cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1. c/m:
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ab}{\sqrt{b+ac}}\leq \frac{1}{2}$

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a+b}}.\sqrt{\frac{bc}{c+a}} \leq \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})$

tt suy ra $\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \leq \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

$\left\{\begin{matrix} a(a+c)=b^2 & & \\ b(b+a)=c^2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{c^2}{b} & & \\ a(a+b)+ac=c^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{ac^2}{b}+ac=c^2$

$\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a}$

nếu là c/m tg ABC có $\widehat{C}=2\widehat{B}=4\widehat{A}$ thì k phải làm thế này, có cách khác ngắn hơn

Cho $x_1, x_2, ..., x_n \in [-1,1]$ thỏa mãn điều kiện $x_1^3 + x_2^3 + ... + x_n^3 = 0$
Tìm GTLN của biểu thức :
$$x_1 + x_2 + ... + x_n$$

Trần Nam Dũng

k có thêm điều kiện gì của n à?

cho 2000 số $a₁,a₂,...,a₂₀₀₀$ lớn hơn -1 va tổng bằng 2. CM:
1$\sqrt{a_{1}+1}+\sqrt{a_{2}+1}+...+\sqrt{a_{2000}+1}\leq 2001$
đẳng thức xảy ra ko? vì sao?

$\sum_{i=1}^{2000}\sqrt{a_i+1} \leq \sqrt{2000(2000+\sum_{i=1}^{2000}a_i)}=\sqrt{2000.2002}<2001$

TQ:

cho a,b,c,k>0 CMR:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{kb+c}{kc+a}+\dfrac{kc+a}{ka+b}+\dfrac{ka+b}{kb+c}$

cho a,b,c>0 CMR:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c}$

Gs $c=min\left \{ a, b, c \right \}$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} =\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}+3$

CM $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c}$

$\Leftrightarrow CM: \left [ \frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)} \right ](a-b)^2+\left [ \frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c)(a+b)} \right ](a-c)(b-c) \geq 0 (true)$

ơ

sao lại phải khoảng đấy nữa ạ?

bài 1 k hay bằng bài 2

đc cái là lớp này giống lớp mình, suốt ngày chế thơ lung tung

đây là thơ t làm ngày 18/11 (bt đt )này

Nay về thăm lại mái trường

Chẳng thấy hình bóng cô Hường cô Hoa

Đại ơi đại có nhớ ta

Ta ngồi ta nhớ những khi trả bài

Hai, ba, năm, sáu trải dài

Toán hình cô cũng cho vài gậy que

Lại còn ông Q thùng loa

Với cả bác S cao cao lạ thường

Thầy T hiệu trưởng nhà trường

Thứ hai nào cũng đi vào đi ra

Xong nhớ đến lớp 8A

Cô N chủ nhiệm, thầy D dạy hình

Thằng nào mà cứ linh tinh

Thầy cho vài suốt đời không quên

Bài 311: Cho x,y là nghiệm nguyên của phương trình $4x+5y=7$. TÌm GTNN của hàm số
$$f(x;y)=5|x|-3|y|$$

$4x+5y=7 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x=-5k-2 & \\ & y=4k+3 & \end{matrix}\right. (k\in Z)$

$\Rightarrow f(x,y)=5|5k+2|-3|4k+3|$

* $k\geq 0 \Rightarrow f(x,y)=13k+1\geq 1$

*$k\leq -1\Rightarrow f(x,y)=-13k-1\geq 12$

$\Rightarrow f(x, y)_{min}=1 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow x=-2; y=3$

$(b+c-a)^2+2b^2c^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b+c)^2 \leq 2(bc+1)^2 \Rightarrow \frac{a}{1+bc} \leq \frac{\sqrt{2}a}{a+b+c}$

tt $\frac{b}{ca+1}\leq \frac{\sqrt{2}b}{a+b+c}$

$\frac{c}{ab+1}\leq \frac{\sqrt{2}c}{a+b+c}$

$\Rightarrow P \leq \sqrt{2}$

$a+abc\leq a+\frac{a(b+c)^2}{2}=a+\frac{a(1-a^2)}{2} =1 -\frac{(a-1)^2(a+2)}{2} \leq 1 \Rightarrow \frac{a}{bc+1} \geq a^2$

tt $\frac{b}{ca+1} \geq b^2$

$\frac{c}{ab+1} \geq c^2$

$\Rightarrow P \geq 1$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Bài 307: Cho các số thức $x,y,,z$ thỏa mãn $x,y,z\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$$

GS $x \geq y\geq z \Rightarrow P= \sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2(x-y+y-z)}+\sqrt{x-z}=(\sqrt{2}+1)\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2}+1$

Ai giải giúp mình bài BĐT này với...Mình suy nghĩ mãi k ra...Mình cảm ơn trước nhé

$b+c \geq 2\sqrt{bc} \Rightarrow 1 \geq a+2\sqrt{bc}\Rightarrow a \geq a^2+2a\sqrt{bc} \Rightarrow a+bc \geq a^2+2a\sqrt{bc}+bc\Rightarrow \sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{bc}$

