tìm a,b nguyên dương  theo n và n dương nguyên sao cho

pt: x^{3 _} bx² + 4ax - na = 0 thach do tat ca cac giao su

Lại là cái Erdős–Straus conjecture

Đọc post  http://diendantoanho...1afrac1bfrac1c/

giai pt sau:

tim a,c,b nguyen de pt: x³+bx²+4ax-ca=0 co 3 nghiem nguyen

thach do tat ca moi nguoi o moi lua tuoi, moi nghe nghiep(ke ca nghe nghien cuu toan hoc)

ai giai dc la thien tai bac nhat the gioi day   

Thôi đi Thým, mấy cái trò dọa trẻ con, mình rất ghét post bài kiểu này.
@chetdi, nhưng vì bạn đã hỏi nên mình vẫn trả lời:
Giả sử pt có $3$ nghiệm nguyên $x_1, x_2, x_3$, theo Vi-ét:

$\left\{\begin{matrix} x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=4a\\ x_1x_2x_3=ac \end{matrix}\right.$

• Case 1: $ac = 0\implies easy$ (đoạn này thì tự làm, xét Delta...)
• Case 2: $ac \not =0 \implies \sum \frac 1{x_1} = \frac 4c$ (phương trình diophantine $\in$ Unsolved problem)

Lemma:  Có $1/{x_1}+1/{x_2}+1/x_3=4/c$ luôn có nghiệm với $c\not \equiv i^2 \pmod {840}$

(với $i = 1,11,13,17,19,23$)

Chứng minh: lề giấy ở đây hơi hẹp, không đủ chỗ (lo1), feel like Fermat; 

Xem qua thì bài này cũng không khó lắm, kết hợp những cái mình viết ở trên + điều kiện pt bậc 3 có 3 nghiệm $\implies \cdots$

Chém tí, bài toán không hề đơn giản chút nào đâu.

Spam tại (post giống nhau)

http://diendantoanho...c/95730-số-học/

http://diendantoanho...c/95729-số-học/

http://diendantoanho...c/95727-số-học/

http://diendantoanho...c/95726-số-học/

Cho đề bài: Hỏi: $2009^{2008}+2011^{2010}$ có chia hết cho $2010$ không?

 

Bài giải 1:

 

Ta có:

 

$2009^{2008}+2011^{2010}=(2009^{2008}+1) + (2011^{2010}-1)$

$=(2009+1)A+(2011-1)B \vdots 2010$

 

Bài giải 2:

 

Ta có:

 

$\bigoplus 2009 \equiv -1 (mod 2010)$

 

$\Longrightarrow 2009^{2008} \equiv 1 (mod 2010)$

 

$\bigoplus 2011 \equiv 1 (mod 2010)$

 

$\Longrightarrow 2011^{2010} \equiv 1 (mod 2010)$

 

$\Longrightarrow 2009^{2008}+2011^{2010} \equiv 2 (mod 2010)$

 

Vậy $2009^{2008}+2011^{2010}$ không chia hết cho $2010$

 

Bạn thấy lời giải nào đúng, lời giải nào sai? Hãy chỉ ra chỗ sai.

Rõ ràng lời giải 1 sai ở chỗ 

...(2009+1)A+(2011-1)B $\vdots$ 2010
 

Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$)

Để ý thấy 2 dãy đơn điệu cùng chiều ở vế trái

$$\begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1z && \frac 1y && \frac 1x \end{bmatrix} \overset{Rearrangement}{\ge} \begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1y && \frac 1x && \frac 1z \end{bmatrix}=x^2+y^2+z^2$$

Gợi ý cho chú là dấu = xảy ra khi có 2 em bằng nhau

Short hint/cách của mình:

$P = b(a+c)+ca=b(4-b)+\frac 2b = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right )$

Bất đẳng thức được đưa về 1 ẩn

Hãy chứng minh $5 \ge P = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right ) \ge \frac 12$ (hi vọng mình tính đúng các giá trị, cái này tính được từ hàm số)

Gửi câu a trước nhé

Nhưng trường hợp $D$ ngoài $(O)$ thì nhìn nó lại khác, liệu có phải xét thêm TH nữa không ?

Spoiler

Ai làm câu tìm min rồi

Bạn xem post 13: 

http://diendantoanho...ng/#entry412747

Ề, hình như bài hình b sai đề thật! 

Ai vào chém thử đi! 

Làm đc mỗi a! 

