Y= 2 hidrocacbon A,B (trong số các ankan,aken,ankin,ankađien).Cho 0,1 mol Y tác dụng tối đa 0,15mol $Br_{2}$.Biết 0,1 mlo Y có khối lượng 3,4g.Tìm A,B

Không khó đâu bạn .Chỉ cần biến đổi thuần túy đưa ra $tan\frac{C}{2}=1$ là được

Xét tính chất của tam giác,biết rằng:
$cosA+cosB-cosC+1=sinA+sinB+sinC$

Dẫn 1,68 lít hỗn hợp khí X gồm 2 hiđrocacbon  vào bình đựng dung dịch brom dư.Sau khi phản ứng cháy xảy ra hoàn toàn có 4 gam brom đã phản ứng và còn lại 1,12 lít khí.Nếu đốt cháy hoàn toàn 1,68 lít X thì sinh ra 2,8 lít khí $CO_{2}$.Xác định công thức phân tử của 2 hiđrocacbon.(Biết các thể tích khí đo ở đktc)

Cách 5: Sử dụng vector gốc

Lấy A,B,C lần lượt là ba gốc của 3 vectơ đơn vị sau:

$\overrightarrow{e_{1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}$

$\overrightarrow{e_{2}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{BC}$

$\overrightarrow{e_{3}}=\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}$

Ta có: $0\leq (\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}})^2$

$\Leftrightarrow 0\leq 3+2(\overrightarrow{e_{1}}\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{2}}\overrightarrow{e_{3}}+\overrightarrow{e_{3}}\overrightarrow{e_{1}})$

$\Leftrightarrow 0\leq 3-2(cosA+cosB+cosC)$

$\Leftrightarrow cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> $\Delta$ ABC đều

Cách 6:Sử dụng bất đẳng thức SCHUR:

Ta có:

cosA+cosB+cosC$\leq \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c}{2ab}$

$\Leftrightarrow b^2a+c^2a+c^2b+a^2b+a^2c+b^2c\leq 3abc$

$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$

(Bất đẳng thức Schur)

Cách 7:Sử dụng tam thức bâc 2:

Xét $cosA+cosB+cosC-\frac{3}{2}=$

$2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^{2}\frac{C}{2}-\frac{3}{2}=$

$2sin\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-2sin^2\frac{C}{2}-\frac{1}{2}$

Đặt $x=sin\frac{C}{2}.(0< x<1)$.Xét tam thức $f(x)=-2sin^{2}x+2cos\frac{A-B}{2}x-\frac{1}{2}$

Ta có: $\Delta '=cos^{2}\frac{A-B}{2}-1\leq 0;a=-2< 0 \Rightarrow f(x)\leq 0,\forall x$(0< x<1)

Từ đó: $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$

Cách 8:dùng phương pháp hàm số

Ta có:

$cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^{2}\frac{C}{2}$

Đặt x=sin$\frac{C}{2}$(0<x<1)

Xét hàm số:$f(x)=-2x^{2}+2cos\frac{A-B}{2}x+1$

Lập BBT,ta được:

$f(x)\leq f_{max}(x)=1+\frac{1}{2}cos\frac{A-B}{2}\leq \frac{3}{2}$

Từ đó, ta có ĐPCM

 

Mình xin được đóng góp một bài tập nhỏ cho chuyên đề trên:

Bài toán:  Cho $\Delta ABC$, chứng minh rằng:

$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$

Bài giải:

Cách 1:Dùng tỉ số diện tích

Kẻ các đường cao AD,BE,CF 

Đặt $S_{AEF}=S_{1};S_{BFD}=S_{2};S_{CED}=S_{3},S_{ABC}=S$.