$(a^2-1)(b^2-1)=1\Rightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=1\Rightarrow a^2b^2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\geq 2$ Khi đó: $P=|1+ab|+|a+b|\geq |1+2|+\sqrt{(a+b)^2}\geq 3+\sqrt{4ab}\geq 3+2\sqrt{2}$ Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$ Vậy $minP=3+2\sqrt{2}$ khi $a=b=\sqrt{2}$ P/s:

min P=1 chứ

cậu sai ngay ở dòng đầu rồi

xem lại đi

- $\frac{2x}{3x^{2}-x+2}+\frac{-7x}{3x^{2}+7x+2}=1$
- $\frac{x^{2}+2}{x^{2}-2x+2}-\frac{x^{2}+2}{x^{2}+3x+2}=\frac{5}{2}$

* x=0 k la no
* $x\neq 0$
$\frac{2x}{3x^{2}-x+2}+\frac{-7x}{3x^{2}+7x+2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3x+\frac{2}{x}-1}+\frac{-7}{3x+\frac{2}{x}+7}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-\frac{7}{a+7}=1$

...

cau kia tuong tu

bạn làm thế là ngộ nhận E, M, D thẳng hàng rồi còn đâu

theo mình thì câu a dùng pp trùng

b, kẻ NK vuông góc với AM( M thuộc Ax)

$\Delta ANK=\Delta BMA (gcg)\Rightarrow AK=AB$

do đó K cố định, suy ra N thuộc đường tròn đường kính AK

còn lại bạn tự giới hạn nhé

c, dễ thấy AH+HM nhỏ nhất khi M phải thuộc cung nhỏ IB (I là điểm chính giữa cung AB)

do đó $AH+HM=AO+HO+HM \leq R+\sqrt{2(HO^2+HM^2)}=R+\sqrt{2OM^2}=(1+\sqrt{2})R$

dấu "=" xảy ra khi HM=HO $\Leftrightarrow \angle MOB=45^o$

Đây là sơ lược hướng làm của mình cho bài này (tư tưởng đưa về 1 biến)
Không mất tính tổng quát giả sử $0\leq x\leq y\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S\leq \frac{x}{x^2+1}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2+1}$
$2S\leq \frac{2x}{x^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{x^2+1}$
Ta cần chứng minh $\frac{2x}{x^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{x^2+1}=\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+1}\leq \frac{4\sqrt{3}}{3}$
Tới đây dùng biến đổi tương đương $\to $ Q.E.D

đến chỗ cuối biến đổi tương đương có ra đâu?

$x^4+y^4+z^4=1984-104x$

với các số nguyên dương x, y, z:

$1984-104x \vdots 8 \Rightarrow x^4+y^4+z^4 \vdots 8$

$\Rightarrow$ trong 3 số chính phương $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn hoặc 3 số cùng chẵn

mặt khác dễ thấy nếu trong 3 số $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì $x^4+ y^4+ z^4$ chia 8 dư 2 (mâu thuẫn) X

do đó $x^4, y^4, z^4$ đều chẵn $\Rightarrow$ x, y, z chẵn

suy ra

$20^x\equiv (-1)^x (mod3) \Rightarrow 20^x\equiv 1 (mod3)$

$11^y\equiv (-1)^y (mod3) \Rightarrow 11^y\equiv 1 (mod3)$

$1969^z\equiv 1^z (mod3) \Rightarrow -1969^z\equiv -1 (mod3)$

như vậy $A=20^x+11^y+1969^z \equiv 1(mod3) \Rightarrow 4A \equiv 1 (mod3)\Rightarrow 4A+1 \equiv 2(mod3)$ (1)

giả sử A có thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

$\Rightarrow 4A+1 =4a^2+4a+1=(2a+1)^2$ là số chính phương $\Rightarrow 4A+1$ chia 3 dư 0 hoặc 1 (mâu thuẫn với (1))

do đó điều giả sử sai

Vậy A ko thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

Chỗ X lý luận không "đẹp"
D-B=14.2h
E=9
F=0
S=60.8

Cho $x,y>0$. Và x+y=1
Tìm min của $ P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Đề thi thử ĐH Trường Lê Hồng Phong Nam Định

Sr gõ thiếu đề

C1:

$P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq \frac{(x+y)^2)}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{(xy+xy)(x+y)}} \geq \sqrt{2}$

C2:

$P \geq 2\sqrt{2}(\frac{x}{2y+1}+\frac{y}{2x+1})=2\sqrt{2}.\frac{2x^2+2y^2+x+y}{(2x+1)(2y+1)} \geq 2\sqrt{2}.\frac{2}{4xy+3}\geq \sqrt{2}$

C3:

$P \geq (2\sqrt{2}x-2x\sqrt{y})+(2\sqrt{2}y-2y\sqrt{x})=2\sqrt{2}-2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \geq \sqrt{2}$

chi nho tung day thoi

2.