Đề thi thử lần này nhiều chỗ sai quá, kể cả phần $a$ hình, nếu không có điều kiện gì thêm thì có thể có trường hợp $CD \equiv EF$

@mathbg Bạn thử giải với điều kiện đó xem nào
PS: Mình không HIỂU SAI đầu bài mà nghĩ đầu bài sai thôi

Sao không ai làm phần min nhỉ ? Mình nghĩ đầu bài phải là $a,b,c \in [-3;\infty)$ (để thỏa ĐKXĐ) chứ không cần $a,b,c \in \mathbb R^+$
Đặt $\sqrt{a+3}=x, \sqrt{b+3}=y, \sqrt{c+3}=z$ (với $x,y,z \ge 0$)

$\implies x^2+y^2+z^2=12 \\ \implies A^2 = (x+y+z)^2 = 12 + 2(xy+yz+xz) \ge 12$

(dấu "=" xảy ra tại $x=y = 0$ hoặc hoán vị)
Vậy $minA = 2\sqrt 3$ tại $(a;b;c) = (-3;-3;9)$ và hoán vị

Dễ thấy $x$ lẻ, đặt $x=2k+1$

$\implies pt \iff (2k+1)^2=2y^2+5 \\ \iff 2k(k+1)=y^2+2 \\ \implies 2\mid y \implies VT \equiv 0 \not\equiv VP \pmod 4$
$\implies$ vô nghiệm

Làm "mịn" hơn: Chứng minh $x^2+4y^2 < 0.9206138744896678$  với $x^3+y^3=x-y$ và $x, y >0$ (mình cũng chưa chứng minh được, cái này dựa trên plot )

@MrMathCSKH0110 sao lại $x^2 + 4y^2 \ge 1$ mà suy ra được $x^2 + y^2 > 1$

Tìm chữ số tạn cùng của số $(\sqrt3-\sqrt2)^{2004}+(\sqrt3+\sqrt2)^{2004}$

$(\sqrt3-\sqrt2)^{2004}+(\sqrt3+\sqrt2)^{2004} = (5-2 \sqrt 6)^{1002}+ (5+2 \sqrt 6)^{1002}$

Đặt $s_n = (5-2 \sqrt 6)^n + (5+2 \sqrt 6)^n$

$\implies s_{n+2} = 10s_{n+1} - s_n \\ \implies 10 \mid 10s_{n+1} = s_{n+2} - s_n \\ \iff s_{n+2} \equiv s_n \pmod {10} \\ \implies s_{1002} \equiv s_{1000} \cdots \equiv s_0 = 2 \pmod {10}$

Vậy chữ số tận cùng là $2$

Cho các số thực a,b,c. CMR:

$\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\geq ab+bc+ac$

Ta có bất đẳng thức:
$a^4 + b^4 \overset{Bunhia} {\ge} \frac {(a^2+b^2)^2} 2$

$\implies \sum \frac{a^4+b^4}{a^2+b^2} \ge \sum \frac {a^2+b^2} 2 \ge \sum \mid ab \mid \ge \sum ab$

Dấu bẳng xảy ra $\iff |a|=|b|=|c|$

Anh giải giùm em bài 2.Bài một để em xem lãi đề

Bài 2:
$\sum \frac{(b-c)(1+a^2)}{x+a^2}=\sum \frac{(b-c)\left((x+a^2)+(1-x)\right)}{x+a^2}= \sum (b-c)+\frac{{(b-c)}(1-x)}{x+a^2} \\ =\frac{(b-c)(1-x)}{x+a^2}+\frac{(c-a)(1-x)}{x+b^2}+\frac{(a-b)(1-x)}{x+c^2}$

TH1: $1-x=0 \implies x=1$

TH2: $\frac{b-c}{x+a^2}+\frac{c-a}{x+b^2}+\frac{a-b}{x+c^2}=0 \implies x = ab + bc +ca$
Khử mẫu phương trình đầu, nhận thấy pt ẩn $x$ là bậc $2 \implies$ có $\le 2$ nghiệm

Vậy ${x = 1}$ hoặc ${x= ab +bc +ca}$
------------------

Câu hỏi được đặt ra: vì sao lại tính được $x = ab + bc +ca$ ?

Giải phương trình:

a) $\dfrac{1}{a+b-x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{x}$

b)$\sum \dfrac{(b-c)(1+a)^2}{x+a^2}=0$

---

x là ẩn

Đầu bài của em sai thì phải:

- bài toán này đã có hướng giải rùi. mọi đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ABC được chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm là tập hợp các tiếp tuyén của một đường tròn đặc biệt

Anh có thể trình bày cách giải được không ạ ?
Sau khi bạn Forgive Yourself like bài mình, đọc lại bài mới thấy một số chỗ chưa ổn lắm/hơi khó hiểu, mình xin trình bày lại lời giải:

Hình vẽ: 

Spoiler

Phân tích: Ta có diện tích tam giác được tính theo công thức $S= \frac 12 h_bb = \frac 1 2 .a.b.\sin\gamma$
Do đó: $S_{ABC} = \frac 12 AB \cdot BC \cdot \sin B$

