CMR với mọi số dương a, b, c, d ta có bất đẳng thức
$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leqslant \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$$

mình xin góp cách khác cho câu 1.1
Ta có: $n^{5}+5n^{3}-6n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10(n-1)n(n+1)$
Từ đây có thể dễ dàng suy ra đpcm.

($\Delta$) di động qua ???

mình xin đóng góp cách giải khác như sau:
$y= \frac{x^{2}}{x^{2}-5x+7}\Leftrightarrow y(x^{2}-5x+7)=x^{2} \Leftrightarrow x^{2}y-5xy+7y=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}(y-1)-5xy+7y=0$
Ta coi đây là phương trình bậc hai với ẩn x. Để có x thì $\Delta$phải$\geq$0. Từ đó ta tìm được max, min của y. Thay vào phương trình ta sẽ tìm ra x.

Bạn có chép sai đề ko vậy??? Sao ở tử lại +2x rồi lại -x là sao vậy????? có phải là x^2 ko bạn???

em nghĩ chỉ cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S_{ABC}=\frac{1}{2}(BC)(AH)$ là bài của The Gunner ok rồi

Ta biến đổi vế trái
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}$
$=\frac{c^2}{ac^2+bc^2}+\frac{a^2}{ba^2+ca^2}+\frac{b^2}{cb^2+ab^2}+\frac{\sqrt[3]{(abc)^2}}{2{abc}}$
Tới đây ta áp dụng bđt schwarz sẽ có đpcm. (Làm hơi tắt, mn thông cảm).

Câu a:
- Với $n\leq 3$ ta có đpcm (do từ 1 đỉnh có nhiều nhất 2 đoạn thẳng).
- Với $n\geq 4$ thì ta chọn 4 điểm A, B, C, D bất kì.
+ Giả sử cả 3 đoạn AB, AC, AD đều có cùng một màu (giả sử là màu xanh) thì theo đề bài, BC phải có màu khác màu xanh (giả sử là màu đỏ).
+ Theo yêu cầu khác, từ 1 điểm ko có các đoạn thẳng có đủ 3 màu nên BD phải có màu khác màu vàng.
+ Nếu BD có màu xanh thì $\Delta ABC$ có cả 3 cạnh cùng màu xanh (loại) nên BD có màu đỏ.
Khi đó, theo yêu cầu của đề bài là ko có tam giác nào có 3 cạnh cùng màu, thì CD phải là màu vàng.
Như vậy, từ điểm D có các đoạn thẳng có cả 3 màu (trái yêu cầu đề bài)
$\Rightarrow$ Vô lý $\Rightarrow$ Đpcm

Câu b:
Từ 1 điểm bất kì trong n điểm, các đoạn thẳng xuất phát từ nó có thể có nhiều nhất 2 màu (yêu cầu đề bài) và mỗi màu có nhiều nhất 2 đoạn thẳng (chứng minh câu a). Vì vậy từ 1 điểm bất kỳ có nhiều nhất 4 đoạn thẳng xuất phát từ nó. Như vậy số điểm nhiều nhất sẽ là $4+1=5$ (điểm).
Vậy $n_{max}=5$

Sao đề bài ko thấy điểm D vậy ta???

Ta có thể dễ dàng nhận thấy số cần tìm $\vdots 3$.
Mà số đó lại là số chính phương nên số đó phải $\vdots 9$.
Vì vậy, 3 chữ số còn lại có thể là 2, 5, 8.
Ta thay vào thử bằng máy tính sẽ có kết quả.
(Chỉ có số 5 có thể là tận cùng của một số chính phương, thử vào sẽ nhanh hơn).

Hình như đề bài sai thì phải.
6 miếng bìa hình vuông có tổng diện tích là 2 thì làm sao ghép thành hình vuông có diện tích là 4 được????

4, $x^{4}+5x^{3}-9x^{2}+5x+1=0$

Cách giải:
Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế cho $x^{2}$.
Phương trình tương đương với
$x^{2}+5x-9+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{x^2})+5(x+\frac{1}{x})-9=0$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2=a^2\Leftrightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}=a^2\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$
Phương trình đầu tương đương với$a^2-2+5a-9=0\Leftrightarrow a^2+5a-11=0$
Từ đây có thể giải ra a, rồi sau đó thay vào tìm ra x (làm tắt, mn thông cảm)

Tìm min của biểu thức Q= $x + \frac{1}{xy(x-y)}$ biết x > y > 0

$Q=x+\frac{1}{xy(x-y)}\Leftrightarrow Q=\frac{2}{3}(x-y)+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{1}{xy(x-y)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số ko âm suy ra $Q\geq 4\sqrt[4]{\frac{4}{27}}$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2}{3}(x-y)=\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}y=\frac{1}{xy(x-y)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\sqrt[4]{\frac{3}{4}} & \\ &y= \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \end{matrix}\right.$

Cho mình hỏi làm sao bạn biết tách như vậy thế

Mình muốn khử mẫun nên phải tìm cách làm xuất hiện ở tử số các phần tử như ở mẫu. Sau khi làm xuất hiện, mình thử xem dấu bằng có xảy ra ko.

