1. Phân tích đa thức thành nhân tử
$4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^{2}y^{2}$
2.a)
Tìm các số nguyên dương x,y,z sao cho:
$\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố

b) Tìm nghiệm nguyên của PT: $20y^{2}-6xy=150-15x$

Câu 2a: Đặt $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=q$ (tất nhiên $q$ hữu tỉ)
$\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=q \iff x-y\sqrt{2013}=qy-qz\sqrt{2013} \iff x-qy=\sqrt{2013}(y-qz)$
$\sqrt{2013}$ vô tỉ nên để đẳng thức trên xảy ra thì $y-qz=0 $ (1) => $x-qy=0$ (2)
Từ (1) ta có $q=\frac{y}{z}$. Thay vào (2) thì $y^2=xz$
$x^2+y^2+z^2=x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2xz+z^2-y^2=(x+z)^2-y^2=(x+z-y)(x+z+y)$
$x^2+y^2+z^2$ nguyên tố => $x+z-y=1 \iff xz-x-z+1=0 \iff (x-1)(z-1)=0$
Nếu $x=1$ thì thay ngược lại $1+z-y=1 \iff y=z$. Tuy nhiên lại có $y^2=xz=z$. Từ đó có $y=1$ và $z=1$
Nếu $z=1$. Bạn làm tương tự

Câu 2b: Pt của bạn $\iff (10y-3x+25)(2y-5)=25$ (Không tin bạn phá ra)
Đến đây thì $10y-3x+25$ và $2y-5$ là ước số của 25. Đoạn này thì dễ rồi

P/S: Thanks bạn cho mình khai trương chữ kí mới

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
Theo bdt Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} = -2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=-1$

x,y chưa dương

Giải PT nghiệm tự nhiên $a^b=b^a$

mrjackass: bạn làm sai rồi. trừ từng vế của hai phương trình : $2x{_{0}}^{2}-8x_{0}=0\Leftrightarrow x_{0}=4$

Mình đã sửa theo góp ý cửa bạn. Như thế thì 2 đáp số giống nhau rồi (có cách làm khác thôi)

Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ nhận giá trị 1975 với 4 giá trị nguyên khác nhau của $x$. Cmr : với mọi $x\in Z$ thì $f(x)$ không thể có giá trị bằng 1992.

Hàng về đây bác. Xét đa thức $g(x)=f(x)-1975$ (có hệ số cao nhất là $a$). Do phương trình $f(x)=1975$ có 4 nghiệm nguyên phân biệt nên theo định lý Bezout, $g(x)=(ax+b)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ trong đó $x_1,x_2,x_3,x_4$ là 4 số nguyên phân biệt
Xét phương trình $f(x)=1992 \iff g(x)=17 \iff (ax+b)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=17$
Giả sử phương trình này có nghiệm nguyên. Do $17=17.1=(-17)(-1)$ nên $(ax+b),(x-x_1),(x-x_2),(x-x_3),(x-x_4)$ cùng lúc chỉ nhận 2 giá trị là $1$ và $17$ (hoặc $-1$ và $-17$)
Có 2 giá trị mà có 5 nhân tử nên sẽ có ít nhất 2 nhân tử dạng $x-x_m$ với $m=\overline{1,4}$ bằng nhau
Không mất tổng quát, giả sử đó là $x-x_i=x-x_j$ ($i,j=\overline{1,4}$ và $i \neq j$) $\iff x_i=x_j$ (vô lý)
=> Điều giả sử sai => ĐPCM

Sr bác, em nhầm ^^ Em chữa rồi đấy ạ, bác check "hàng" giùm em

OK rồi đó bác. Bây h gặm thôi

Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ nhận giá trị nguyên với 4 giá trị nguyên khác nhau của $x$. Cmr : với mọi $x\in Z$ thì $f(x)$ không thể có giá trị bằng 1992.

