Tìm mọi số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn : $ab-c$ ; $bc-a$ ; $ca-b$ đều là lũy thừa của 2 .
NX : Mình lấy lại bài số học của IMO 2015 vừa qua để các trao đổi kĩ càng hơn về việc phân tích hướng giải , chỉ ra đâu là mấu chốt của bài ,.... chứ không nên đùng đùng xét một loạt các TH mà không chú thích tại sao . Mong các bạn không nên dẫn link trong bài viết này để tiện theo dõi .
Nhìn vào theo cảm nhận mang tính cá nhân của mình thì thứ làm cho nó có hữu hạn nghiệm có thể khai thác được là sự lệch bậc trong biểu thức, vì nó đối xứng nên ta ta có thể dựa vào $v_2$ của tích 2 số phải lớn hơn $v_2$ của một số, rõ ràng nếu xem 3 số là như nhau thì để tạo ra lũy thừa của một số nguyên tố, đây là một điểm ta cảm thấy bất cập, đó chính là thứ cần vin vào để lập luận. Để đảm bảo cho mục đích vừa nêu ta chọn $a$ là số có $v_2$ lớn nhất.
Khi đó ta chứng minh được nếu $v_2(a)>v_2(b)$ và $v_2(a)>v_2(c)$ là vô lí.
Thật vậy đặt $a=2^i.a_1,b=2^j.b_1,c=2^k.c_1$
Nếu $i>j,i>k$ thì từ $ab-c,ac-b$ đều là lũy thừa của $2$ ta suy ra $2^{i-k}.2^j.b_1-c_1=1$ và $2^{i-j}.2^k.c_1-b_1=1$
Suy ra $1 \ge 2.b_1-c_1$ và $1 \ge 2.c_1-b_1$. Cái này chỉ xảy ra khi $b_1=c_1=1,j=k=0,i=1$, nghiệm này không phù hợp.
Vậy trong 2 số $i,j,k$ có ít nhất 2 số bằng nhau. Ta giả sử là $i=j$ khi đó ta có:
$ca-b,cb-a$ là lũy thừa của 2.
_Nếu $c$ là số chẵn thì suy ra $ca_1-b_1=1,cb_1-a_1=1$, chú ý lúc này $v_2(c)>v_2(a_1),v_2(c)>v_2(b_1)$ nên theo trên ta suy ra nghiệm $c=2,a_1=b_1=1$
Thay vào để $ab-c$ là lũy thừa của $2$ thì suy ra $i=1$ nên $(2;2;2)$ là một nghiệm.
_Bây giờ xét $c$ là một số lẻ.
Ở đây sinh ra 2 vấn đề là nếu $a,b$ lẻ thì chưa nói được gì nhưng mà nếu $a,b$ chẵn thì ta có $ab-c=1$
+)Ta xét $a,b$ chẵn trước thì khi đó $c=2^{2i}a_1b_1-1$ (vì $i=j \ge 1$) và ta phải có $x=2^{2i}a_1^2b_1-a_1-b_1$ và $y=2^{2i}a_1b_1^2-a_1-b_1$ đều là các lũy thừa của 2. Nếu 2 số này bằng nhau thì $a_1=b_1$ thay vào có thể giải ra nghiệm $(2;2;3)$
Nếu 2 số này khác nhau thì $v_2(x) \ne v_2(y)$ nên $v_2(x+y)=v_2(x-y)$ suy ra $v_2(a_1+b_1)+1=v_2(a_1-b_1)+2i \Rightarrow v_2(a_1+b_1)=v_2(a_1-b_1)-1+2i \ge 2i$
Nếu $v_2(a_1+b_1)>2i$ thì ta có thể chứng minh được $x,y$ đều là lũy thừa của 2 là mâu thuẫn (cái này chắc không khó, nhưng mình nhác mò chứng minh )
Từ đó suy ra $v_2(a_1+b_1)=2i$ và $v_2(a_1-b_1)=1$
Đặt tiếp $a_1+b_1=2^i.r$ với $r$ lẻ và $z=a_1^2b_1-r,t=a_1b_1^2-r$ thì $z,t$ là lũy thừa của 2 mà $v_2(z-t)=v_2(a-b)=1$ suy ra một trong 2 số $z,t$ bằng 2.
Không mất tính tổng quát giả sử là $z=2$, nếu $a_1 \ge 2$ thì $a_1^2b_1-r \ge (a_1-1)a_1b_1+a_1b_1-r>2$ chú ý là $r \le \frac{1}{4}(a_1+b_1)$ nên $a_1b_1-r>0$.
Vậy $a_1=1$ suy ra $b_1=r+2$, ta có $2^{2i}r=a_1+b_1=r+3$ mà $i \ge 1$ nên suy ra luôn $r=1$. Từ đây suy ra được giá trị của $a,b,c$ ta được bộ nghiệm $(2,6,11)$
+) Bây giờ xét $a,b,c$ cùng lẻ
Thủ thuật cũng gần tương tự như trên một chút, nhưng trước tiên ta nhận xét là 3 số này không có 2 số nào bằng nhau và không có số nào bằng 1. Ngược lại nếu tồn tại thì dễ dàng chứng minh vô lí.
Với điều kiện trên không mất tính tổng quát $a>b>c$, khi đó ta có $ab-c>ac-b$, do đó $v_2(ac-b)=v_2[(ab-c)-(ac-b)]=v_2[(ab-c)+(ac-b)] $. Suy ra $v_2(ac-b)=v_2(a+1)+v_2(b-c)=v_2(a-1)+v_2(c+b)$, ta chú ý là trong 2 số $v_2(a-1)$ và $v_2(a+1)$ có một số bằng 1. Do đó hoặc là $v_2(b-c)=v_2(ac-b)-1$ hoặc là $v_2(b+c)=v_2(ac-b)-1$. Chung quy ta đều có $2(b+c) \ge ac-b$ vì $ac-b=2^{v_2(ac-b)}$, suy ra $3b \ge (a-2)c$, mà $a,b,c$ đều lẻ lớn hơn 1 và $a>b>c$ nên $a-2 \ge b, c \ge 3$. Đẳng thức trên phải xảy ra và xảy ra khi $a=b+2,c=3$
Ta có $ab-c=b(b+2)-3=(b-1)(b+3)$ là lũy thừa của 2 suy ra $b-1$ và $b+3$ đều là lũy thừa của 2 suy ra $b=5$.
Từ đây dẫn đến bộ nghiệm $(3,5,7)$
P/s: Mình không giỏi trình bày nên khá khó nhìn. Bài này không khó, và so với một bài số 5 trong kì thi IMO thì nó được xem là dễ.