Cho $x,y \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $x+y=2022$.
Chứng minh $xy \not \vdots 2022$
UserNguyenHaiMinh nội dung
Có 55 mục bởi UserNguyenHaiMinh (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
#736150 $xy \not \vdots 2022$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 09-12-2022 - 15:08 trong Số học
#736830 Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số biết $ab=cd$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-01-2023 - 19:10 trong Số học
$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$
$\Rightarrow a=ck,d=bk$
$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$
Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số
#736833 Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số biết $ab=cd$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-01-2023 - 20:32 trong Số học
Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ
Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi
#736328 $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-12-2022 - 11:40 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải phương trình: $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5}} (1)$
ĐKXĐ: $x\ge -\frac{3}{4}$
$\left(1\right)\Rightarrow \left(10x^2+6x\right)^2=\frac{4x+3}{5}$
$\Leftrightarrow 500x^4+600x^3+180x^2-4x-3=0$
$\Leftrightarrow \left(50x^2+20x-3\right)\left(10x^2+8x+1\right)=0$
...
B giải nốt nghiệm r thử lại nhé
#734226 Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 05-08-2022 - 10:25 trong Bất đẳng thức và cực trị
B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$
B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$
#734235 Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 06-08-2022 - 09:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$
Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ
#727605 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 15:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$
Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$
#727608 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 16:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$
Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$
Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$
Biến đổi gt kiểu gì v bạn
#727610 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 16:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)
Thanks bạn
#736860 Chứng minh $n^3+n+2$ hợp số
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 19-01-2023 - 17:10 trong Số học
Thiếu lập luận rồi bạn ơi, sao đùng cái $(n+1)(n^2-n+2)$ là hợp số liền được
$n\in ℕ^∗\Rightarrow \hept{\begin{matrix}n^3+n+2>n+1>1\\n^3+n+2>n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge 2>1\end{matrix}}$
Do đó $n^{3}+n+2=(n+1)(n^{2}-n+2)$ là hợp số
#729830 $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 20-08-2021 - 09:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $13a + 5b + 12c = 9$. Chứng minh rằng
$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant1$
(Ac giúp e bằng UCT vs ạ)
#736314 Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 17-12-2022 - 17:05 trong Số học
Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.
$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$
$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$
Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
Do $y^2$, $x^2$ là scp
$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$
$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$
Xét các TH
TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$
$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé
#731834 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 30-11-2021 - 17:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$
Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$
#734791 $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 04-09-2022 - 14:13 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt
a, $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3$
b, $\frac{3}{\sqrt{x^2+4}}+6=2\sqrt{\frac{x^3+3x-3}{3x+2}}+x^2$
c, $\left(x+7\right)\left(x^2-9x+1-\sqrt[3]{20x^2+102x-121}\right)+63x+1=0$
d, $\left(2-\frac{4}{x}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=\frac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}$
#729853 $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 21-08-2021 - 17:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$
cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không
#731838 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 30-11-2021 - 18:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ
#728278 Giải phương trình: $x^{4}-4x^{3}-19x^{2}+1...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 20-06-2021 - 09:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$
$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$
Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}
Cách làm
Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$
Khi đó
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$
$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
Trong đó
$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$
Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết
Quy trình ép tích
Bước 1
Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$
Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$
Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể
Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó
#734671 $a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 28-08-2022 - 15:02 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt
$a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]{x-1}-\left(x-5\right)\sqrt{x-8}-3x+31=0$
$b,\sqrt[3]{162x^3+2}-\sqrt{27x^2-9x+1}=1$
$c,\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+8}-2=\sqrt{x^2+15}$
#735672 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 12-11-2022 - 14:57 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải các hệ pt sau
1,$\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{matrix}}\right.$
2,$\left\{{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}}\right.$
3,$\left\{{\begin{matrix}x^2-xy-xz+z^2=0\\x^2-xz-yz+3y^2=2\\y^2+xy+yz-z^2=2\end{matrix}}\right.$
#735053 Trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 22-09-2022 - 19:50 trong Hình học
Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.
Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).
#734667 $8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 28-08-2022 - 10:51 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a,$8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$
b,$\left(\frac{x-3}{x-1}\right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+1}$
c,$x+5\sqrt{1-\sqrt{1-x}}=6\sqrt{1-x}$
d,$\left(x+5\right)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$
#737426 Giải phương trình nghiệm nguyên: $(2x+5y+1)(2^{|x|} + x^2 + x+...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 24-02-2023 - 18:51 trong Số học
$(2x+5y+1)(2^{|x|} + x^2 + x+y)= 105(1)$
VP(1) lẻ suy ra $(2x+5y+1)$ lẻ (2)
$(2^{|x|} + x^2 + x+y)$ lẻ (3)
Từ (2) suy ra 5y chẵn => y chẵn (4)
Từ (3),(4) => $2^{|x|}$ lẻ => x=0
Thay x=0 tìm được y=4(tm)
#734132 Chứng minh b,o,h,c cùng nằm trên 1 đường tròn
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 29-07-2022 - 10:38 trong Hình học
Cho tam giác abc nhon (a=60 độ) nội tiếp (o,r). đường cao bd, ce cắt nhau tại h.
chứng minh
a, Chứng minh b,o,h,c cùng nằm trên 1 đường tròn
b, Chứng minh aoh cân
#732871 Tìm $Min P=a+b$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 06-03-2022 - 17:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $\sqrt{ab}(a-b)=a+b$
Tìm $Min P=a+b$
#732864 $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 05-03-2022 - 16:43 trong Đại số
Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=1010$
Chứng minh rằng $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}=2020$
- Diễn đàn Toán học
- → UserNguyenHaiMinh nội dung