$A= x^2y(4 - x - y)$

$* 6 \geq x+y \geq 4 \Rightarrow A \leq 0 \Rightarrow Max_A = 0 \Leftrightarrow x + y = 4 (1)$

$* 0 \leq x + y <4 $

$A = 4 . \frac{x}{2} . \frac{x}{2} . y ( 4 - x - y) \leq 4. \bigg ( \frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + 4 - x - y}{4} \bigg ) ^4 = 4$

$\Rightarrow A \leq 4 \Leftrightarrow x=2; y=1 (2)$

từ (1) và (2) $\Rightarrow Max_A = 4 \Leftrightarrow x=2;y=1$

$* 0 \leq x + y <4 \Rightarrow A \geq 0 \Rightarrow Min_A = 0 \Leftrightarrow x + y =4 (3)$

$* 6 \geq x+y \geq 4 \Rightarrow A<0$

$ -A = 4 . \frac{x}{2} . \frac{x}{2} . y ( x + y -4) \leq 4. \bigg ( \frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + x + y - 4}{4} \bigg ) ^4 = 64$

$\Rightarrow A \geq -64 \Leftrightarrow x=4; y=2 (4)$

từ (3) và (4) $\Rightarrow Min_A = -64 \Leftrightarrow x=4; y=2$

Theo ông Cauchy thì : $ a^{3}+b^{3}+1\geq 3ab\Rightarrow a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\geq 3(ab)^{4}$ CMTT : $ b^{3}+c^{3}+1\geq 3bc\Rightarrow b^{3}c^{3}(b^{3}+c^{3}+1)\geq 3(bc)^{4}$ $ c^{3}+a^{3}+1\geq 3ca\Rightarrow c^{3}a^{3}(c^{3}+a^{3}+1)\geq 3(ca)^{4}$ Ta sẽ CM : $ \sum a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\leq 9$ Đặt $ a^{3}=x,b^{3}=y,c^{3}=z$ $ \Rightarrow x+y+z=3$ Ta sẽ CM vs $ x+y+z=3$ thì $ \sum xy(x+y+1)\leq 9$ (1) BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ Theo BDT Schur : $ 27= (x+y+z)^{3}= \sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$ $ = (\sum x^{3}+3xyz)+3\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \geq 4\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \Rightarrow \sum xy(x+y)\leq \frac{27-3xyz}{4}$ Thay vào (1) Ta sẽ CM : $\frac{27-3xyz}{4}$ $ +xy+yz+zx\leq 9$ $ \Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)\leq 9+xyz$ ( luôn đúng theo BĐT Schur kết họp vs GT : $ x+y+z=3$ ) Vậy bất đẳng thúc ban đầu đúng . Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

đến chỗ BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ thì dùng luôn $\sum xy(x+y)=pq-3r $ nhanh hơn

Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P.
Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \leq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.

$2=\frac{AI}{AM}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CP} \leq \frac{OA-OI}{AM}+\frac{OB-OI}{BN}+\frac{OC-OI}{CP}=(R-OI)(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP})$

$\Rightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP} \leq \frac{2}{R-OI}$

$\Rightarrow \frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \leq \frac{1}{3}(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP})^2 \leq \frac{4}{3(R-OI)^2}$

dung bunyakovsky c/m bdt tq:

$\sum_{i=1}^{n}\frac{S_2-a_i^2}{S_1-a_i} \leq \frac{nS_2}{S_1}$

trong do

$S_1=\sum_{i=1}^{n}a_i$

$S_2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2$

$a_i>0 (i= \overline{1;n})$

Bạn giải rõ hơn được không? Khó hiểu wa, tại sao

* $a>b>c \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _3 <0$

*$a>c>b \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _2 <0$

$a>b>c \Rightarrow a > \frac{a+b+c}{3}=4 \Rightarrow a^2-4b > 4a-4b>0$

tg tu vs may cai kia

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm thuộc cạnh AC, Kẻ tia Ax vuông góc BM cắt BC tại H, Gọi H là trung điểm của CK, kẻ KI vuông góc với BM cắt AB tại I. Tính $ \widehat{AIM}$.

kẻ $CE\perp BM (E\in AB)$

$\Delta BAM=\Delta CAE(gcg)\Rightarrow AM=AE$

do đó $\frac{QA}{BQ}=\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AB}=\frac{HC}{BH}=\frac{KH}{BH}=\frac{IQ}{BQ} \Rightarrow IQ=QA \Rightarrow \widehat{AIM} =45^o$

P/S : có câu này cho bạn nè , Gọi giao điểm của BD và IK là N . CM: N là trung điểm IK ( tốt nhất tự luyện nhé )

$\frac{IM}{IN}=\frac{IA}{ID}=\frac{IE}{IC}=\frac{\sqrt{2}IM}{\frac{IK}{\sqrt{2}}} =\frac{2IM}{IK} \Rightarrow IK=2IN$