PRONOOBCHICKENHANDSOME

$\tan(\alpha +\beta )=\frac{\tan\alpha +\tan\beta }{1-\tan\alpha \tan\beta }=1$
$\Rightarrow \alpha + \beta = 45^{o}$

Bài 88: Cho các số thực dương a,b,c CMR
$\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+c^2+b^2}\geq 33$
Không để ý

$Q.E.D \Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 12 $
$\Leftrightarrow 3 +\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc} +\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 12$
That vay
$VT \geq 3 + \frac{9}{ab+bc+ca}.(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} $
$=\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}-6 \geq 18-6 =12 $
$Q.E.D$

Lần đầu tham gia VMF, mình xin đưa lên một số bài bất đẳng thức
1. cho x, y, z là các số thực dương với x + y + z = 2007. Chứng minh rằng
$$\dfrac{x^{20}}{y^{11}} + \dfrac{y^{20}}{z^{11}} + \dfrac{z^{20}}{x^{11}} \ge 3.669^9$$
2.Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc + a + c = b. CMR
$$\dfrac{2}{a^2 + 1} - \dfrac{2}{b^2 + 1} + \dfrac{3}{c^2 + 1} \le \dfrac{10}{3}$$
Mong rằng , các bạn sẽ giải quyết hết !

1/$\sum (\frac{x^{20}}{y^{11}} + y.669^8.11+669^9.8) \overset {AM-GM} {\geq} 20\sum \sqrt[20]{x^{20}.669^{160}}$
2/$abc+a+c=b \Leftrightarrow ac+\frac{a}{b}+\frac{c}{b} =1 $
$\Rightarrow \exists A,B,C \in (0;\pi) : A+B+C= \pi ; a= \tan \frac{A}{2} ; \frac{1}{b} = \tan \frac{B}{2} ; c= \tan \frac{C}{2}$
$\Rightarrow VT = -3\sin ^2 \frac{C}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+3 $
$= -3(\sin \frac{C}{2} -\frac{1}{3}\cos \frac{A-B}{2})^2 +\frac{1}{3} \cos ^2 \frac{A-B}{2} +3$
$\leq \frac{1}{3} \cos ^2 \frac{A-B}{2} +3 \leq \frac{1}{3}+3 = \frac{10}{3} $
$Q.E.D$

Cho tam giác ABC . M bất kì trong tam giác . CMR :

$$a.MB.MC+b.MC.MA+c.MA.MB \geq abc $$

em không hiểu cách dùng Cauchy-Schwars ở đây. Anh giải thích rõ hơn được không??

em xét $(a+b+c)^2=(\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+...)^2 \leq ... $

1/Theo Cauchy-Schwarz , ta có :
$(c^2+2)(a^2+b^2+1) \geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \dfrac{c^2+2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2+1}$
Tương tự :
$\Rightarrow \dfrac{\sum a^2 +6}{(\sum a)^2} \geq \sum \dfrac{1}{a^2+b^2+1} \geq 1 $
$\Rightarrow \sum a^2+ 6 \geq (\sum a)^2$
$\Rightarrow \sum ab \leq 3 $
$Q.E.D$

Có $P+3 = a+b^2+1+c^3+1+1\geq a+2b+3c$;
Dấu "=" xảy ra khi $ a = b=c =1$
Cúng có $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})(a+2b+3c)\geq (1+4+9)^2$
suy ra $(a+2b+3c)\geq \dfrac{(1+4+9)^2}{6}$
Vậy $P\geq \dfrac{14^2}{6}-3$, Dấu "=" xảy ra khi $ a = b=c =1$.

Cách làm thì đúng rồi nhưng bạn chỉ nhầm 1 chỗ :
$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})(a+2b+3c)\geq (1+2+3)^2$
chứ k fải như bạn viết

Gợi ý:
Min:
VT=$x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy=2003x^2-2003xy+2003y^2+2xy$
$=2003(x^2+y^2)-2001xy$
VT= $2003(x^2+y^2)-2001xy\geq 2003.\dfrac{(x+y)^2}{2}-2001(\dfrac{(x+y)^2}{4})$