Bác giải thích rõ. $f(x)$ có hệ số nguyên thì cứ $x$ nguyên là $f(x)$ nguyên còn gì

2 người mõi người một kết quả vậy ai đúng ai sai ha

Để biết đúng hay không bạn cứ thử thay từng đáp án của mỗi người vào thôi

Tìm $m$ để hai phương trình sau có nghiệm chung:

$2x^2-(3m+2)x+12=0$
$4x^2-(9m-2)x+36=0$

Gọi nghiệm chung đó là $x_0$
=> $\left\{\begin{matrix}
2x_0^2-(3m+2)x_0+12=0\\
4x_0^2-(9m-2)x_0+36=0
\end{matrix}\right.
\iff
\left\{\begin{matrix}
6x_0^2-(9m+6)x_0+36=0\\
4x_0^2-(9m-2)x_0+36=0
\end{matrix}\right.$
Trừ từng vế 2 phương trình: $2x_0^2-8x_0=0 \iff x_0^2-4x_0=0$
Đến đây bạn tìm được $x_0=0$ hoặc $x_0=4$. Thay lần lượt từng giá trị vào 2 PT đầu để tìm m sau đó thử lại xem với giá trị nào của $m$ thì 2 PT đó có nghiệm chung

cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab < 0.
Tìm Min:$\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$

$a>b$ và $ab<0$ => $a$ âm, $b$ dương
Đặt $-b=x$. Đặt $a+x=z$. Áp dụng C-S và AM-GM
$P=(a+x)^2+(a+x+\frac{1}{a}+\frac{1}{x})^2\geq(a+x)^2+(a+x+\frac{4}{a+x})^2=z^2+(z+\frac{4}{z})^2=2z^2+\frac{16}{z^2}+8\geq 8\sqrt{2}+8$
Dấu $=$ khi $a=-b=\sqrt[4]{8}$

Bài cậu đúng rồi nhưng chú ý là mệnh đề trên là một mệnh đề sai nhé. Vd: $1+2\sqrt{2}$và $-2\sqrt{2}$ là hai số vô tỉ nhưng tổng của chúng lại là một số hữu tỉ.

Mệnh đề đúng là: Tổng của hai số vô tỉ không đồng dạng là một số vô tỉ

Nhờ bác định nghĩa hộ số vô tỉ không đồng dạng???

Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ là 2 số nguyên. Theo hệ thức Vi-et, ta có:
$x_1 + x_2 = mn $ và $ x_1.x_2 = m + n.$
Suy ra: $x_1 + x_2 + x_1x_2 = m + n + mn.$
Vì $x_1, x_2, m, n$ là các số nguyên nên ta suy ra $x_1 = m, x_2 = n$ hoặc $x_1 = n, x_2 = m$
Khi đó: $m + n = mn \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1) = 1$. Suy ra: $m = n = 0$(loại) hoặc $m = n = 2$
Vậy $m = n = 2 $ thì phương trình có nghiệm nguyên là $2$

Không rõ ràng, nhờ bác giải thích hộ.

$$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc=0 \vee (a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$$
Ta có :
$$a^{2}-ab+b^{2}\geq ab $$
$$b^{2}-bc+c^{2}\geq bc $$
$$c^{2}-ac+c^{2}\geq ac$$.
Nhân 3 cái trên lại ta có $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}$
Dầu bằng xảy ra khi $a=b=c$,thay vào giả thiết ta được $abc=0$ (Thay cả 2 giả thiết đấy )
Vậy $abc=0$.

$ab, bc, ca$ dương chưa mà bác nhân 3 BĐT đấy với nhau tự nhiên thế =)) [Trước đi học thêm làm bài này em cx sai như vậy ]
Thật ra cần đánh giá chặt hơn: $a^2-ab+b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2}-ab \geq 2|ab|-|ab|=|ab|$
Làm 2 cái tương tự rồi nhân vào với nhau mới được

