Dùng fermat để CM bổ đề sau với x,y không cùng chia hết cho ước số nào có dạng 4k-1 thì $x^{2}+y^{2}$ cũng ko có ước dạng 4k-1.

cái đấy là để cm chiều thuận, còn chiều đảo mới khó, cậu thử cm chiều đảo đi

Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:

gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9.2^{2^{k+1}}\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$

áp dụng đồng dư cho phần dư sau.

sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem

chứng minh hoặc bác bỏ khẳng định sau:

luôn tồn tại m là số nguyên dương sao cho

$2^{2^{n}}-1$ là ước của $m^{2}+9$ với mọi n nguyên dương

Cho a,b,c không âm có tổng bằng căn bậc hai của 5. Tìm max của P

    $P=|(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})|$

tớ đã mò ra được max P=$\sqrt{5}$ và quy bài toán về bài toán đơn giản hơn là,

  cho a,b không âm có $a+b\leq\sqrt{5}$

Chứng minh rằng $a^{2}b^{2}(a-b)\leq 1$

Ai có cách gì thì đóng góp nhé

bạn 

Bài 1: Có bao nhiêu cách để xếp n cái kẹo giống nhau vào k cái hộp giống nhau ( có thể có hộp không có kẹo). n,k nguyên dương

Bai 2: Có bao nhiêu cặp tập con không giao nhau của tập hợp n phần tử, n nguyên dương

cho n cô gái và m chàng trai.($n\geqm$). Hỏi có bao nhiêu cách gả các cô gái cho các chàng trai sao cho chàng nào cũng có vợ, và mỗi cô chỉ được lấy 1 chồng

ban tinh toan sai roi. dap so phai la 1 moi dung

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $9x++2=y^{2}+y$

 

P/s: các bạn sử dụng phương pháp 'xét số dư' từng vế nha

pt <=> $(y-1)(y+2)=9x$

mà y+2 và y-1 đồng dư khi chia cho 3 và tích của chủng chia hết cho 3 cả 2 số đều chia hết cho 3

=> y= 3k +1  với k nguyên => x=k(k+1)    

??? Là sao bạn

vẽ hình trên diễn đàn ý.  Nghĩa là phần mềm vẽ hình trên máy tính ấy

Hihi, bài 1 đúng là mình nhầm box thật, cô cùng xin lỗi. Hiện giờ mình chưa học hệ lượng thức nên hk biết làm bài 2 hichic, bài 3 mình cũng làm từ từ mà cũng chưa ra dc.....

dạy tôi vẽ hình với bạn ơi    

vậy thì nếu gặp dạng này thì muốn dùng cauchy-swatch thì nâng bậc à

còn tùy vào giả thiết nữa. Cậu không nên áp đặt như thế !!!!          

uhm . vậy với các dạng này ta nên dùng các bđt thức nào

nếu cậu thích hệ quả của cauchy - swatch thì làm như Ha Manh Huu ấy        

như vậy thì phải làm sa nếu phía trên dùng xvác hả bạn

bất đẳng thúc cậu dùng lúc đầu yếu quá nên không có hiệu quả!!!!!    

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{9}{3+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

vậy ta cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$ (1)

giả sử bất đẳng thức vừa nêu là đúng ta có

$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leqslant 3+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow ab+bc+ac\leqslant 3$ 

ta có $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}= 3$ (luôn đúng ) nên (1) đúng 

vậy được đpcm

sai rồi @!!! vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

chứ không phải$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$   đâu nghen      

mình chém xem sao

Ta có: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}=9$

ta sẽ chứng minh vế phải (1)  $\leq 9$

thật vậy $VP^{2}\leq 3(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1})\leq 9\Rightarrow VP\leq 3< 9$

$\Rightarrow VT< VP$(BĐT không xảy ra dấu bằng kêr cả có số 3 ở vế phải)

             

 sao $3(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1})\leq 9$ được nhỉ????????        

