Xét trên mặt phẳng tọa độ một ngũ giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên.

CMR bên trong nó luôn chứa ít nhất 1 điểm nguyên.

(điểm nguyên là điểm có tọa độ nguyên)

CMR tồn  tại vô hạn $n$ sao cho $d(n^2+1)\leq d((n+1)^2+1)$ (với $d(n)$ là số ước dương của n)

CMR tất cả các hệ số tổ hợp $\binom{n}{0};\binom{n}{1};\binom{n}{2};...;\binom{n}{n}$ là lẻ khi và chỉ khi n có dạng $2^{s}-1$

Ở đây là căn bậc ba mà anh, nguyên âm hay nguyên dương đều được mà...

Câu nói bá đạo :v

Cho $a,b,c\in Z$ TM : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ CMR abc là lập phương của 1 số nguyên

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $H$ là trực tâm,đường cao $AD$.Gọi $K$ đối xứng $B$ qua $D.KH$ cắt $AC$ tại $Q$.Chứng minh rằng: $\widehat{QDO}=90^{\circ}$

  Cho tam giác ABC ,AE,AD là 2 đường đẳng giác,BD cắt CE tại H,BE cắt CD tại K.CM ,AH,AK cũng đẳng giác

Cho dãy số $(x_{n})_{n\geq 1}$ được xác định như sau:

   $x_{1}=2;x_{n+1}=2^{x_{n}}$ với mọi $n\geq 1$ .CMR $x_{n}\equiv x_{n-1}$ mod n với mọi $n\geq 2$

Tìm tất cả giá trị nguyên $n$ để phương trình $(x+y+z)^{2}=nxyz$ có nghiệm nguyên dương

Khác nhau :v

Tìm tất cả các bộ 4 số có 3 chữ số thỏa mãn ĐK:

   1) Cả 4 sô đều khác nhau

   2) Cả 4 số đều bắt đầu từ cùng 1 số:
   3) Tổng của 4 số chia hết cho 3 số trong chúng .

Xét một số nguyên dương n > 3 thì nó có thể được tách thành tối đa bao nhiêu hợp số khác nhau   ?                                      

Ai full âu cuối cái

Cho đa thức $P(x)\epsilon Z(x)$ thỏa mãn tồn tại $a,b,c,d$ phân biêt,dương mà không chia hết cho 4 và $P(a).P(b).P(c).P(d)=2010^{2010}+1$ . CMR đa thức này không có nghiệm nguyên 

Cho $a,b,c>0$ .CMR:

  $\sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}}+\sqrt{\frac{b}{b+2c+3a}}+\sqrt{\frac{c}{c+2a+3b}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Cho a,b,c>0.CMR

$\sum \frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{21}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+5(ab+bc+ca)}$

  p/s: Mong ae có 1 lời giải đẹp cho bài toán

Kinh nghiệm làm thôi bạn, cái này cũng thuộc dạng là bảo đảm điểm rơi tại biên nên dùng nó cũng an tâm.

what ,điểm rơi tại tâm mà 

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{2+k}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT=\sum \dfrac{(b+c)^2}{(b+c)^2+\dfrac{k(b+c)^2}{b^2+c^2}}\geqslant \dfrac{4(a+b+c)^2}{\sum (b+c)^2+k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $2(k+2)(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (b+c)^2+3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}$

$2(k+2)(a+b+c)^2-36-18k=(k+2)\sum (b-c)^2$

$3\sum (b+c)^2-36=3\sum (b+c)^2-12(ab+bc+ca)=3\sum (b-c)^2$

$3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}-18k=-3k\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2+c^2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum (b-c)^2\left(k-1+\dfrac{3k}{b^2+c^2}\right)\geqslant 0$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Làm thế nào mà bạn biết mà nhân (b+c)^2 thế

Cho $ab+bc+ca=3$,a,b,c>0 CMR:

  $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+k}\leq \frac{3}{2+k}$
 

$20q-81\leqslant 0$ nên áp dụng Schur ra là có bất đẳng thức ngược dấu.

Với lại theo logic thì cách làm trên hoàn toàn không ổn khi điểm rơi là $a=2, b=c=\dfrac{1}{2}$ trong khi đó áp dụng Schur cho điểm rơi $a=0, b=c$.

Bài này có thể dùng kỹ thuật tiếp tuyến để giải. Đưa về dạng: $f(b)(2b-1)^2+f\left(c\right)(2c-1)^2\geqslant g(a)(a-2)^2$

Sau đó áp dụng Cauchy-Schwarz cho vế trái là ra.

Bạn làm kĩ hơn cái ,mình cũng đưa về như bạn rồi nhưng B-C_S phát thì đoạn sau có vẻ khó cm

Cũng đặt như anh nhưng đoạn sau sử dụng pp thêm bớt cũng ra 

Cho $a,b,c$ là số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ CMR : 

$8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 10(a^{2}+b^{2}+c^{2})-9$

Em ko hiểu,tìm nghiệm vô tỉ của pt thì em biết rồi nhưng tìm nghiệm vô tỉ của hpt thì làm sao hả a ,em có thấy a nói đâu   

Là chân 3 đường cao,cm bằng tích vô hướng

Anh đánh lại giúp em cái chứ bị lỗi late rồi