PRONOOBCHICKENHANDSOME

nhìn lại đi $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+bc^2a+ca^2b$ đoạn này vì a,b,c chưa biết âm hay dương nên bạn nên để giá trị tuyệt đối rồi xét tiếp

bdt $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx $ dung $\forall x,y,z \in R $ ma

Bai 1 su dung 1 bat dang thuc quen thuoc :
$\frac{1}{abc+a^3+b^3}+\frac{1}{abc+b^3+c^3}+\frac{1}{abc+c^3+a^3} \leq \frac{1}{abc}$
CM bdt nay ta dung bo de :
$a^3+b^3 \geq ab(a+b) $ voi $a,b > 0 $

$\sum_{n=1}^{24}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n} < \sum_{n=1}^{24}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{(n+1)n}}=\sum_{n=1}^{24}\left ( \frac{1}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \right )=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$

Bài toán hay không phải vì nó phức tạp, mà là ở chỗ con đường như thế nào.
(đề toán này người ra đề có dụng ý như thế nào thì làm như thế thôi)
Tặng bạn một bài (đơn giản thôi) cũng hay ở hướng đi là như thế nào :
Cho $a, b, c, d$ thỏa mãn $c + d = 6, a^2 + b^2 = 1$
Tìm min $P = c^2 + d^2 - 2ac - 2bd$

Ban khong hieu y minh roi , y minh la co cach giai khac tong quat hon . Thoi thi minh post loi giai ban xem the nao .
Dua bai toan ve tim $m$ de he bat phuong trinh sau co nghiem :
$x+3y = m (\Delta)$
$5x^2+5y^2-5x-15y+8 \leq 0 $ (1)
(1) $\Leftrightarrow x^2+y^2-x-3y+\frac{8}{5} \leq 0 $
hay $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2\leq \frac{9}{10} $
Ta thay , quy tich cua diem M thoa man bat dang thuc tren la hinh tron tam $I(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ , ban kinh $R=\frac{3}{\sqrt{10}}$.
Vi vay de he co nghiem $\Leftrightarrow d(I;\Delta) \leq \frac{3}{\sqrt{10}} $
$\Leftrightarrow \frac{|5-m|}{\sqrt{10}} \leq \frac{3}{\sqrt{10}} $
Tu day de dang tim ra ket qua nhu ban .
Bai cua ban minh se nghi sau , h di ngu da

Giải :
Ta có $$0 \ge 5(x^2 + y^2) - 5(x + 3y) + 8 \ge 5.\dfrac{(x + 3y)^2}{10} - 5(x + 3y) + 8 = \dfrac{(x + 3y)^2}{2} - 5(x + 3y) + 8$$
Suy ra $$a^2 - 10a + 16 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le a \le 8$$

Cach giai cua ban cung dung thoi nhung neu minh thay x+3y thanh 3x+y hay 1 bieu thuc bac 1 an x,y thi sao . Ban thu nghi xem

Cho $x,y$ : $5x^2+5y^2-5x-15y+8 \leq 0 $
Tìm max , min :

$x+3y$

Sao dùng hai số lại đc $5\sqrt[5]{a^5}$.
Giải thích dùm em cái

___
Cái này là viết tắt đấy. Ở đây là dùng Côsi 5 số.
Nhưng mà Cô Si 5 số(nhưng bạn ấy áp dụng 1số đó là $\frac{a^5}{b^4}+4b$) sao lại ra căn của 5 anh Kiên xem lại kái

$\frac{a^5}{b^4}+4b =\frac{a^5}{b^4}+b+b+b+b \geq 5\sqrt[5]{a^5}$

1. Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}^*$ . CMR :

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

2. $\forall n \geq 2 $ ; $a_{1} \geq a_2 \geq a_n $ . Let :

$S=\frac{1}{\sqrt{n-1}}\sqrt{\sum_{1\leq i<j \leq n}^{n}(a_i -a_j)^2}$

Prove :

$na_n \leq \sum_{i=1}^{n}a_i -S \leq \sum_{i=1}^{n}a_i+S \leq na_1$

3. (Một bài hơi ngoài lề) Cho hàm số :

$f(x)= \sum_{i=1}^{n}a_ix^i$

và $k \geq 3 $ .

