hxthanh

Ý của em là
Đặt
$\begin{cases}a+b=c+x\\ b+c=a+y \\ c+a=b+z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=a+b-c \\ y=b+c-a \\z=a+c-b\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\dfrac{x+z}{2}\\b=\dfrac{x+y}{2}\\ c=\dfrac{y+z}{2}\end{cases}$
phải không?

Khi đó bài toán trở thành: Với các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{2x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{2y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{2z}{z+x}} \le 3\quad$ chứ?

Sao đến giờ mới có vài người nhận được giấy mời là sao?
Những ai đã nhận được giấy mời vào topic này điểm danh hộ BTC với!
Những bạn nào đã đăng ký mà vẫn chưa nhận được giấy mời, thông báo cho BTC biết và xem lại địa chỉ đã rõ ràng chưa. Nếu cảm thấy không tiện tiết lộ địa chỉ nhà riêng thì nhắn tin trực tiếp cho tôi nhé!

Đó là áp dụng BĐT AM-GM thôi

$(1+x)(1+y)(1+z) = \left(\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\right)^3 \le \left(\dfrac{(1+x)+(1+y)+(1+z)}{3}\right)^3=\dfrac{(x+y+z+3)^3}{27}$
hay
$\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \ge \dfrac{27}{(x+y+z+3)^3}$
hay
$-\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \le -\dfrac{27}{(x+y+z+3)^3}$

Bài toán 6. Tìm tất cả những số nguyên dương $n$ sao cho: Tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn:
$ \dfrac{1}{2^{a_1}} + \dfrac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{a_n}} = \dfrac{1}{3^{a_1}} + \dfrac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \dfrac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Bài toán 5. Cho tam giác vuông $ABC$ với $ \angle BCA = 90 ^ {\circ} $, $ D $ là chân đường cao hạ từ $ C $. $ X $ là một điểm trên đoạn $ CD $. $ K $ là điểm trên đoạn $AX $ sao cho $ BK = BC $. Tương tự, $ L $ là điểm trên đoạn $ BX $ sao cho $AL = AC $. $ AL $ và $ BK $ cắt nhau tại $M$.
Chứng minh rằng $MK = ML$

Có lẽ vẫn phải dùng máy tính,

ta có:

$123456\times 6 = 740736$
$123456\times 8 = 987648$
$123456\times 9 = 1111104$
$123456\times 81 = 9999936$

$A=1234567890987654321=1234560000000000000+7890000000000+987648000+6321$
$7890000000000=789000(9999936+64)=789000\times 9999936+789000\times 64$

Như vậy $A\equiv 789000\times 64+6321 \equiv (789000-740736)64+6321 \equiv 3095217 \equiv 8817 \pmod{123456}$

Đọc cái chữ ký mà lộn cả ruột nên mình phải Delete

Anh em 98 mình là VIP, thằng nào không công nhận là chém!!!

@chanlonggiangthe: Diễn đàn là nơi trao đổi học tập, không phải nơi giải hộ bài tập về nhà, với một thành viên nhỏ tuổi như bạn nên chú ý những gì mình phát ngôn!

Đọng lại sau Ngày thứ nhất:

Câu 1, Câu 2 .... ở mức trung bình
Câu 3, thực sự khó (với trình độ như mình thì không hiểu nổi các dữ kiện của bài toán chứ đừng nói đến phương hướng giải!)

Chờ đợi điều bất ngờ trong Ngày thứ hai

cách của em rất trâu bò,và chưa chắc đúng nhưng thôi cứ trình bày ra vậy:
Gọi x là vận tốc dòng nước,10m/s=600m/phút
Sau 30 phut vật và người đi được lần lượt là 3x,(x+600)30
Ta có khoảng thời gian mà người quay trở lại bằng với khoảng thời gian vật đi được 30 phút đến lúc người lấy được vật.Từ đây ta có phương trình
$\frac{40-30x}{x}=\frac{(X+600).30-40}{600-x}$
Giải ra được đáp số 2/3 (m/phút)=1/90(m/s)

Lập phương trình sai rồi em!
$\dfrac{40+30x}{x}=\dfrac{(x+600)30-40}{600-x}$
$\Rightarrow x= 20\;\;(m/min)$
Tuy vậy chắc chắn đây không phải cách mà tác giả chờ đợi!

