TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}.$ thỏa mãn :
1. $f(x)$ liên tục trên $\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.
2.$f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4})$ với mọi $x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
Với mỗi số thực $a \in [0;\frac{1}{2}] $ bất kỳ xét dãy $x_1=a; x_{n+1}=x_{n}^2+\frac{1}{2}$.
Dễ dàng chứng minh được rằng $lim {x_n}=\frac{1}{2}$
Khi đó $f(a)=f(x_n)$
Lấy $lim$ 2 vế kết hợp với $f$ liên tục ta đc
$f(a)=f(\frac{1}{2}) \forall a \in [0;\frac{1}{2}]$