàm số của $f(x)=sin( \sqrt{2} -1)x+sin( \sqrt{2} -1)x$
Ta có

$f(x) = \sqrt 2 \sin \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = \sqrt 2 \sin \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {x + \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt 2 - 1}}} \right) + \dfrac{\pi }{4}} \right] $

Như vậy là tồn tại số $ T = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt 2 - 1}} > 0 $ sao cho với mọi x thuộc R, ta có

f(x+T) = f(x)

Tức là hàm số f(x) tuần hoàn.

Ta sẽ đi tìm chu kì cơ sở của f(x). Giả sử chu kì cơ sở là T'. Khi đó
$\begin{array}{l} f(x + T') - f(x) = 0,\forall x \\ \\ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \cos \dfrac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2x + T'} \right) + \dfrac{\pi }{2}}}{2}\sin \dfrac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)T'}}{2} = 0,\forall x \\ \\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)T'}}{2} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)T'}}{2} = k\pi \\\\ \Leftrightarrow T' = \dfrac{{2k\pi }}{{\sqrt 2 - 1}} \\ \end{array} $

Vậy T = T'

KL: Hàm số f(x) tuần hoàn theo chu kì $ T = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt 2 - 1}} $

Hôm nay, ngày 26 tháng 07 năm 2011, chúng ta đã tụt hạng tiếp xuống 3.461

Dù biết trước nhưng sao vẫn cảm tháy buồn buồn