hxthanh

Bỗng dưng thấy tìm thấy cái này:
$\sum_{n=0}^{\infty}\left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor x^n=\dfrac{x^5}{(1-x)^2(1+x+x^2+x^3+x^4)}$
Mà $xG(x)=\dfrac{x^5}{(1-x)^4(1+x+x^2+x^3+x^4)}$
Thế nên:
\begin{align*}
S_n&=[x^{n+1}]\dfrac{1}{(1-x)^2}\sum_{j=0}^{\infty}\left\lfloor\dfrac{j}{5}\right\rfloor x^j\\ &=[x^{n+1}]\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^i \sum_{j=0}^{\infty}\left\lfloor\dfrac{j}{5}\right\rfloor x^j\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}\left\lfloor\dfrac{k}{5}\right\rfloor(n+2-k)
\end{align*}
___
Cần phải tìm hiểu sâu thêm mới được

Một nền nhà hình vuông kích thước $n\times n$ ô vuông đơn vị với $\quad n\equiv \pm 1\!\!\!\pmod 6$. Có một cây cột kích thước $1$ ô vuông đơn vị ở tâm nền nhà. Có $\dfrac{n^2-1}{3}$ viên gạch hình chữ “L” được tạo bởi $3$ ô vuông đơn vị.
Hãy tính số cách lát kín nền nhà đã cho bằng những viên gạch nói trên.

Dưới đây là một số tổng kết sau khi kết thúc phần thi bài 1.
Đây là một bài toán ở mức độ tương đối dễ, hầu hết các thí sinh làm ra kết quả chính xác. Có một số bạn đưa ra lời giải sát với đáp án, bên cạnh đó còn có hai bài làm rất “thủ công”, còn có bài làm viết tay của bạn trantiennguyen cũng là một nhận định thú vị (vì hình ảnh chữ viết rất khó đọc nên không được điểm tối đa). Rất tiếc!
Xếp hạng (những bạn có lời giải đúng)
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
\text{No.}&\text{Member} & \text{Scores} &\text{Time post} & \text{SubSolution}\\
\hline
1& \text{Neon2701}&10&110224-14:09&1\\
\hline
2& \text{Nguyen Bao Khanh}&10&110224-23:25&0\\
\hline
3& \text{habcy12345}&9&110224-13:40&1\\
\hline
4& \text{leonguyen}&9&120224-00:40&1\\
\hline
5& \text{trantiennguyen}&9&120224-11:40&0\\
\hline
\end{array}

Đáp án:
Từ định nghĩa dễ thấy: $a(2k)=a(k)$ và $a(2k+1)=2k+1$
Đặt $S_k=\sum_{n=k}^{2k} a(n)$ Ta có:
\begin{align*} S_{k}&=S_{k-1}-a(k-1)+a(2k)+a(2k-1)\\
S_{k}-a(k)&=S_{k-1}-a(k-1)+(2k-1)\\ &=S_{k-2}-a(k-2)+(2k-1)+(2k-3)\\ &=…\\
&=S_{1}-a(1)+(2k-1)+(2k-3)+…+1\\
&=k^2\\
\Rightarrow S_{k}&=k^2+a(k)\end{align*}
Vậy tổng cần tìm là:
\begin{align*}\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=S_{2024}&=2024^2+a(2024)\\ &=4\,096\,576+253=4\,096\,829\end{align*}

Giả sử $a; b$ là những số nguyên dương thỏa mãn: $ \dfrac{ ab(5a^2 + 5b^2 - 2)}{5ab -1}$ là số nguyên dương.
Chứng minh rằng $ a= b$.

Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực Số học của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 13/02/2024 (Mùng 4 Tết)

Sau khi trọng tài hxthanh post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.

**Lưu ý: Thí sinh cần nhấn nút “Xem trước” bài viết của mình trước khi post, tránh những lỗi không đáng có (lỗi Latex, đánh máy, v.v…). Bởi vì BTC sẽ căn cứ bài viết đó là lời giải chính thức của bạn.

[Đề bài: Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a(n)$ là ước số lẻ lớn nhất của $n$. Hãy tính tổng
$$\sum_{n=2024}^{4048} a(n)$$

___________

Tham khảo thêm ở đây Post #5
Theo đó
a) Kết quả là $\left\lfloor\dfrac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor=1011^2=1\,022\,121$
b) Kết quả là $S_{2024}=689\,420\,446$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-2)^2}{24}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{4}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-2)^2}{48}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-7)^2}{72}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{8}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-5)^2}{96}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{12}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-10)^2}{144}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{16}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-11)^2}{192}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{3}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-2)(n^2-3)}{36}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{5}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-6)(n^2-7)}{60}\right\rfloor$

Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\left\lfloor\dfrac{(j-1)^2}{7}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{(n^2-6)(n^2-7)}{84}\right\rfloor$
…
Có điều gì đó rất bí ẩn “ngăn cản” việc xây dựng công thức tổng quát!???

