Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0\\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 \end{matrix}\right.$

Bài 1 :Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của : $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ trong đó $a,b,c,d \in N$ thỏa mãn:

$a+c=b+d=50$

Ko mất tính tổng quát giả sử $\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+d}=1\leq \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}\leq 1$

- Nếu $c\leq 48\Rightarrow \frac{c}{d}\leq 48\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\leq 49$

- Nếu c = 49 => a = 1 => $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=49+\frac{1}{49}$

Vậy Max =$49\frac{1}{49}$. Dấu = khi a = d =1; b = c =49

Xác định đa thức bậc 7 f(x) có hệ số nguyên và có $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ là 1 nghiệm

Cho $\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Gọi a là cạnh huyền, r là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $\frac{a}{r} \geqslant 2 \left ( \sqrt{2} +1 \right )$

untitled2.JPG

$2r=\left (AB+AC \right )-BC\leq \sqrt{AB^{2}+AC^{2}}.\sqrt{2}-BC=a.(\sqrt{2-1})$

$\Rightarrow \frac{a}{r}\geq \frac{2}{\sqrt{2}-1}=2.(1+\sqrt{2})$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0\\ x^{3}+y^{3}=16 \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:

A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^{2}}$ ( Với x, y là các số thực dương )

mk có nếu bài này thiếu ĐK mà

mk tôn trọng tác giả nên ko sửa

mà bài mk cũng có $0\leq c\leq b\leq a$ mà

Bài thiếu điều kiện, nên giả sử này nhầm

bài thiếu điều kiện chứ cách làm thì có thế nào đâu

Bài này thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$

Bài làm : Giả sử : $min\left \{ a,b,c \right \}=c$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-ac+c^2\leq a^2\\ b^2+c^2-bc\leq b^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leq a^2b^2\left ( a^2+b^2-ab \right )=\frac{4}{9}\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( a^2+b^2-ab \right )\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^2}{3} \right ]^{3}\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \right ]^3=12$

bài này cũng thiếu Đk nên cách này cũng ko đc

Cho a+b+c=3. Tìm Max của P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$

Ko mất tính tổng quát giả sử $0\leq c\leq b\leq a$

Ta có:

$b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}+c(c-b)\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}+c(c-a)\leq a^{2}$

=> P $\leq a^{2}.b^{2}.(a^{2}-ab+b^{2})=\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{4}{9}\leq \left [ \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{3} \right ]^{3}.\frac{4}{9}=\frac{(3-c)^{6}}{27}.\frac{4}{9}\leq 12$

Vậy Max P = 12. Dấu = khi a = 2; b = 1; c = 0 và hoán vị

Traí dấu

tại sao lại trái dấu??

P/s: TL: nhầm

Giải phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=8\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=6 \end{matrix}\right.$

Cô si:

$(x+1)+9\geq 6\sqrt{x+1}$

$(y+1)+9\geq 6\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 6=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\leq \frac{x+y+20}{6}\Leftrightarrow x+y\geq 16$

Xét pt (1):

$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow 8=x+y-\sqrt{xy}\geq \frac{x+y}{2}\geq \frac{16}{2}=8$

Dấu = xảy ra khi x = y = 8

224. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-2x+xy-y=0\\ 2y^{2}+2y-xy-x=0 \end{matrix}\right.$

pt (1) $\Leftrightarrow (x-1)(2x+y)=0$

$\Leftrightarrow x=1\cup 2x=-y$

Giải phương trình:

$16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Giải phương trình:

$(x+\sqrt{2-x^{2}}-2)(2x\sqrt{2-x^{2}}+3)=-2$

Cho phương trình:

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-(m+1)(x-\frac{1}{x})+m-3=0$

a. Giải phương trình khi m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

Cho các số thực x, y, z, t thoả mãn $x+y+z+t=0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$-1\leq xy+yz+zt+tx\leq 0$

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$

Giải phương trình:

$x^{4}=8x+7$

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$A=\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

$\sum\frac{1}{\sqrt{a_1}}=19$

Cmr: Trong 100 số tự nhiên đó , tồn tại 2 số bằng nhau.

Giả sử trog 100 số đã cho ko có 2 số nào bằng nhau. Giả sử $a_{1}< a_{2}< ...< a_{100}$

=> $a_{1}\geq 1;a_{2}\geq 2 ;...;a_{100}\geq 100$

Suy ra $\sum \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$ = A

Xét số $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

Thay n lần lượt các giá trị từ 2 đến 100 ta có:

A$< 2\sqrt{100}-1=19$. Trái với giả thiết => điều giả sử là sai

=> tồn tại 2 số bằng nhau

Cách 2:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{2}-xy)^{2}+x^{3}y=1 & \\ x^{3}y-(x^{2}-xy)=-1 & \end{matrix}\right.$

 

đến đây cũng có thể cộng 2 pt với nhau đc

$(x^{2}-xy)^{2}-(x^{2}-xy)-2=0$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=1\\ x^{3}y-x^{2}+xy=-1 \end{matrix}\right.$

Trong các số thực ( x, y) thoả mãn $\frac{x^{2}-x+y^{2}-y}{x^{2}+y^{2}-1}\leq 0$

Tìm cặp số có tổng $x+2y$ lớn nhất