Giả sử dựng được đường thẳng thỏa mãn đề bài, gọi đường thẳng này cắt $AB, BC$ lần lượt tại $I,G$

Khi ấy: $\frac 12 IG\cdot IB \sin B=S_{IGB}=\frac 12 S_{ABC} \implies 2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$

Bây giờ ta cần tìm điểm $G$ sao cho $2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$, điều này làm ta nghĩ đến các cặp tam giác đồng dạng và một trung điểm nào đó của $BC$ hay $AB$

Dựng hình: Giả sử $M$ nằm ở nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$

Về cách dựng 2 góc bằng nhau xin không nhắc lại vì đây là kiến thức khá cơ bản đã có trong SGK

Cách dựng trung trực/trung điểm cũng xin vắn tắt:

Cũng xin lược bỏ phần "dưng ... nửa mặt phẳng..." để tránh gây rối, dễ hiểu hơn (nhìn hình vẽ các bạn sẽ dễ nhận thấy là dựng về phía nào ấy mà)

• Gọi $D$ là trung điểm $BC$
• Dựng $\widehat{DBx} = \widehat{MBA} (1), \widehat{BDx'} = \widehat{BMA}$, gọi $E \in x \cap x'$
• Lấy $F$ bất kì trên tia đối của tia $BE$
• Dựng $\widehat{EMy}=\widehat{BFA}, \widehat{MEy'}=\widehat{FAB}$, gọi $G' \in y \cap y'$
• Dựng đường tròn ngoại tiếp $\triangle MG'E$: khá cơ bản, dựng đường tròn qua $A$ có tâm $O$ là giao $2$ đường trung trực $AB, AC$
• Gọi $G \in (O)\cap BC$
• $MG$ là đường thẳng cần dựng.

Chứng minh: ta đi chứng minh $BI \cdot BG = \frac 12 AB \cdot BC$

Thật vậy:

$\angle MG'E = \angle MGE$ (do cùng chắn cung $ME$)

mà $\angle FBA = \angle MG'E$ (cách dựng) $\implies \angle MGE = \angle FBA$

$\iff IBEG$ nội tiếp $\implies \angle BEG = \angle MIB (2)$ (tính chất)

Xét $\triangle BIM \land \triangle BEG$ có $(1),(2) \implies \triangle BIM \sim \triangle BEG\ (g.g)$

$\implies \frac {BM}{BG} = \frac {BI}{BE} \iff BI \cdot BG = BM \cdot BE\ (1')$

Tương tự $\triangle BMA \sim \triangle BDE\ (g.g) \implies BM \cdot BE = BD \cdot BA\ (2')$ 

Kết hợp $(1'),(2') \implies BI \cdot BG = BD \cdot BA = \frac 12 AB \cdot BC \iff S_{IBG} = \frac 12 S_{ABC}$

(điều phải chứng minh)
---------------
To mods: làm ơn xóa hết bài viết của mình ở trên bài này được không ?

Download file hình (file *.zir mở bằng C.A.R): http://d-h.st/lYE

DK: $x \in [0;3]$

Dễ thấy $f(x)=x$ đồng biến, $f(x)=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}$ nghịch biến (trên tập xác định)

$\implies$ Phương trình có nghiệm duy nhất $x= \frac {671}{240}$

ai làm câu 4 đi.

Theo mình nghĩ thì bài này ta cần chứng minh $A, P, N$ thẳng hàng, từ đó suy ra $2$ góc bằng nhau, Hình vẽ:

Spoiler

Cho $a,b,c,>0$ chứng minh:$\sum \dfrac{a^4}{a^3+b^3} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$

Có thể chứng minh hộ mình không ? 

Bài này, em đưa về tổng bình phương (phiền mọi người xem lại vì khai triển nó rất dài, em chỉ post lời giải ngắn gọn)

Xét: $$\sum \frac {a^4}{a^3+b^3} - \sum \frac a2 = \frac {(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(ab+bc+ca)^2}{MS} + \sum \frac {c^2(b-c)^2+...}{MS} \ge 0$$

Dấu "=" xảy ra $\iff a=b=c=1$

---------------------

(Có sự giúp đỡ từ công nghệ)

Một lời giải khác (bài toán tương tự):   ine.doc   96.5K   82 Số lần tải

Bài 1. Cho 3 đường tròn ngoài nhau có tâm là 3 điểm thẳng hàng. Đường tròn thứ 4 tiếp xúc với 3 đường tròn đã cho. Chứng minh bán kính đường tròn thứ 4 lớn hơn ít nhất 1 trong 3 đường tròn