Mình lập luận như sau, không biết có đúng ý tác giả không (vì chưa chắc đã đúng )

Mất 6 giờ để thuyền đi được một đoạn 2AB trong tác động xuôi dòng của nước
Mất 6 giờ để thuyền đi được một đoạn -AB trong tác động ngược dòng của nước
Tác động của thuyền sau 6 giờ xuôi dòng và 6 giờ ngược dòng là bằng 0
Như vậy sau 12 giờ thì nước đã đưa thuyền một đoạn 2AB-AB=AB. Hay nói cách khác là thả cho thuyền trôi tự do từ A đến B thì hết 12 giờ

Gọi $v>0$ là vận tốc riêng của thuyền và xe, $S$ là quãng đường dọc bờ sông $AB$
Vận tốc dòng nước là $u$

Tèo đi từ $A$ đến $B$ rồi trở lại $A$ mất $t_0=\dfrac{2S}{v}$

Đối với Tí:
nếu $u+v \le 0$ thì Tí không thể đến được $B$ (tí bị đi lùi )
nếu $u+v \ge 2v$ thì Tí không quay trở về $A$ được (nước chảy xiết quá )
Giả sử $v>|u|$
- Đầu tiên để đến $B$ Tí cần $t_1=\dfrac{S}{v+u}$
- Để quay về $A$ Tí cần $t_2=\dfrac{S}{v-u}$

Như vậy Tí cần tổng thời gian là $T=t_1+t_2=S\left(\dfrac{1}{v+u}+\dfrac{1}{v-u}\right)$

Theo BĐT AM - HM ta có:

$\left(\dfrac{1}{v+u}+\dfrac{1}{v-u}\right) \ge \dfrac{4}{v+u+v-u} = \dfrac{2}{v}$ Dấu bằng xảy ra khi $u=0$ (Nước không chảy!)
Vậy $T \ge t_0$
Kết quả là Tí quay lại $A$ không sớm hơn Tèo (thậm chí không thể quay về $A$ được,(nước phải chảy chứ!) )

Tham khảo thôi nhé
$\begin{align} S&=\sum\limits_{k=1}^n \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(k-1)\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=\sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k-1)\dfrac{\pi}{3}\right) +\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k+1-1)\dfrac{\pi}{3}\right)+\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k+2-1)\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)+ \left\lfloor\dfrac{n+2}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) +\left\lfloor\dfrac{n+1}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=(\sqrt 3 -2) \left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor +\left\lfloor\dfrac{n+2}{3}\right\rfloor -(\sqrt 3 +2) \left\lfloor\dfrac{n+1}{3}\right\rfloor\end{align}$

Thay $n=2012$ vào ...

Được $S=-2011-\sqrt 3$

Bài này mình thư tìm số hạng tổng quát coi.
Đặt $S_{x}=u_{n}+t (t\in \mathbb{R})$
Khi đó ta có:
$u_{n}+t=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t-t+\sqrt{3}tu_{n-1}+\sqrt{3}t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{u_{n-1}(1+\sqrt{3}t)+\sqrt{3}t+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}-\sqrt{3}u_{n-1}}$

Cho $t=-1$ ta có: $u_{n}=\frac{u_{n-1}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}u_{n-1}+\sqrt{3}-1}$
...

Sai lầm do tính toán rồi !

Với cách đặt $S_n=u_n-1$ thì kết quả phải là
$u_n=\dfrac{u_{n-1}(\sqrt 3 -1)}{\sqrt 3u_{n-1}-\sqrt 3 -1}$

BQT đã gửi giấy mời cho các thành viên đăng ký tham gia buổi Offline ở Hà Nội, qua đường bưu điện.
Vậy bạn nào đã nhận được Giấy Mời rồi thì vào điểm danh nhé!

Mỗi người tự đánh số thứ tự cho mình nhé!