Tô màu các hình quạt bằng màu đen và trắng sao cho 2 hình quạt cạnh nhau thì có màu khác nhau.
Lúc đầu, tổng số bi trong các hình quạt màu đen bằng tổng số bi trong các hình quạt màu trắng = 1007.
Sau mỗi lần thực hiện các bước đi trên, tổng số bi trong các hình quạt màu đen (trắng) có thể giảm đi 2, giữ nguyên hoặc tăng thêm 2.
Chính vì vậy tổng số bi trong các hình quạt màu đen (trắng) luôn là một số lẻ.
Mà tổng số bi là số chẵn (2014). Do đó, không thể dồn tất cả các viên bi vào 1 hình quạt

Bài 1:
Ta có công thức tính số ước dương của một số tự nhiên: $A=a_1^aa_2^b..a_n^z$ có $(a+1)(b+1)(c+1)...(z+1)$ ước dương.
Theo đề bài ta có: $a=5*7^2*a^x*...*d^z$.
Mà số ước dương của a là 100 nên $100=(1+1)(2+1)(x+1)...(z+1)$$\Leftrightarrow 100=6(x+1)...(z+1)$$\Leftrightarrow 100\vdots 6$ Suy ra vô lý.
Vậy ko tồn tại số a thỏa mãn đề bài

đk $-1\leq x, y\leq 6$
Ta thấy nếu $x_0, y_0$ là nghiệm của hệ pt thì $y_0, x_0$ cũng là nghiệm của hệ pt.
Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì $y_0=x_0$.
Suy ra $\sqrt{1+x}+\sqrt{6-x}=m$
Tới đây bài toán trở thành giải và biện luận phương trình.

Mình đã thử giải như vậy rồi nhưng không đc

Bạn thử giải bài lên đây để mọi người giải quyết vướng mắc cho

ĐK:mọi x
Ta có: PT$\Leftrightarrow m^{2}(x^{2}-2x+2)=x^{2}+4x+4 \Leftrightarrow (m^{2}-1)x^{2}-(2m^{2}+4)x+(2m^{2}-4)=0$
$\Delta =(2m^{2}+4)^{2}-4(m^{2}-1)(2m^{2}-4)=-4m^{4}+36m^{2}$
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $-4m^{4}+36m^{2}>0\Leftrightarrow m^{4}-9m^{2}<0\Leftrightarrow m^{2}(m^{2}-9)<0\Leftrightarrow m^{2}<9\Leftrightarrow -3<m<3$ và m khác 0

P/s:ko biết đúng ko nữa,phân vân chỗ m>0 thì x>2;m<0 thì x<2

Hình như bạn tính sai delta thì phải.

Bài này rất đơn giản.Cậu dùng miền giá trị là xong.Nếu cậu ko biết miền giá trị thì làm như sau (cái này dùng làm nháp thôi nhá)
Từ cái phân số dùng quy tắc chuyển vế ta đc:
$(A-1)x^2+(2-3A)x+(3A-2)=0$
Sau đó cậu tìm $\Delta =b^2-4ac$ (1)
Trong bài này thì$a=A-1;b=2-3A;c=3A-2$
Đặt (1) =0
Giải pt bình thường tìm đc 2 giá trị
Giá trị nhỏ hơn là $min$ , cái còn lại là $max$
Bây giờ thì đến phần tách
Biết trước đc $minA$ (tớ cho nó là n)
Cậu sẽ làm sao cho ở tử số xuất hiện 1 hạng tử gấp n lần
Khi đó $A=n+....$
Khi đó cậu chứng minh đc phần $.....\geq 0$
Max thì tương tự.
Tớ hướng dẫn vậy thôi.Cậu tự làm nhé.

Hình như bài này xét $\Delta \geq 0$ là ra giá trị max, min của A luôn chứ nhỉ??

bài này sd hằng đẳng thức $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
suy ra đpcm

p/s: ko hiểu bài này có hỏi xoáy j ko ta?

$x> 2y$ hay $x\geq 2y$ vậy??

Bài này có còn điều kiện j của n nữa ko??
Theo mình bài này ko đúng với n lẻ (VD n=5)

Chắc là $\geqslant$ đấy.
Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 TP HN mà.
$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}+\frac{3x}{4y}\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3.2y}{4y}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
Dấy "=" xảy ra khi x=2y

Mình thấy giống đề thi tp Hà Nội mà lại là dấu $>$ nên mới thấy lạ!!