Bài 2. Cho  $\triangle ABC$ ngoại tiếp $(O;r)$. $D \in BC \cap (O)$. Đường kính $DE, M \in AE \cap BC$. Chứng minh $BD=CM$

Spoiler

Bài 3. Cho  $\triangle ABC$ nội tiếp $(O;R)$ và ngoại tiếp $(I;r)$. $H \in BA \cap (I),D \in AI \cap (O)$. Đường kính $DK$ của $(O)$. Chứng minh:

 a) $DI=DB=DC$

 b) $\overline{IA} \cdot \overline{ID}=R^2 - \overline{OI}^2$

 c) $\overline{OI^2}=R^2-2Rr$

Spoiler

Bài 4. Cho $(O)$ có dây $BC$ cố định, điểm $A$ chuyển động trên đường tròn. $M$ là trung điểm $AC,\ MH \perp AB$. Tìm tập hợp điểm $H$

Hint (vẽ thêm hình): 

Spoiler

Q14:
$\left\{\begin{matrix} x^3+y=x^2+1\\ 2y^3+z=2y^2+1\\ 3z^3+x=3z^2+1 \end{matrix}\right.
\iff
\left\{\begin{matrix} x^3-x^2=1-y\\
2y^3-2y^2=1-z\\
3z^3-3z^2=1-x \end{matrix}\right.$

Case 1: $x=1 \implies y=z=1$

Case 2: $x>1 \implies 1-y=x^3-x^2>0 \iff 1>y  \\ \implies 2(y^3-y^2)=1-z<0 \iff z>1 \implies 1-x>0 \iff x<1 \implies \text{contradiction}$

Case 3: $x<1$, similar to Case 1, we get the contradiction

So, $x=y=z=1$

Q12:From the condition, we have:

$\left\{\begin{matrix}
|f(1)|=|a+b+c|<1\\
|f(-1)|=|a-b+c|<1\\
|f(0)|=|c|<1
\end{matrix}\right.$

$\implies 2>|f(1)|+|f(-1)|\ge 2|a+c| \iff |a+c|<1\ (1)$

Case 1: $0>c>-1 \implies a<2 \implies (a-2)(c+1)<0\ (1')$

Case 2: $1>c\ge 0 \implies a<1 \implies (a-2)(c+1)<0\ (1'')$

We also have: $f(x)=2x^2-1 \iff (a-2)x^2+bx + (c+1)=0\ (2)$

Combine (1),(1'),(1") and (2) $\implies f(x)=2x^2-1$ has 2 real root as required 

Tiếng anh mình không giỏi đâu

1.Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac {x^7-1}{x-1}+1=y^5$

2.Tìm số nguyên tố $a^2 + b^2 + c^2$ sao cho $a^2+b^2+c^2 \mid a^4 + b^4 + c^4$ (với $a,b,c \in \mathbb N$)

Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2}+3(x+y+z)+5=0$ không có nghiệm hữu tỉ

Phương trình tương đương:
$4 \cdot [(x+\frac 32)^2+(y+\frac 32)^2+(c+\frac 32)^2]=7$
Đặt $x + \frac 32 = \frac ab$... (đại thể là đặt, mình tắt đoạn này), có:
$p^2 + q^2 + r^2 = 7 \omega^2$ (sau khi đã quy đồng mẫu nên $p, q, r \in \mathbb Z$)
Lấy đồng dư cho $8$ và sử dụng lùi vô hạn ta có điều phải chứng minh

Note: bài toán $\sum \frac 1 {a+ab+1}=1$ với $abc=1$ chắc không xa lạ gì với bạn

Cho abc=1. Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}\leq \frac{1}{2}$

Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c là nghiệm đúng của phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$ và thoả mãn min {a,b,c} > 24

Mình không ưa mấy bài mang độ thách đố cao như thế này: Phương trình có nghiệm $(x,y,z)=(89, 233, 610)$ (coded in python)
-------
Và để tăng độ thách đố
Chứng minh rằng tồn tại vô số các số tự nhiên $a,b,c$ là nghiệm phương trình $x^2+y^2+z^2=kxyz$ và thoả mãn $min \{a,b,c\} > 24$
--------
Cách giải khác dựa trên Vieta: Giả sử $a = min\{a,b,c\}$
$a^2-3abc+b^2+c^2=0 \implies \exists A \in \mathbb{Z}$ là nghiệm
Theo Viet: $a + A = 3bc > 2a \implies A > a$, vậy phương trình cũng có nghiệm $(A=3bc - a;b;c)$.
Ta làm như vậy tiếp vài lần nữa, nhưng lần này giả sử $b$ rồi $c$ nhỏ nhất, cứ như vậy, ta thu được các nghiệm này càng lớn (không biết có lỗ hổng nào không đây)