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$

Pt đã cho $\iff (x+y)^2=xy(xy+1)$.Lại có $(|xy|,|xy+1|)=1$ nên xét:
Nếu $xy \geq 0$ thì $\left\{\begin{matrix}
xy=a^2\\
xy+1=b^2
\end{matrix}\right.$
Với $a,b$ nguyên dương. Từ trên ta được $a^2=b^2-1 \iff (b-a)(b+a)=1$ => $a=0, b=1$. Từ đó $x=y=0$
Nếu $xy \leq -1$ (Không thể $-1 \leq xy \leq 0$) được.
Tương tự, đặt $\left\{\begin{matrix}
xy=-m^2\\
xy+1=-n^2
\end{matrix}\right.$
Trong đó $m,n$ nguyên dương. Tương tự như trên tìm được $m,n$ và tìm được $x,y$

Giải hệ phương trình:
$\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{y}}}=2$
và $\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{\sqrt{x}}}=2$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}}=a, \frac{1}{\sqrt{y}}=b$ thì $a,b>0$ và $a,b \leq 2$
$a,b$ vai trò tương đương. Giả sử $a \geq b$
Hệ đã cho $\iff \left\{\begin{matrix}
a+\sqrt{2-b}=2\\
b+\sqrt{2-a}=2
\end{matrix}\right.\iff \left\{\begin{matrix}
a=2-\sqrt{2-b}\\
b=2-\sqrt{2-a}
\end{matrix}\right.$
Ta có: $a \geq b \iff 2-\sqrt{2-b} \geq 2-\sqrt{2-a} \iff \sqrt{2-b} \leq \sqrt{2-a} \iff 2-b \leq 2-a \iff a \leq b$
=> $a=b$
Ta có PT $a+\sqrt{2-a}=2$. Giải PT trên ta có $a=b=2$ hoặc $a=b=1$, từ đó $x=y=\frac{1}{4}$ hoặc $x=y=1$

Biểu thức của đề là biểu thức đối xứng, biểu thức cần tìm cũng là biểu thức đối xứng nên đặt $x+y=s, xy=p$ thì cần tìm GTNN của $s$.
Biểu thức đã cho $\iff s^3-3sp-3p(s^2-2p)+4p^2s-4p^3=0 \iff (s-2p)(s^2-sp+2p^2-3p)=0$
Nếu $s=2p \iff x+y = 2xy \iff2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\iff x+y \geq 2$
Nếu $s^2-sp+2p^2-3p=0 \iff 2p^2 -(s+3)p+s^2=0$
Xét pt ẩn $p$ sau đó sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số. Nhưng nói thật phần này mình chưa làm được bởi nó khá rối, đồng thời còn phải chú ý điều kiện $s^2\geq4p$

Cách khac nữa: $a,b,c,d$ vai trò tuơng đương. Giả sử $a \geq b \geq c \geq d$ => $\frac{1}{b+c+d}\geq\frac{1}{c+d+a}\geq\frac{1}{d+a+b}\geq\frac{1}{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Chebyshev và C-S:
$4P \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}+\frac{1}{a+b+c})\geq (a^3+b^3+c^3+d^3)\frac{16}{3(a+b+c+d)}\geq\frac{1}{4}{}(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)\frac{4}{3(a+b+c+d)}=\frac{16}{3}(a^2+b^2+c^2+d^2) \iff P \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+d^2)$
Mặt khác:
$a^2+b^2 \geq 2ab$
$b^2+c^2 \geq 2bc$
$c^2+d^2 \geq 2cd$
$d^2+a^2 \geq 2da$
=> $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 1$
=> $P \geq \frac {1}{3}$
Dấu $=$ khi $a=b=c=d=\frac {1}{2}$

Thì nó cũng tương tự thôi nhưng để tránh nhầm lẫn khi dùng AM-GM hãy để $xy, yz, zx$ trong trị tuyệt đối
KQ: $min = 4$ tại $x=1,5, y=-0,5$