Khi đó: $cosA=\sqrt{\frac{S_{1}}{S}};cosB=\sqrt{\frac{S_{2}}{S}};cosC=\sqrt{\frac{S_{3}}{S}}$

$\sqrt{\frac{S_{1}}{S}}=\sqrt{\frac{AF.AE}{AB.AC}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AF}{AB}+\frac{AE}{AC} \right ) (1)$

Tương tự:$\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}=\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{BF}{AB}+\frac{BD}{BC} \right ) (2)$

 

$\sqrt{\frac{S_{3}}{S}}=\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{CD}{CB}+\frac{CE}{CA} \right ) (3)$

CỘNG (1),(2),(3) THEO TỪNG VẾ TA ĐƯỢC:

$cosA+cosB+cosC\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AF}{AB} +\frac{FB}{AB}+ \frac{AE}{AC} +\frac{EC}{AC} +\frac{BD}{BC} +\frac{DC}{BC} \right )=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ ABC đều

Cách 2:Vận dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell:

Cho tam giác ABC.M là điểm bất kì nămg trong tam giác.Đặt $x_{1}=MA;x_{2}=MB;x_{2}=MC;p_{1},p_{2},p_{3}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có bất đẳng thức:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 2(p_{1}+p_{2}+p_{3})$

Áp dụng :

Gọi O,R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA

Nhận thấy $\widehat{A}=\widehat{MOB}$

Do đó:

$cosA=cos\widehat{MOB}=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R};cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}$

Do đó:

$cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{R}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{OA+OB+OC}{R} \right )=\frac{3}{2}(ERDOS-MORDELL)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ ABC đều

Cách 3:Sử dụng bất đẳng thức Trê-bư-sêp:

Gọi a,b,c là 3 cạnh tam giác ABC.Khi đó:

a=c.cosB+b.cosC

b=a.cosC+c.cosB;

c=a.cosB+b.cosA.

Cộng 3 bất đẳng thức trên ta có:

$a+b+c=(c+b)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC$

Không mất tính tổng quát giả sử:$a\geq b\geq c$.Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} cosA\leq cosB\leq cosC\\ c+b\leq a+c\leq a+b \end{matrix}\right.$

Do đó:

$a+b+c=(c+b)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC$

$\geq \frac{1}{3}(cosA+cosB+cosC)(c+b+a+c+a+b)$(TRE-BU-SEP)

$\Rightarrow \frac{1}{3}(cosA+cosB+cosC)\leq \frac{3}{2}$

Cách 4:Phương pháp vectơ:

Gọi I,r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.M, N, P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB,AC,BC.Khi đó, ta có:

$0\leq (\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP})^{2}$

$\Leftrightarrow0\leq3r^2+2(\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IN})$

Mặt khác:

$\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=2r^2cos\widehat{MIN}=-2r^2.cosA$

Tương tự:

$\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IP}=-2r^2.cosB; \overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IN}=-2r^2.cosC;$

Do đó:

$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra <=> Tam giác ABC đều.

 

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,cho họ elip (E) có phương trình $(E_{m}):y^{2}=2x-\frac{x^{2}}{m} (0<m<1)$ (m là tham số )

a)Bằng phép tịnh tiến trục tung,hãy đưa phương trình trên về dạng chính tắc.Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh của elip. Tìm quỹ tích các đỉnh ấy

b)Tìm tọa độ các tiêu điểm của  $(E_{m})$ và xác định quỹ tích các tiêu điểm khi m thay đổi ( 0<m<1 )

 

 

Cho tam giác ABC đều ,M là điểm nằm trong tam giác.Gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ M đến BC,CA,AB.Điểm M cần thỏa mãn điều kiện gì để tam giác FDE vuông

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q,r,s sao cho tất cả các số $p^{s}+s^{p},q^{s}+s^{r},r^{s}+s^{p}$ đều là các số nguyên tố

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $2^{11p}-2$ chia hết cho 11p

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho trung bình cộng của n số chính phương đầu tiên cũng là một số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho số đó chỉ có 2 ước nguyên tố là 2 và 5.Đồng thời N+25 là số chính phương

Tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn:Nếu lấy tất cả các chữ số của nó cùng trừ đi với cùng một số thì được một số có 4 chữ số cũng là 1 số chính phương.