Tính số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$$2x_1+3x_2+3x_3=n$$trong đó $n\equiv 1\!\! \pmod{6}$

Với $n=6m+1$ với $m\ge 1$ (do $m=0$ thì ptvn)
Ta có: $2x_1+3(x_2+x_3)=6m+1$
Dễ thấy $(x_2+x_3)$ là số lẻ
Đặt $x_2+x_3=2k-1$ (với $1\le k\le m$)
Có $2k$ cách để $x_2+x_3=2k-1$, khi đó
$x_1=3m-3k+2$
Đo đó số nghiệm phương trình đã cho là:
$\sum_{k=1}^m 2k=m(m+1)=\dfrac{(n-1)(n+5)}{36}$

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Đặt $f_n(x)=f(f(…f(x))…)$ (n lần)
Ta có $f_n(x)=f_{n-1}^2(x)+f_{n-1}(x)+1$
Do đó
$[x^2]f_n(x)=([x_1]f_{n-1}(x))^2+2([x^0]f_{n-1}(x).[x^2]f_{n-1}(x))+[x^2]f_{n-1}(x)$
$\qquad\; =([x_1]f_{n-1}(x))^2+(2[x^0]f_{n-1}(x)+1)[x^2]f_{n-1}(x)$
Vì vậy để tính được hệ số trên ta cần các hệ số bậc 1 và 0.
Hệ số bậc 0 là dãy
$[x^0]_{n\ge 1}\; : \{1,3,13,183,33673,…\}$
$([x^0]_n=[x^0]_{n-1}^2+[x^0]_{n-1}+1)$
Hệ số bậc 1 là dãy
$[x^1]_{n\ge 1}\; :\{1,3,21,567,208088,…\}$
$[x^1]_n=(2[x^0]_{n-1}+1)[x^1]_{n-1}$
Hệ số bậc 2 là dãy
$[x^2]_{n\ge 1}\; :\{1,4,37,1440,849969,…\}$

$(567)^2+(2\times 183+1)\times 1440=849969$

Không biết làm như thế này có được không (thực ra cũng chỉ là biến đổi lòng vòng): gọi $a,b,c$ là $3$ nghiệm của phương trình $1-2(x+x^2+x^3)=0$, thế thì $$(a-x)(b-x)(c-x) = 1-2(x+x^2+x^3)$$Sử dụng định lý tách phân số cho đa thức $$\frac{1}{(a-x)(b-x)(c-x)} = \frac{A}{(a-x)} + \frac{B}{(b-x)} + \frac{C}{(c-x)}$$ trong đó $A = \frac{1}{(b-a)(c-a)}, \, B =  \frac{1}{(a-b)(c-b)}, \, C =  \frac{1}{(a-c)(b-c)}$. Mặt khác hệ số của $x^{10}$ trong tổng hình thức $\frac{1}{1-\alpha x}$ là $\alpha^{10}$ nên $$[x^{10}]\frac{1}{(a-x)(b-x)(c-x)} = \frac{a^9}{(b-a)(c-a)} + \frac{b^9}{(a-b)(c-b)} + \frac{c^9}{(a-c)(b-c)}$$Vế phải là biểu thức đối xứng của các nghiệm nên có thể tính tường minh bằng công thức Viete.

Trên thực tế thì đúng là có thể làm như vậy, tuy nhiên để đưa Viète vào được thì công thức rất cồng kềnh và có vẻ như không khả thi với $n$ tổng quát.
Đôi khi ta cũng gặp những bài toán dù biết được cách giải nhưng lại không thể đưa ra một công thức đóng.
Việc bắt buộc phải đưa ra một thuật toán để tính hệ số của $[x^{2024}]$ chẳng hạn, thì có lẽ hệ thức truy hồi có lẽ là khả thi nhất!
Chẳng hạn như:
$\begin{cases}u_0=1;\;\; u_1=2;\;\; u_2=6;\\ u_n=2(u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3});\;\; (n\ge 3)\end{cases}$

Bằng casework, tuy cồng kềnh nhưng vẫn tính tay được :
$$\begin {align*}
[x^{10}]\frac{1}{1-2(x+x^2+x^3)}&=[x^{10}]\sum_{k=4}^{10 }(2^k(x+x^2+x^3)^k\\
&=160+ 1632+5760+9856\\
&\quad +9216+4608+1024\\
&=32256
\end {align*}$$

Dẫu sao thì [x^n] vẫn là một ẩn số

Vậy thì... Em xin ngồi ngóng... Hic.

Tưởng em xử lý được chứ! Thế này thì bó tay, tuy vậy thì cũng tìm thấy cái để tham khảo ở đây

Như vậy, từ hàm sinh $h(x)=\frac {1}{1- 2\left (x+x^2+x^3  \right )}$ và với sự trợ giúp của WA, ta tính được số xâu nhị phân (bắt đầu là bit 0 và cuối xâu là bit 1) có đúng 10 bit 1 mà không có 3 bit 0 liên tiếp hoặc 4 bit 1 liên tiếp :
$[x^{10}]h(x)=\boldsymbol {32256}$
WA query :
https://www.wolframa...1-2(x+x^2+x^3))

No, no! Không xài máy tính nhé!