cho x,y,z > 0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1.$

chứng minh rằng $xy+yz+zx\leq \frac{1}{2}+2xyz$

Phải có điều kiện của $x,y,z$ khi đó tính $x,y$ theo $z$ rồi thay vào thôi

            đúng ý tôi

chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thoã mãn a+b+c+d=4

ta có $\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

a ơi đề là $a+b+c+d=4$ mà

tớ có cách khác xin đóng góp

ta có $\frac{a}{1+b^{2}c}=\frac{a(1+b^{2}c)-ab^{2}c}{1+b^{2}c}=a-\frac{ab^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{ab^{2}c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}$ . tương tự với những cái còn lại 

nên $\sum \frac{a}{1+b^{2}c}\geq a+b+c+d-(\frac{ab\sqrt{c}}{2}+\frac{bc\sqrt{d}}{2}+\frac{cd\sqrt{a}}{2}+\frac{da\sqrt{b}}{2})$

bây giờ ta cần chứng minh $\sum \frac{ab\sqrt{c}}{2}\leq 2$ => $\sum ab\sqrt{c}\leq 4$

thật vậy vì$\sum ab\sqrt{c}=\sum \sqrt{a^{2}b^{2}c}\leq \frac{1}{2}(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+ca+ad)$

mà $abc+bcd+cda+dab=ac(b+d)+bd(a+c)\leq \frac{(a+c)^{2}}{4}(b+d)+\frac{(b+d)^{2}}{4}(c+a)=(a+c)(b+d)\frac{a+b+c+d}{4}=(a+c)(b+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4}=4$

và $ab+bc+cd+da\leq 4$ (dễ dàng chứng minh)

nên $\sum ab\sqrt{c}\leq \frac{1}{2}(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+cd+da)\leq 4$

=> đpcm

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=1 chứng minh rằng

$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}\geq \sqrt{\frac{1}{a^{2}+1}}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{1}{c^{2}+1}}$

đẳnh thức xảy ra khi nào

cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=1 chứng minh rằng

$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}\geq \sqrt{\frac{1}{a^{2}+1}}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{1}{c^{2}+1}}$

đẳnh thức xảy ra khi nà

đề sai hay sao ấy bạn ạ          

dấu bằng không hề xảy ra khi a=b=c

hehehehehe!!! câu b cũng tương tự

ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+1+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+2\geq 2(ab+bc+ca)$

suyra $(a+b+c)^{2}+(abc)^{2}+2\geq 4(ab+bc+ca)$

mà a+b+c=3 => $(abc)^{2}+11\geq 4(ab+bc+ca)$

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Theo đề bài, biến đối ta được 

$A^{2}= 2-(x-y)^{2}-(x-z)^{2}$.

Vì $(x-y)^{2}+(x-z)^{2}\geqslant 0$ nên $A^{2}\leqslant 2$.

Dâú bang xay ra khi và chi khi x = y = z = $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

=> MaxA =$ \sqrt{2}$ <=> x = y = z = $\frac{\sqrt{2}}{3}$

 

MinA =-$ \sqrt{2}$ <=> x = y = z = -$\frac{\sqrt{2}}{3}$

???????    

phần mềm gõ latex bị sao vậy???

Từ gt suy ra $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Rightarrow abc+a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1$

Lại có $0\leq b\leq 1$ nên $b^2\leq b$ $(1)$ 

$0\leq c\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c^3\leq c^2 & & \\ c^2\leq c & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^3\leq c$ $(2)$ 

Mà $abc\geq 0$ $(3)$

Từ $(1) ; (2) ; (3)$ suy ra $a+b^2+c^3-(ab+bc+ac)\leq a+b+c+abc-(ab+bc+ac)\leq 1$

rất hay nhưng tớ bổ sung thêm đk dấu bằng xảy ra khi trong 3 số có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

thiếu đk của x,y,z kìa em ơi!!!