ừm, mình nhầm

Ch0 $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=2$
Tìm Min Q=$\frac{a}{3+b^2+c^2}+\frac{b}{3+a^2+c^2}+\frac{c}{3+a^2+b^2}$
Mình sưu tầm được bài này thấy hay nên post lên

Giả sử $a=min\left \{ a, b, c \right \}$

ta có $Q=\frac{a}{b^2+c^2+3}+\frac{b}{c^2+a^2+3}+\frac{c}{a^2+b^2+3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+3(a+b+c)}=\frac{4}{ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+6}$

$a^2b+ab^2+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a= ab(a+b)+c(a^2+b^2)+c^2(a+b)\leq ab.2c+c(a^2+b^2)+c^2(a+b)=c(a+b)(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^2}{2}=2$

vậy $Q \geq \frac{1}{2}$

amen

nhầm với đề cho $x^2+y^2\geq x^3+y^4$

CMR :
$\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ac}{b+1} \leqslant \frac{1}{4}$

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}$

$=\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}$

$\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+c})$

$= \frac{1}{4}(a+b+c)$

$= \frac{1}{4}$

2 đề này khác nhau mà

đây là bài Russia MO 1999 lời giải dùng Cauchy-Schwarz

$(x^3+y^3)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)\leq (x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq \frac{(x^3+y^3+x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$

làm tương tự...

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. CMR
$\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})} + \frac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})} + \frac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}\geq 1$

$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a^4+b^4}{ab\sqrt{(a^2+b^2)(a^4+b^4)}}=\frac{\sqrt{a^4+b^4}}{ab\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}ab\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}ab}\geq \frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vào

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

$(a^2+ab+b^2)(a-b)2\geq 0\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a-b)\geq 0\Leftrightarrow a^4+b^4 \Leftrightarrow ab^3+a^3b\Leftrightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a+b)(a^3+b^3)$

đặt $n=\overline{a_1a_2a_3...a_k}$( đk:... )

ta có $n^2-10n-22\leq 9^k$

mà $n> 10^{k-1}$ suy ra $10^{k-1}(10^{k-1}-10)-22< n^2-10n-22<10^k=10.10^{k-1}$

$\Rightarrow (10^{k-1}-10)^2<122$

$\Rightarrow 10^{k-1}<22$

$\Rightarrow k\in \left \{ 1;2 \right \}$


* k=1 thì k có n t/m

*k=2 thì n=12

đặt $a=\frac{x}{y}; b=\frac{y}{z}; c=\frac{z}{x}$

$\Rightarrow P=(\frac{y}{y+2x})^2+(\frac{z}{z+2y})^2+(\frac{x}{x+2z})^2 \geq \frac{1}{3}(\frac{y}{y+2x}+\frac{z}{z+2y}+\frac{x}{x+2z})^2\geq \frac{1}{3}$

$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}$

$\leq \frac{1}{9}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{2b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{bc}{2c}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{2a})$

$=\frac{a+b+c}{6}$

ta có đề bài <=> $\frac{abc}{c^{2}+abc}+ \frac{abc}{a^{2}+abc}+ \frac{abc}{b^{2}+abc}$
<=>$\frac{9abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc}$ (1)
Mà $a^{2} +b^{2} +c^{2} \geq ab+ac+bc$
=> (1)≤$\frac{9abc}{ab+ac+bc+3abc}$
=$\frac{9abc}{abc.(\frac{1}{c}+1)+abc.(\frac{1}{b}+1)+abc.(\frac{1}{a} +1))}$
=$\frac{9abc}{abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3)}$
Áp dụng BĐT C.S:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{9abc}{abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3)} \leq \frac{9abc}{abc (\frac{9}{a+b+c}+3)}$
=$\frac{9abc}{abc.12}$
=$\frac{3}{4}$ (DPCM)
các bdt trên đều dùng được do a,b,c>0
Dâu = xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1}{3}$

sai trầm trọng

$\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+a)(b+c)}=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

cần c/m

$\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{3}{4} \Leftrightarrow CM: 4 \left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

đúng theo cauchy

Cho $a,b \in {R^ + };a + b < 1$
Tính min của:
$A = \frac{{{a^2}}}{{1 - a}} + \frac{{{b^2}}}{{1 - b}} + \frac{1}{{a + b}} + a + b$

$\frac{a^2}{1-a}+\frac{1-a}{4}\geq a \Rightarrow \frac{a^2}{1-a}\geq \frac{5}{4}a-\frac{1}{4}$

$\frac{b^2}{1-b}+\frac{1-b}{4}\geq b \Rightarrow \frac{b^2}{1-b}\geq \frac{5}{4}b-\frac{1}{4}$

$\Rightarrow A=\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b\geq \frac{9}{4}(a+b)+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{2}\geq \frac{5}{2}$

Bài 1: (abstract -02-02-2010)
Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $

Ta có $4a^2b^2c^2 \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^3+b^3+c^3+abc)$

Do đó chỉ cần c/m $a^3+b^3+c^3+abc\geq \frac{4(a+b+c)^3}{27}$

( khai triển ra, đúng theo schur bậc nhất )

Cho $x, y, z$ là các số thực sao cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Tìm GTNN của :
$$ P = xy + yz + 3zx$$
$min$ nhé

$gt \Rightarrow xz=\frac{(x+z)^2+y^2-1}{2}$

$\Rightarrow P =y(x+z)+3zx =\frac{3}{2}\left [ (z+x)^2+y^2+\frac{2}{3}y(z+x)\right ] -\frac{3}{2}\geq \frac{-3}{2}$

Phải chú ý tới dấu bằng nữa (nếu rảnh tối làm bài này)