Ấy ấy không được đâu bác. Ai mà biết được $\alpha$ hay $\beta$ dương hay không để có 2 đánh giá đầu tiên??? Bài của em cũng chỉ là đang xét trong trường hợp $x,y,z$ dương

cho xy+z+xz=-1
Tìm min S=$x^{2}+5y^{2}+8z^{2}$

Hình như là $xy+yz+zx=1$ mới đúng chứ
$x,y,z$ vai trò không tương đương. Giả sử $x=\alpha y=\beta z$ ($\alpha$ và $\beta$ là hằng số dương, tìm sau)
Áp dụng AM-GM:
$\beta(x^2+\alpha^2 y^2)\geq2\alpha \beta xy$
$\alpha(x^2+\beta^2 z^2)\geq2\alpha \beta xz$
$\alpha^2y^2+\beta^2z^2\geq2\alpha\beta yz$
Cộng vào: $(\alpha+\beta)x^2+(\alpha^2+\alpha^2\beta)y^2+(\beta^2+\alpha\beta^2)z^2\geq 2\alpha\beta$
Để vế trái có dạng $x^2+5y^2+8z^2$ thì $\frac{\alpha+\beta}{\alpha^2+\alpha^2\beta}=\frac{1}{5}$ và $\frac{\alpha+\beta}{\beta^2+\alpha\beta^2}=\frac{1}{8}$
Giải hệ đó và lấy nghiệm dương thì $\alpha=\frac{1}{7}(10+\sqrt{65})$ và $\beta=\frac{1}{4}(7+\sqrt{65})$
[Thực ra mình lên http://www.wolframal.../(b^2+ab^2)=1/8 cho nhanh =))]
Có $\alpha$ và $\beta$ rồi thì bạn thay ngược vào trên và tìm dấu $=$

Cho n số thực dương $a_1,a_2,..,a_n$, m là 1 số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a_1^m}+\mathit{\frac{1}{a_2^m}}+...+\frac{1}{a_n^m}\geq\frac{n^{m+1}}{(a_1+a_2+...+a_n)^m}$
Lưu ý:
-Các tử số có thể thay $1$ bằng các hằng số nào đó
-Đây là 1 kiểu "ghép mẫu" sử dụng AM-GM, ưu điểm là có thể "ghép" các mẫu bậc cao vào nhau (C-S thì ghép tử còn các mẫu là các hạng tử đứng riêng biệt), nhược điểm là chỉ lợi khi tử là hằng số và sẽ ít hiệu quả hơn nếu tử số có biến
Ứng dụng đầu tiên:
http://diendantoanho...a-b2-ge-frac94/

Không mất tổng quát $a > b> c$ => $a-b,b-c,a-c>0$
Mặt khác $a \leq 2$ và $c \geq 0$ => $a-c \leq 2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}=\frac{9}{(a-c)^2}\geq\frac{9}{4}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=2$, $b=1$ và $c=0$

mình không được rõ về phương pháp đó
Bạn làm cụ thể cho mình được không

Chúng ta đang cần tìm $\max t$. Bạn để ý phương trình cuối cùng, để $x$ tồn tại thì Pt đó phải có nghiệm, tức là
$\Delta '=(2t-2)^2-5(t^2-5)\geq 0 \iff 4t^2-8t+4-5t^2+25\geq 0 \iff -t^2-8t+29 \geq 0 \iff t^2+8t-29 \leq 0$. Bạn giải pt $t^2+8t-29=0$ thì $\max t$ là nghiệm dương của phương trình đó. Sau đó thì bạn tìm x và xét xem nó có thỏa mãn điều kiện để căn thức tồn tại không (cái này m` chưa có t/g, mong bạn giúp)
Bạn có thể Google phương pháp trên, hoặc tham khảo trong các sách nâng cao

Cho $a^2+b^2+c^2=3$ và $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}} \leq \sqrt{3}$

Đây là BĐT được mở rộng của BĐT nesbit

Ông đọc nhầm đề giống tôi rồi =))

$A=3-2x+\sqrt{5-x^2+4x} \iff 2x+A-3=\sqrt{5-x^2+4x}$
Đặt $A-3=t$
$2x+t=\sqrt{5-x^2+4x} \iff 4x^2+4tx+t^2=5-x^2+4x \iff 5x^2+2(2t-2)x+(t^2-5)=0$
Tới đây bạn dùng miền giá trị của hàm số là ra