Phải là $n^{4}$ mới đúng chứ nhỉ
đề nó ghi như thế ông ạ
There have been 382 items by nguyentrungphuc26041999 (Search limited from 06-06-2020)
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 04-06-2017 - 16:49 in Số học
Phải là $n^{4}$ mới đúng chứ nhỉ
đề nó ghi như thế ông ạ
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 04-06-2017 - 16:25 in Số học
Tìm số nguyên dương n để $n^{13}+n^{5}+1$ là số nguyên tố
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 22-08-2016 - 21:23 in Số học
tìm tất cả các bộ số $\left ( k,m,n \right )$ sao cho $\left ( m^{n}-1 \right )\vdots k^{m}$ và $\left ( n^{m}-1 \right )\vdots k^{n}$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 14-12-2014 - 22:44 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
đây là 1 hệ đối xứng vô cùng quen thuộc bạn chỉ cần đặt y+1=z là giải dc dễ dàng( bằng cách trừ 2 vế của 2 pt)
viết ra đi
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 14-12-2014 - 22:34 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x+1=\left ( y+1 \right )^{3} & \\ x^{3}=3y+2 & \end{matrix}\right.$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 28-08-2014 - 21:23 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$
$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$
$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$
cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 24-07-2014 - 19:49 in Số học
Giải như sau:
Để A nguyên thì $\sqrt{12n^2+1}$ nguyên suy ra $12n^2+1$ là số chính phương.
Đặt $12n^2+1=a^2$ như vậy $12n^2=(a-1)(a+1)$
Dễ thấy $(a-1)(a+1)$ chia hết cho 12 suy ra $(a-1);(a+1)$ cùng chẵn nên đặt $a-1=2x,a+1=2y$ <2>
Nhưng lại thấy $gcd(a-1,a+1)=1,2$ mà chúng cùng chắn nên $gcd(a-1,a+1)=2$ do vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Do vậy $3n^2=xy$
Th1: $x$ chia hết cho 3 suy ra theo <1> thì $y$ không chia hết cho 3
Đặt $x=3k$ cũng suy ra $gcd(k,y)=1$ và $n^2=ky$ sở dĩ k,y nguyên tố cùng nhay suy ra mỗi số là chính phương
Do vậy $n^2=p^2.q^2;k=p^2,y=q^2$ như vậy theo <2> thì $a=2q^2-1$
Như vậy $A=2+\sqrt{12n^2+1}=2+2a=4q^2$ là số chính phương $đpcm$
Th2: $y$ chia hết cho 3 suy ra $y=3t$ và xét tương tự như trên.
Vậy ta có bài toán được chứng minh hoàn toàn
không tương tự cho lắm anh ạ
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 15-06-2014 - 07:48 in Tài nguyên Olympic toán
Chào mọi người, ắt hẳn diendantoanhoc.net ta không thể không biết đến cuốn Sáng tạo BĐT của anh PKH (hungkhtn). Trước đây đã có bản file tập 1(về cả Tiếng Anh lẫn Tiếng Việt). Bây giờ xin giới thiệu với mọi người file tập 2 của cuốn này, xuất bản bởi Gil vào năm 2009. Cuốn sách tập 2, Secrets In Inequalities, Advance Inequalities hay hơn tập 1 nhiều, vì nó mới là phần chính của 2 tập.
Download
Đã có:
Secrets in Inequalities I, Nhà xuất bản Gil, 2008. Download (English)
Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri Thức, Hà Nội, 2007. Download. (VIETnamese)
sao không down được,trang có vấn đề à Toàn
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 13-06-2014 - 22:03 in Bất đẳng thức và cực trị
Sao có thể khẳng định $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b=y & \end{matrix}\right.$ , đề chỉ cho $x,y$ là các số thực dương liên quan gì đến $a,b$
ý mình là có lẽ đề ra cho a,b chứ ko phải a,ở đây mình đặt ẩn phụ mà
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 13-06-2014 - 21:51 in Bất đẳng thức và cực trị
có lạc đề không đó bạn
thay $x,y$ vào là xong là thấy đúng đề
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 13-06-2014 - 21:34 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương x,y Chứng minh rằng :
a, $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$
b, $\frac{2}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}\geq \frac{9}{(a+2b)^{2}}$
a,
Đặt$\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b=y & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \frac{x-y}{y^{2}}+\frac{8y}{x^{2}}\geq \frac{9}{x+y}$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{8y}{x}+\frac{8y^{2}}{x^{2}}\geq 10$
áp dụng bất đẳng thức côsi
$\left ( \frac{x^{2}}{2y^{2}}+\frac{8y^{2}}{x^{2}} \right )+\left (\frac{x^{2}}{2y^{2}}+\frac{4y}{x}+\frac{4y}{x} \right )\geq 10$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 07-06-2014 - 20:37 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $1\leq a,b,c\leq 3 $ thỏa mãn :$a+b+c=6$
Chứng minh rằng: $ a^2+b^2+c^2\leq 14$
đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1$
$0\leq x,y,z\leq 2,x+y+z=3$
ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( x+y+z \right )+3=x^{2}+y^{2}+z^{2}+9$
ta có $\left ( 2-x \right )\left ( 2-y \right )\left ( 2-z \right )\geq 0$
nhân tung ra là xong
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 27-05-2014 - 20:30 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}-y}=z-1 & & \\ \sqrt{y^{2}-z}=x-1& & \\ \sqrt{z^{2}-x}=y-1& & \end{matrix}\right.$
Ta có $x+y+z\geq 3$
Phương trình tương đương $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y=z^{2}-2z+1 & \\ y^{2}-z=x^{2}-2x+1 & \\ z^{2}-x=y^{2}-2y+1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x+y+z=3$
mà $x\geq 1,y\geq 1,z\geq 1$
$\Rightarrow x=y=z=1$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 27-05-2014 - 19:44 in Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$
Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$
Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:
$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$
$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$
Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.
Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$
Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$
Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$
Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị
Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$
Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$
Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$
Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$
Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$
Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có
$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$
Khảo sát hàm $g(z)$ trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$
Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$
Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$
$x>2$ mà $x=1$ à,sai rồi kìa,còn bài này mình đã học từ năm ngoái,đúng chứ không sai được
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 26-05-2014 - 17:25 in Bất đẳng thức và cực trị
sao lại có $+1$ nhỉ
fix rồi
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 26-05-2014 - 17:13 in Bất đẳng thức và cực trị
Bất đẳng thức tương đương
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2$
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{ca}+\frac{b^{2}}{b^{2}}\geq \frac{\left ( a+b+b+c \right )^{2}}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$
hiển nhiên đúng theo Côsi-Schwart
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 26-05-2014 - 17:07 in Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$
Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$
Bài này dùng nhiều bổ đề kinh
Thế này
Đặt $\frac{a}{b-c}=x,\frac{b}{c-a}=y,\frac{c}{a-b}=z$
ta có $\Rightarrow xy+yz+zx=-1$
mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq 2$
$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}}{b-c}+1 \right )\geq 5$
$\Rightarrow \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )\geq 5+2\left ( \sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )$
ta lại có $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$
tiếp tục áp dụng $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$
$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}\geq 2$
thêm bớt thôi $\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}-3\geq -1$
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq \frac{-1}{4}$
$\Rightarrow 5+2\sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq \frac{9}{2}$
Vậy $MIN A=\frac{9}{2}$
dấu bằng xảy ra khi $x+y+z=0$ cái này bạn giải ra nhé
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 18-05-2014 - 09:58 in Bất đẳng thức và cực trị
Giải:
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa $a+b+c=12$.
Khi đó, BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq 6$
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{3a}{3+a}\leq \frac{3+a}{4}\Leftrightarrow -(a-3)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{4b}{4+b}\leq \frac{4+b}{4}\Leftrightarrow -(b-4)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{5c}{5+c}\leq \frac{5+c}{4}\Leftrightarrow -(c-5)^2\leq 0$ (luôn đúng)
Cộng vế các BĐT trên lại ta được đpcm
Dấu "=" khi và chỉ khi $a=3;b=4;c=5$.
P/s: Không biết có đúng không, buồn ngủ quá...!
hình như là không được phép chuẩn hoá vì nó chưa thuần nhất
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 18-05-2014 - 09:57 in Bất đẳng thức và cực trị
Bài tiếp :
5) Cho $a,b,c$ là độ dài cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng : $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$ (Giải bằng 2 cách)
$\sum \frac{a}{b+c-a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\prod \left ( a+b-c \right )}}\geq 3$
hoặc dùng Svacs
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 11-05-2014 - 21:05 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $x,y,z$. CMR: $\sum \sqrt{x(y+z)}\geqslant 2\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}}$
Hình như bài này dấu ngươc lại chứ ạ
thay $x=y=z$ vào cũng không được nên em sửa đề
Tình hình là thế này
$2\sqrt{\frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}{x+y+z}}=2\sqrt{\frac{\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )-xyz}{x+y+z}}=2\sqrt{xy+yz+xz-\frac{xyz}{x+y+z}}$
$=2\sqrt{xy+yz+zx-\frac{1}{\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}}}$
đặt $\frac{1}{xy}=a,\frac{1}{yz}=b,\frac{1}{zx}=c$
ta chứng minh
$\frac{4}{3\sqrt{3}}\sum \sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}}$
cái này nhân bung ra là xong
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 11-05-2014 - 20:40 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x+y+z=3
Tìm GTNN của biểu thức $P= 3(x^2+y^2+z^2)-2xyz$
$P\geq \left ( x+y+z \right )^{2}-2\frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{27}=...$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 11-05-2014 - 10:24 in Số học
220/
a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$
c.$.x+y+z=xyz$
d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$
e.$3x^2+5y^2=12$
f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$
g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$
h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$
c,giả sử $x\geq y\geq z$
với $x=y=z=0$ đúng
ta có $1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{z^{2}}$
$\Rightarrow z=1$
$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )=2$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 11-05-2014 - 10:14 in Số học
220/
a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$
c.$.x+y+z=xyz$
d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$
e.$3x^2+5y^2=12$
f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$
g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$
h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$
a,$\Leftrightarrow 2x+3+2\sqrt{x\left ( x+3 \right )}=y^{2}$
nếu $x=0$ không thoả mãn
nếu $x=3$ không thoả mãn
nếu $x\left ( x+3 \right )=k^{2}$
$\Leftrightarrow \left ( 2x+3-k \right )\left ( 2x+3+k \right )=9$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 11-05-2014 - 10:07 in Số học
220/
a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$
c.$.x+y+z=xyz$
d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$
e.$3x^2+5y^2=12$
f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$
g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$
h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$
g,$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+3x+2 \right )\left ( x^{2}+3x \right )=y^{2}$
$\left ( x^{2}+3x+1-y \right )\left ( x^{2}+3x+1+y \right )=1$
Posted by nguyentrungphuc26041999 on 10-05-2014 - 15:03 in Thi giải toán Marathon cấp THCS 2014
Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$
Toán thủ ra đề: angleofdarkness
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức,ta có
$E=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{xy+xz}\geq \frac{\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}=\frac{xy+yz+zx}{2}$
áp dụng bất đẳng thức Cô-si
$\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $E=\frac{3}{2}$ đạt được khi $a=b=c=1$
$d = 10$
$S = 41$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học