Cho tam giác $ABC$, biết $AB = AC = 10$, $BC = 13$. Tính $tanB$?

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $AB$, $AC$ sao cho $AM = CN$. Xác định vị trí của $M$, $N$ để S_AMN lớn nhất.

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

Đặt $1 + a = x$ ; $1 + b = y$ ; $1 + c = z$
Do $a, b, c$ là các số thực dương nên $x, y, z$ dương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$x + y + z - 3 \geq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$
$<=> x + y + z \geq \frac{x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz}{xyz}$
$<=> xyz(x + y + z) \geq x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz$
$<=> xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y \geq 3xyz$ (1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng:
$xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y$
$<=> x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1) \geq 3xyz\sqrt[3]{(x-1)(y-1)(z-1)} = 3xyz\sqrt[3]{abc} = 3xyz$
$=> Đ.P.C.M$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y ,z)$ sao cho: $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y, z)$ sao cho $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Cho dãy số: $6; 42; 285; 1044; 3150; 7806; 16842; 32808; 59094; 100050; 161106; 248892;.....$ Tìm số hạng thứ $23$ của dãy.

Viết phân số $\frac{77}{23}$ thành số thập phân, tìm chữ số thứ $2013$ sau dấu phẩy của nó.

Cho $\Delta ABC$, $AB=AC=a$, $BC = b$, $\widehat{A} = 36^{o}$. Tính $\frac{a}{b}$

Mình chém liền
Bài làm:
Lấy Trung điểm của BC và AD là O và O' ( Theo gợi ý Black Selena)
Dễ thấy $\angle OIB +\angle O'IA =\angle OBI +\angle O'AI$
$\rightarrow OIB +\angle O'IA +\angle AIB =\angle ABI +\angle BAI +\angle AIB =180^0$
$\rightarrow O,O',I :\text{thẳng hàng}$
$\rightarrow I :\text{là trung điểm PQ}$
Sau đó ta sẽ cm 3 đường thẳng đồng quy
Nếu giao điểm của MP và $AB =E \rightarrow \frac{EP}{EM}=\frac{AP}{DM}$
giao điểm của MP và CB là$ E' \rightarrow \frac{E'P}{E'M}=\frac{PB}{MC}$
Ta sẽ chứng minh 2 tý số này bằng nhau
Đại số hoá 1 tí
Gọi AP ,PB ,DQ.QM IQ lần lượt là x,y,a,b,c
$DPCM \leftrightarrow \frac{x}{a+b} =\frac{y}{a}$
Ta có :
Dễ dàng cm $\angle DIA =\angle CIB =90^o$
$\rightarrow \Delta AIP$ ~ $\Delta IDP$ và $\Delta PIB$ ~ $\Delta QCI$
$\rightarrow \frac{x}{c} =\frac{c}{a}$ Và$ \frac{c}{a+b} =\frac{y}{c}$
$\rightarrow c^2 =ax =y(a+b)$
$\rightarrow \frac{x}{a+b} =\frac{y}{a} :\text{( Điều phải cm)}$
$\rightarrow Q.E.D$

Cho mình hỏi tí, lâu nay trên diễn đàn mình thấy $=> Q.E.D$. Nghĩa là sao vậy nhỉ?

Các đường phân giác nào bạn ,có phải tam giác đâu mà bạn viết thế :|

Các phân giác trong bạn ak

Cho hình thang $ABCD (AB //CD, AB < CD)$. Các đường phân giác đồng quy tại $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AB$ tại $P$; $CD$ tại $Q$. Trên $DC$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = DQ$. CMR $DA, MP, CB$ đồng quy.

Cho $x, y, z$ $\neq$ 0 ; $x - y + z = -1$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0$. Tính $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Từ dữ kiện 1 ta khai triển dc 3 cái nữa:
$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{z} \rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}$
$\sqrt{x}-\sqrt{z} =-\sqrt{y} \rightarrow x+z-y =2\sqrt{xz}$
$\sqrt{y} -\sqrt{z} =-\sqrt{x} \rightarrow y+z-x =2\sqrt{yz}$
Thay vào ta có Q.E.D

Bạn có thể nói rõ cái này hơn không?

Bạn xem lại đề cho x=y=z=1/2 không thỏa

Mình nhầm, thanks bạn nha. Mình đã sửa lại đề rồi, bạn vào xem thử

Cho các số $x, y, z$ dương thỏa mãn $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{z}$. CMR: $\frac{1}{x+y-z} + \frac{1}{x-y+z} + \frac{1}{-x+y+z} = 0$

Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ max{AB, BC, CA}

kẻ AH, BK VUÔNG GÓC với BD
pthagore tam giác ABH=>$AH^2+BH^2=AB^2$
pythgore tam giác CDK:$CD^2=DK^2+CK^2$
=> vt=$AH^2+BH^2+DK^2+CK^2$=$AH^2+DH^2+CK^2+BK^2$
<=>$DK^2+BH^2$=$DH^2+BK^2$
<=>$DH^2+BK^2+2DH*HK+2BK*HK+2HK^2$=$DH^2+BK^2$
<=>$2HK*BD=0$
DĨ NHIÊN BD không thể =O
vậy HK= O
vậy ABCD hình thoi =>s=$\frac{AC.BD}{2}$$\leq$$\frac{AC^2+BD^2}{4}$
có lẻ bạn sai dấu = thành $\leq$
và dấu "=" xảy ra <=>AC=BD khi ABCD hình vuông
(bài mình chỉ vẽ thêm 2 đường cao )

Không đâu bạn ak, Với một tứ giác bất kì mình vẫn chứng minh được đó là dấu $\leq$

Cho tứ giác $ABCD$; $M, N, P, Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABD, ABC, BCD, ACD$. CMR $AP, BQ, CM, DN$ đồng quy

Cho $\Delta ABC$ đều, $M$ di động trên $BC$. $P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB, AC$. CMR: đường thằng qua $M$ và trung điểm của $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên $BC$

Chứng minh tứ giác $ABCD$ có $AB² + CD² = AD² + BC²<=> S_ABCD = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$

Cho đường thằng $d // BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. $F$ là điểm bất kì trên $BC$. Tìm vị trí của $D$ và $E$ trên $AB, AC$ để $S_DEF$ lớn nhất

$M$ là một điểm nằm trong $\Delta ABC, AB = c, AC = b, BC = a$. $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao tương ứng $BC, CA, AB$.
CMR: $\frac{MA_{1}}{h_{a}} + \frac{MB_{1}}{h_{b}} + \frac{MC_{1}}{h_{c}}$
Tìm vị trí của M sao cho $\frac{a}{MA_{1}} + \frac{b}{MB_{1}} + \frac{c}{MC_{1}}$ nhỏ nhất

Tìm Min của $C = x² + 2y² + 3z² - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000$

Tìm GTNN: $A = x² + 2y² - 2xy + 2x - 10y$

Cho $x + y + z = 5$ và $x² + y² + z² = 9$. CMR x, y, z $\leq$ $\frac{7}{3}$