Đặt $z=a+bi$ và $w=r+r^2i$.
Từ điều kiện của $z$, dễ dàng thu được:
$$b=-a^2-2a-15/8 =-(a+1)^2-7/8.$$
Khi đó, ta tìm GTNN của:
$$ |z-w|^2=(r-a)^2+[r^2+(a+1)^2+\frac{7}{8}]^2. $$
Tới đây thật là không biết trước kết quả thì khó mà nghĩ tới bước tiếp. Cảm giác top 10 câu cuối đề ĐH.
Nhưng theo cảm giác ít "thiếu tự nhiên" hơn cả là làm xuất hiện phần "$r-a$", khi đó ta sẽ:
$$r^2+(a+1)^2=(a+1)^2+(-r)^2\geq \frac{1}{2}(a-r+1)^2.$$
Ta tìm GTNN của:
$$f(t) = t^2+(\frac{1}{2}(t+1)^2+\frac{7}{8})^2.$$
Giải được $t=a-r$ và $a+1=-r$ thì thu được GTNN của $|z-w|$ là $\frac{\sqrt{5}}{2}$.