$x+\frac{11}{2x}+\sqrt{4(\frac{7}{x^2}+1)}=\frac{(\sqrt{x^2+7}+2)^2+x^2}{2x}\geq \frac{(\frac{3x+7}{4}+2)^2+x^2}{2x}=\frac{(3x+15)^2+16x^2}{32x}=\frac{25x^2+225+90x}{32x}\geq \frac{15}{2}$


Dấu "=" xảy ra khi x=3, chú ý gì ạ?

cách 2 sai

Lời giải 2:
Áp dụng BĐT $AM-Gm$ Cho 2 số ta có
$\frac{a^2}{x}+\frac{x}{4}\ge a;\frac{b^2}{y}+\frac{y}{4}\ge b\to\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge a+b-\frac{1}{4}$

dấu "="xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2a & & \\ y=2b & & \end{matrix}\right.$

nếu $a+b\neq \frac{1}{2}$ thì dấu "=" k xảy ra

Ngộ thật
Chỗ này ở đâu vậy $\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})$

$\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab}=\frac{xa+yb+zc}{abc}=\frac{2S_{ABC}}{abc}= \frac{1}{2R}$

Bài 3. (NPKhánh-20-11-2006)
Gọi x,y,z theo thứ tự là khoảng cách từ trực tâm của tam giác ABC đến cạnh BC,CA, AB của tam giác .
$CMR:\dfrac{bx}{c}+\dfrac{cy}{a}+\dfrac{az}{b}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R} $

ngộ nhỉ

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})> \frac{bx}{c}+\frac{cy}{a}+\frac{az}{b}$

Bài 40. (Chung Chung -10-10-2011)
Tìm min của $x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$
Bài toán chỉ được sử dụng một BĐT duy nhất đó là BCS.

chỉ dùng Cauchy ở mỗi bước cuối cũng k đc à?

$\sqrt{x^{3}+1} = \sqrt{(x+1)(x^2-x+1)} \leq \frac{x^2+2}{2}< 2(x^{2}+2)$

$\Rightarrow pt\sqrt{x^{3}+1}=2(x^{2}+2) VN$

Cá nhân

tìm a, b>0 biết pt $x^3-17x^2+ax-b^2=0$ có 3 no nguyên $x_1, x_2, x_3$

( viét bậc 3 )

1 tấm vải hcn dài 350m, rộng 10.2m cuốn quanh 1 lõi hình trụ đường kính 10cm. tính độ dày

cuộn vải sau khi cuộn xong biết tấm vải dày 0.15mm

(

đề của THCS chỉ có 2 câu này phải nghĩ thôi

mà năm nay có đc tặng máy tính quái đâu

vẽ tam giác đều ABD ( D, C thuộc cùng 1 nửa mp bờ AB )

thì $\Delta AEB=\Delta AFD (gcg) \Rightarrow AE=AF$

e, $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}-9$

$=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2)+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2)+\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{abc}$

$=\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-b)^3}{abc}+\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{(b-c)^3}{abc}+\frac{(c-a)^2}{ca}+\frac{(c-a)^3}{abc}$

$=\frac{(a-b)^2}{abc}(c+a-b)+\frac{(b-c)^2}{abc}(a+b-c)+\frac{(c-a)^2}{abc}(b+c-a)$

$\geq 0$

*Giả sử tồn tại điểm M nằm ở phần mp giới hạn bởi tia AB và tia đối tia AC



$\widehat{MBC}> 45^o> \widehat{BCM}\Rightarrow CM> BM \Rightarrow 2AM^2=BM^2-CM^2<0$

(vô lí)

*Giả sử tồn tại điểm M nằm ở phần mp giới hạn bởi tia AB, AC t/m $MB^2-MC^2=2MA^2$



Vẽ tam giác AMN vuông cân ở A( M, N khác phía đối với AC )

$\Delta BAM=\Delta CAN (cgc) \Rightarrow BM=CN$

Do đó $MN^2=2AM^2=BM^2-CM^2=CM^2-CN^2$

$\Rightarrow \Delta MCN$ vuông ở M

$\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{AMN}+\widehat{NMC}=45^o+90^o=135^o$

vậy quỹ tích của M là cung chứa góc $135^o$ dựng trên đoạn AC nằm ở nửa mp bờ AC chứa B trừ A, C

*Giả sử tồn tại điểm M nằm ở nửa mp bờ AC ko chứa B t/m $MB^2-MC^2=2MA^2$



tương tự như trên quỹ tích của M là cung chứa góc $45^o$ dựng trên đoạn AC nằm ở nửa mp bờ AC ko chứa B trừ A, C

Tóm lại quỹ tích của M là cung chứa góc $135^o$ dựng trên đoạn AC nằm ở nửa mp bờ AC chứa B và cung chứa góc $45^o$ dựng trên đoạn AC nằm ở nửa mp bờ AC ko chứa B trừ A, C

Chia nhiều trường hợp quá, hơn nữa, lại chỉ mới suy ra, thiếu phần đảo.
D-B=19.9h
E=7đ
F=0
S=49.1

Tìm các số nguyên a,b không âm sao cho
$a^{2}-b^{2}-5a+3b+4$
là số nguyên tố.

$a^2-b^2-5a+3b+4 \in \mathbb{P}; a^2-b^2-5a+3b+4\vdots 2 \Rightarrow a^2-b^2-5a+3b+4=2 \Leftrightarrow (a-b-1)(a+b-4)=2$

cho tứ giác ABCD nội tiếp , 2 đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F, 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F. Chứng minh $EF^{2}=EA.ED+FA.FB$

$EF^{2}=EA.EB+FA.FD$ chứ nhỉ