Bài toán: Cho $0\leq x;y\leq 0,5$.CMR: $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Đặt $a_{n+1}=xa_n+ya_{n-1}\Rightarrow a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}-1$

Vì $a_0,a_1$ nguyên nên $a_n$ nguyên (đpcm)

BT: Cho $L_1,L_2,L_3,...,L_{100}$ là các đường thẳng phân biệt .Mọi đường thẳng $L_{4N}$ ( N nguyên dương ) thì song song với nhau, mọi đường thẳng $L_{4N-3}$ (N là số nguyên dương)đều đi qua 1 điểm A cho trước.Số tối đa các giao điểm của các cặp đường thẳng lấy trong 100 đường thẳng trên là bao nhiêu?

1) C1:( cách này hơi "trâu")

BP 2 vế ta được PT bậc 4 sau đó dùng MT Casio phân tích thành dạng $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+g)$

Theo bdt AM-GM có :$(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{8}{27}$

                                 $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$

$= > abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{27}.\frac{1}{27}=\frac{8}{27^2}$

Dang thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn ơi biến x,y,z mà???

Bài toán: Chứng minh $A=x^4-ax^3+(a+m+1)x^2-(a-2)x+m$ không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt 

Cho x. y, z >0 thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \sqrt{3}$

Tìm min $P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$

Đặt $\sum \frac{1}{x}=\sum a\Rightarrow P=\sum \sqrt{2b^2+a^2}\geq \sum \frac{2b+a}{\sqrt{3}}=3\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

$\Leftrightarrow 2(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}) \Leftrightarrow x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0\Rightarrow ...$

$f(n+1)=\frac{f(n)}{1+nf(n)}\Leftrightarrow \frac{1}{f(n+1)}=\frac{1}{f(n)}+n\Leftrightarrow \frac{1}{f(n+1)}-\frac{1}{f(n)}=n\Rightarrow \frac{1}{f(2)}-\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(3)}-\frac{1}{f(2)}+...+\frac{1}{f(n)}-\frac{1}{f(n-1)}=\frac{1}{f(n)}-\frac{1}{f(1)}=1+2+3+...+n-1=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\Rightarrow \frac{1}{f(n)}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}+\frac{1}{f(1)}=\frac{(n-2)(n-1)+4}{2}\Rightarrow f(n)=\frac{2}{(n-2)(n-1)+4}\Rightarrow f(2010)=\frac{1}{2017038}$

Ta có :

$x^2\equiv 0,1(Mod4);y^2\equiv 0,1(mod4);z^2\equiv 0,1(mod4)\Rightarrow x;y;z\equiv 0,1 mod 4$

đặt $x=4x_{1};y=4y_1;z=4z_1\Rightarrow x_1^2+y_1^2=z_1^2$

CMtt x=y=z=0(lùi vô hạn)

Bài toán.Cho $\Delta$ ABC có B,C cố định,A thay đổi ,đừơng cao BD,CE cắt nhau tại F,K là trung điểm AF ,CH vuông góc với DE.Tìm đk của $\Delta$ABC để HK lớn nhất

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b)

Theo Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3$

Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

Cách khác nè:

Theo Schwarz ta có:

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{(a+b)^2}{4ab^2+4a^2b+a+b}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+4ab}\geq \frac{(a+b)^2}{2(a+b)^2}=\frac{1}{2}$

$\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}-2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}}+3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}}=4$

$x^2\sqrt[4]{2-x^4}=x^4-x^3+1$

$x+\sqrt{x}+\sqrt[4]{2-x^2}+\sqrt[4]{2-x^4}=4$

 

Có vẻ hơi too easy

Ta có: $x+\sqrt{x}+\sqrt[4]{2-x^2}+\sqrt[4]{2-x^2}=4\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4}+\sqrt[4]{2-x^4}+\sqrt[4]{x^2}+\sqrt[4]{2-x^2}=4$

Lại có: $VT\leq \sqrt[4]{8(x^4+2-x^4)}+\sqrt[4]{8(x^2+2-x^2)}=2+2=4$

$VT=VP\Leftrightarrow 2-x^4=x^4\Leftrightarrow x^4=1\Leftrightarrow S=\left \{ 1;-1 \right \}$

Giải phương trình

$\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-x-\frac{1}{x}$

Ta có:

$\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-x-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+(x+\frac{1}{x}-1)=3$.