CMR :

$\max \left \{ |1-f(0)|,|k-f(1)|,...,|k^{n+1}-f(n+1)| \right \} \geq 1 $

$\sin 36^{\circ}=\cos 54^{\circ}\Leftrightarrow 2\sin 18^{\circ}\cos 18^{\circ}=\cos ^3 18^{\circ}-3 \sin ^2 18 ^{\circ}\cos 18^{\circ}\Leftrightarrow 2\sin 18^{\circ}=1-4\sin^2 18^{\circ}$
Từ đây dễ dàng tính được : $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Cho $a, b, c$ là các số thực dương , Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^9}{bc} + \dfrac{b^9}{ca} + \dfrac{c^9}{ab} + \dfrac{2}{abc} \ge a^5 + b^5 + c^5 + 2$$

$Q.E.D \Leftrightarrow \frac{a^{10}+b^{10}+c^{10}+2}{a^5+b^5+c^5 +2} \geq abc $
Hay $(\frac{a^{10}+b^{10}+c^{10}+2}{a^5+b^5+c^5 +2})^2 \geq a^2b^2c^2 $ (*)
That vay :
$(a^5+b^5+c^5+2)^2 \leq 5(a^{10}+b^{10}+c^{10}+2) $
$\Rightarrow VT(*) \geq \frac{a^{10}+b^{10}+c^{10}+2}{5} \geq a^2b^2c^2 $
$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1 $

$\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}} = \frac{1}{3}-\frac{c}{3(c+3\sqrt{ab})} $
$\Rightarrow Q.E.D \Leftrightarrow \sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}} \geq \frac{3}{4}$
That vay :
$VT \geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+b+c+3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})} \geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\frac{4}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\frac{3}{4}$
$Q.E.D$

Bài 144. Một bài cũng khá dễ thở.
Cho a, b, c, d là các sổ thực dương thoả mãn điều kiện$a + b + c + d = 1$. Chứng minh rằng :
$$6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) \ge a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \dfrac{1}{8}.$$

$6a^3-a^2 \geq \frac{5a-1}{8} \Leftrightarrow 48a^3-8a^2-5a+1 \geq 0 \Leftrightarrow (1-4a)^2(3a+1)\geq 0 $

1)$(\frac{7}{2}\geq x \geq -\frac{4}{3})$
$(\sqrt{7-2x}+\sqrt{3x+4})^2=11+x+2\sqrt{(7-2x)(3x+4)} \geq 11 -\frac{4}{3} + 0 = \frac{29}{3}$
$\Rightarrow \sqrt{7-2x}+\sqrt{3x+4} \geq \sqrt{\frac{29}{3}}$
$"=" \Leftrightarrow x =-\frac{4}{3}$
Con 2 tuong tu

Schur : $\forall a,b,c \geq 0 ; r \in R : a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b) \geq 0 $
Proof :
WLOG assume $a \geq b \geq c $
$LHS = c^r(a-c)(b-c)+(a-b)\left [ a^r(a-c)-b^r(b-c) \right ] \geq 0 $
Equation holds if and only if $a=b=c$ or $a=b , c=0$ and permutations .

Tại sao lại Giả sử a+b+c=1 ?
Tại sao lại rút ra đánh giá $\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Mong bạn giải thích dùm.
Hình như cách giải có phần ko tự nhiên.

$\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}=\frac{1}{3}+\frac{8a+2}{9a^2-6a+3}=\frac{1}{3}+\frac{8a+2}{(3a-1)^2+2} \leq 4a +\frac{4}{3}$