Bạn làm sai rồi , vì x,y là những số nguyên cơ mà , theo cách của bạn thì dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{2003}{2}\notin \mathbb{Z}$.
Theo mình fải giải như thế này :
$P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-xy(3x+3y-2)$
Vậy ta chỉ cần tìm min max của $A=xy$
Bổ đề : $\forall x,y;x-y\geq 1$ ta có : $(x-1)(y+1)\geq xy$(*)
Chứng minh :$(*)\Leftrightarrow x-y-1\geq 0 $
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x-y=1$
Áp dụng ta có :
$1.2002<2.2001<3.2001<...<1001.1002$
Vậy $\max A=xy=1001.1002$
$\min A=1.2002$
Từ đó suy ra đc max min của P .
Ps : Cách trên theo mình chỉ áp dụng với x+y lẻ hay x phải khác y . Nếu có gì sai sót xin mọi người nhẹ tay

ko hỉu bạn làm cách lớp 9 đc ko!

Thực ra đây là cách lớp 9 , mình sẽ viết rõ hơn cho bạn dễ hiểu . Ta có bất đẳng thức :
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{2}b}+\dfrac{3}{\sqrt{3}c}\geq \dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}$

Dấu = xảy ra khi nào hả bạn

khi $\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{z}=6$(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6},y=\dfrac{1}{3},z=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{4xy}{(x+y)^2}+\dfrac{3}{2}.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})=(\dfrac{4xy}{(x+y)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy})+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\geq\dfrac{4xy}{(x+y)^2}+\dfrac{(x+y)^2}{4xy}+2\geq 2+2 =4 $

Cho $a,b,c$ là các số thực dương , $abc\geq1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ca}}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+\sqrt{ab}}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}}\geq \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

(Ps: mình post nhầm bài này ở box olympic nhưng ko biết xóa ntnào , mong các bạn thông cảm )

Bài 3: Bài 3 là hệ quả trực tiếp của bài 1:
Ta có như sau: a(b-c)²+ b(c-a)²+c(b-a)²=(a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc
Như vậy, bất đẳng thức được viết lại như sau:
7(ab+ bc+ca) -9abc<2
Hay 7(ab +bc + ca) <2+9abc (điều đã được chứng minh ở trên)
Ta có đpcm

Bạn nói mình mới để ý nhưng nếu không có bài kia thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn nhiều . Cách giải khác đơn giản hơn :
$6\sum ab+\sum_{cyc}a(b-c)^2\leq 6\sum ab+\sum (b-c)^2 (*) = 2(\sum a)^2=2$
Ta có (*) vì $a,b,c \in (0;1)$

Nhân tiện mọi người giải zùm bài này lun nha

1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:


$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c} \ge 26$

2. cho $\dfrac{a}{a'} + \dfrac{b}{b'} + \dfrac{c}{c'} = 4$

Tính $y= \dfrac{a+b+c}{a'-b'+c'}$

1/$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c}$
$\Rightarrow P+14,5= (\dfrac{4a}{b+c-a}+2) + (\dfrac{9b}{c+a-b}+4,5) +( \dfrac{16c}{a+b-c}+8)$
Bạn quy đồng mẫu số , rút $a+b+c$ ra ngoài , dùng Cauchy-Schwarz cho biểu thức trong ngoặc , rút gọn rồi trừ 14,5 đi sẽ được đpcm.

1/Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa : $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$7(ab+bc+ca)\leq2+9abc$

2/Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau :

$A=a^2b(4-a-b)$

với : $a,b \geq 0 $ , $a+b\geq 6$.

3/Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a+b+c =1 $. Chứng minh rằng :

$6\sum ab +\sum_{cyc}a(b-c)^2\leq 2$

4/Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

$f(x)=x(2002-x^{2001})$

5/$\forall x,y,z >0$ , chứng minh bất đẳng thức sau :

$\sum_{cyc}\dfrac{2x}{x^6+y^4}\leq \sum \dfrac{1}{x^4}$

6/Cho $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :

$x^2+y^2+z^2+\sqrt{12xyz}\leq 1$

7/Cho $a^2+b^2=25$,$c^2+d^2=16$ , $ac+bd\geq 20 $ . Tìm giá lớn nhất của :

$A=b+c$

8/$\forall n\geq 1$ , đặt $k_{n}=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n}$ . Tìm :

$lim(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{ik_{i}^2})$

9/Cho $a,d\geq 0 $ , $b,c>0$ : $b+c\geq a+d$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của :

$A=\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{a}{a+b}$

Những bài trên đều không khó nhưng lời giải (theo mình) thì khá hay và đẹp , mong mọi người ủng hộ .