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xđ như sau:$x_{1}=1,x_{2}=2,x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}$,$\forall n\in \mathbb{N}$
Tìm tất cả các giá trị của n sao cho $x_{n}\vdots 2^{k}(k\in \mathbb{N}^{*})$,k cho trước

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $(ab)^{2}-4(a+b)$ là một số chính phương

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $(3^{n}-1)\vdots 2^{2012}$

Tìm số nguyên dương n sao cho:
$C_{2n+1}^{1}\textrm{}-2.2.C_{2n+1}^{2}\textrm{}+3.2^{2}.C_{2n+1}^{3}\textrm{}-4.2^{3}.C_{2n+1}^{4}\textrm{}+...+(2n+1).2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}\textrm{}=2011$

Xét hàm số:$f(x)=(1+x)^{2n+1}$,${f}'(x)=(2n+1)(1+x)^{2n}$(1)
Tacó:$f(x)=C_{2n+1}^{0}\textrm{}+C_{2n+1}^{1}\textrm{x}+C_{2n+1}^{2}\textrm{x}^{2}+...+C_{2n+1}^{2n+1}\textrm{x}^{2n+1}$
${f}'(x)=C_{2n+1}^{1}\textrm{}+2C_{2n+1}^{2}\textrm{x}+3C_{2n+1}^{x}\textrm{x}^{2}+...+\left ( 2n+1 \right )C_{2n+1}^{2n+1}\textrm{x}^{2n}$(2)
Thay x=-2 vào (1),(2) ta được:
$2n+1=C_{2n+1}^{1}\textrm{}-2.2.C_{2n+1}^{2}\textrm{}+3.2^{2}.C_{2n+1}^{3}\textrm{}-4.2^{3}.C_{2n+1}^{4}\textrm{}+...+(2n+1).2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}\textrm{}$
Theo bài ra ta có:2n+1=2011$\Rightarrow n=1005$

Tìm n để $n^{4}+4^{n}$ là số nguyên tố

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho elip (E):$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

a)Tìm mối liên hệ giữa k,m để đường thẳng d:y=kx+m $(k\in \mathbb{R})$ tiếp xúc với (E)

b) Khi d là tiếp tiếp tuyến của (E), gọi giao điểm của d với các đường thẳng x=5;x=-5 lần lượt là M,N. Tính diện tích tam giác FMN theo k, trong đó F là tiêu điểm của (E) có hoành độ dương 

c) Xác định k để tam giác MNF có diện tích nhỏ nhất

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} + \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y=2

 

MOD: Chú ý tiêu đề của bài viết bạn nhé

Cách giải dẫn đến sai lầm:

Xét $ \overrightarrow{u} = (x;y+1);$

Tìm m để pt sau có nghiệm: m= $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ - $\sqrt{x^{2}+2x+2}$

Ta có:

$ - m = \sqrt{x^2 -2x+2} -\sqrt{x^2+2x+2}$

Xét hàm số $f(x)= \sqrt{x^2+2x+2} - \sqrt{x^2-2x+2}$ trên $\mathbb{R}$; $f(x)$ là hàm lẻ

Ta có:

$f'(x)= \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$

$=\frac{x+1}{ \sqrt{(x+1)^2 +1}} - \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+1}}$

Xét hàm số $g(t)= \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ trên $ \mathbb{R^+}$

Ta có: $g'(t)= \frac{1}{\sqrt{(t^2+1)^3}} >0;\forall t \geq 0$

Do đó:$g(t)$ đồng biến trên $ R^+$

$\Rightarrow g(x+1)> g(x-1)\Rightarrow f'(x)>0;\forall x\geq 0$

Mặt khác: $f(0)=0; \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= 2$

Từ BBT;suy ra: $ 0\leq f(x)< 2;\forall x \geq 0$

$\Rightarrow  |  f(x)|< 2;\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow   | -m |< 2\Leftrightarrow -2< m <2$

--------------

Trên đường tròn (O;15 cm) lấy 2 điểm A,B.Đường cao OH của $\Delta OAB$ cắt (O) tại. Tính AC biết AB = 16 cm

Bài 65: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$1!+2!+...+(x+y)!=y^{z+1}$

Bài 60 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a)$y^{7}-2x=x^{2}+2$
b)$x^{2}+9=y^{p}$ (Trong đó p là số nguyên tố có dạng 4k+3)

Cho n là số nguyên dương .Chứng minh rằng nếu 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương thì 5n+3 không phải là số nguyên tố