Lại có: $VT^2\leq (1+1+1)(2-x^2+2-\frac{1}{x^2}+x^2+\frac{1}{x^2}+1-2x-\frac{2}{x}+2)=3[7-2(\frac{1}{x}+x)]\leq 3(7-4)=9\Rightarrow VT\leq 3\Leftrightarrow x=1$

$\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{3+x}{5}\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}=\frac{3+x}{5}\Leftrightarrow x=-3$ hoặc $\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}=5$

Đến đây giải tiếp.

$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}$

$3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$

$\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$

Trông như một đứa bị rảnh

Ta có:

$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}\Leftrightarrow \sqrt{3x^2-5x-1-2(x-2)}+\sqrt{x^2-2-3(x-2)}=\sqrt{3x^2-5x-1}+\sqrt{x^2-2}\Leftrightarrow \frac{2(x-2)}{\sqrt{3x^2-5x-1}+\sqrt{3x^2-7x+3}}+\frac{3(x-2)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}=0\Leftrightarrow x=2$

Không cần cm $\sqrt[3]{2}$ là số vô tỷ đâu bạn.Theo mình đó là điều hiển nhiên rồi!

Chứng minh rằng số sau đây là số vô tỷ :A=$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

Giả sử A là số hữu tỷ.Khi đó :

$A^2=\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+4=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+4=A+\sqrt[3]{2}+4\in \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt[3]{2}\in \mathbb{Q}(sai)$

Do đó A vô tỷ

Giải phương trình:

1.   $2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{8+2x-x^2}=x$

2.    $\sqrt[3]{x^2+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

1.

$2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{8+2x-x^2}=x\Leftrightarrow 2x-4\sqrt{x^2+3}+2\sqrt{8+2x-x^2}=(2-\sqrt{x^2+3})^2+(-3+\sqrt{8+2x-x^2})^2+8(-3+\sqrt{8+2x-x^2})=(2-\sqrt{x^2+3})^2+(\sqrt{8+2x-x^2}-3)^2+\frac{8(x-1)^2}{\sqrt{8+2x-x^2}+3}=0\Leftrightarrow x=1$

Để mình hướng dẫn bạn nhé:
Đk: x$\geqslant$5.
Chuyển vế bình phương ta được:
2x²-5x+2=5$\sqrt{(x^2-x-20)(x+1)}$
$\Leftrightarrow$ 2x²-5x+2=5 $\sqrt{(x+4)(x-5)(x+1)}$
$\Leftrightarrow$ 2(x²-4x-5)+3(x+4)=5$\sqrt{(x+4)(x^2-4x-5)}$
Đặt: a=$\sqrt{x^2-4x-5}$ và b=$\sqrt{x+4}$ thì phương trình trở thành:
2a² + 3b²=5ab
Đến đây bài toán coi như xong. Bạn tự giải tiếp nhé.

Bạn bình phương chuyển vế sai rồi!

Giải phương trình :$\sqrt{5x^2-14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

<Bài này "chế" từ đề thi duyên hải bắc bộ năm 2010>

Bài toán.

Cho a,b,c>0.CMR: $\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{2bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Ta có $x> xy+1\Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{y}{x}+\frac{1}{x^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}> \frac{y}{x}\Rightarrow \frac{1}{4}> \frac{y}{x}$

Viết lại $M=\frac{\frac{3y}{x}}{1+\frac{y^2}{x^2}}=\frac{3t}{1+t^2}, t< \frac{1}{4}$

Ta sẽ chứng minh $M=\frac{3t}{1+t^2}< \frac{12}{17}$

         $\Leftrightarrow 12t^2-51t+12> 0\Leftrightarrow (t-4)(4t-1)> 0$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng với $t< \frac{1}{4}$

Đẳng thức không xảy ra

Bài này yêu cầu tìm GTLN mà anh?Như vậy GTLN bằng bao nhiêu?