Tính $\int_{0}^{1} \frac{x^2+x-1}{(x+1)^2} e^xdx$

Tính tích phân:

$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}}$

Đặt $t= \sqrt{x} \Rightarrow t^2=x \Rightarrow 2tdt=dx$. Khi đó ta có:

$I= 2\int \frac{2t(1+t^2)}{1+t}dt= \int(t^2-t+2-\frac{2}{t+1})dt$

$= 2(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+2t-\ln(t+1))$

Giải phương trình:
$$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$$

Giải pt:
$\sqrt[3]{x^2-1}+ \sqrt{3x^2-2}=3x-2$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Cho $x, y, z>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P= \frac{x^2y}{z^3}+\frac{y^2z}{x^3}+\frac{z^2x}{y^3}+\frac{4xyz}{x^2y+y^2+z^2x}$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Tính 

$1. \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x^2} \cos^5 x-1}{x^2}$

$2. \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{1+x^2}+2x)^{\frac{7}{5}}-(\sqrt[3]{1+x^2}-x)^{\frac{7}{5}}}{x}$

P/s: dùng đại lượng $VCB$.

 

Có một kho bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 2 loại: loại I  để lẫn mỗi thùng 5 lon quá hạn sử dụng và loại II để lẫn mỗi thùng 3 lon quá hạn. Biết rằng số thùng bia loại I bằng 1,5 lần số thùng bia loại II. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng trong kho và từ thùng  đó lấy ra 10 lon. Tính xác suất chọn phải 2 lon bia quá hạn sử dụng ?

 

Ta có: số thùng bia loại I chiếm 60%, loại II chiếm 40%

Gọi $A_i$ là biến cố:" lấy được thùng bia loại $i$" $(i=1; 2)$

$B$ là biến cố:" lấy được 2 lon bia quá hạn từ 10 lon trong 1 thùng được chọn ra"

$P(A_1)=0,6; P(A_2)=0,4$

$P(B/A_1)=\frac{C^2_5.C^8_{19}}{C^{10}_{24}}, P(B/A_2)=\frac{C^2_3. C^8_{21}}{C^{10}_{24}}$

Áp dụng ct xs đầy đủ ta có:

$P(B)=P(A_1).P(B/A_1)+ P(A_2).P(B/A_2)= \frac{90}{253}$

Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=(xy+yz+2xz)^2-\frac{8}{(x+y+z)^2-xy-yz+2}$

 

1. $\left\{\begin{matrix}

x^5+xy^4=y^10+y^6 \\ 

\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6x

\end{matrix}\right.$

 

Gợi ý thôi nhé.

$$\begin{cases} x^5+xy^4=y^{10}+y^6(1)  \\  \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6x (2)\end{cases}$$

Xét $y=0$ thì $2\sqrt{2}+\sqrt{4x+5}=6x$...

Xét $y\neq 0$ chia cả 2 vế của phương trình (1) cho $y^5$ ta được:

$(\frac{x}{y})^5 +\frac{x}{y}=y^5 +y$

Xét hàm số $f(t)=t^5 +t$

$f'(t)= 5t^4 +1 >0$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=y$

$\Leftrightarrow x=y^2$thay vào (2) giải tiếp nhé!

Tìm nguyên hàm:

$\int \frac{1- sinx}{(1+ cosx)e^x}dx$

Tính $I=\int \frac{\cos(x+\frac{3\pi}{8})}{\sqrt{2}+\sin 2x+\cos 2x}dx$

Ta có $I=\int \frac{\cos(x+\frac{3\pi}{8})}{\sqrt{2}+\sin 2x+\cos 2x}dx$

$= \frac{1}{\sqrt 2}\int \frac{\cos(x+ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8})}{1+ \sin(2x+\frac{\pi}{4})}$

đặt $t= x+ \frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{8}  \Rightarrow 2x= 2t-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{ cost dt}{1+ \sin(2t-\frac{\pi}{2})}$

$= \frac{1}{2\sqrt 2} \int \frac{ cost}{\sin^2t}dt$

$=\frac{1}{2\sqrt 2} \int \frac{ d(sint)}{\sin^2t}dt$

$=\frac{-1}{2\sqrt 2 sint} +C$

Bài 1: Với $A,B$ là tập con của $X$

CMR: $A\subset B\Leftrightarrow B\setminus (B\setminus A)=A$

a,Kẻ $SE \perp BC$.

Ta có $SE \perp BC, SA \perp BC \Rightarrow BC \perp (SAE)$

$\Rightarrow AE \perp BC \Rightarrow \angle SEA= \angle ((SBC);(ABC))$

$\Rightarrow AE=\frac{a}{\sqrt 3}$

$ \Delta ABC $ vuông $\Rightarrow \frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AC=\frac{a}{\sqrt 2}$

$ V_{S.ABC}=\frac{1}{3}a. \frac{a^2}{2\sqrt 2}=\frac{a^3}{6\sqrt 2} (đvtt)$

Kẻ $AH \perp SE$ ta có $AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow AH=\frac{a}{2}$

b, Theo định lí Talet ta có:

$\frac{SK}{SC}=\frac{d(K;SBC)}{d(C; (SBC)}=\frac{V_{S.ABK}}{V_{S.ABC}}$

$S_{SAB}=\frac{a^2}{2} \Rightarrow d(C;(SBC)) =\frac{a^3}{2\sqrt 2}. \frac{2}{a^2}=\frac{a}{\sqrt 2}$

Ta có $SC=\frac{\sqrt 6 a}{2}$

$SK=\frac{a}{\sqrt 3}$

$\Rightarrow V_{S.ABK}=\frac{a^3}{18} (đvtt)$

$I=\int_{e^3}^{e^8}\frac{ln(x)-1}{x^2-ln^{2}(x)}dx$

$I=\int \frac{\ln x-1}{x^2\left ( 1-\frac{\ln^2x}{x^2} \right )}dx$

$=\int \frac{1}{\frac{\ln^2x}{x^2}-1}d\left ( \frac{\ln x}{x} \right )$

Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} (xy)^2-2x+y^{2}=6\\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 \end{matrix}\right.$

Cho $y=x^3-4x+1(C )$.Chứng minh (C) cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt có tọa độ $x_1,x_2,x_3$.Tính :

$A=\frac{1}{3-x_1}+\frac{1}{3-x_2}+\frac{1}{3-x_3}$

Let $A$ and $B$ be matrices $3\times 3$ with integer entries such that $A,\: A+B,\: A+2B,\: A+3B,\: A+4B,\: A+5B$ and $A+6B $ are all invertible matrices with their inverse have integer entries. Show that $A+2012B$ is invertible and its inverse has integer intries.

Submit your solution!

Tính $I= \int \frac{3-4\ln^2x}{4x^2 \sqrt{1+\ln x}}dx$