chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương

$4xyz-x-y=t^{2}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n >0$. Thoả $a_1+a_2+...+a_n =1$

$$\left({\frac{1}{{a_1^2}}-1}\right)\left({\frac{1}{{a_2^2}}-1}\right)...\left({\frac{1}{{a_n^2}}-1}\right)\geqslant{({n^2}-1)^n}$$

bđt$<=> \prod (1-a_{1}).\prod (1+a_{1}) \geq (n^{2}-1)^{n}.\prod a_{1}^{2}$

$<=> \prod (a_{2}+a_{3}+...+a_n) .\prod (a_1+a_2+...+a_n+a_1) \geq (n^{2}-1)^{2}.\prod a_1^{2}$

(đúng theo cô-si)

Cho $-1\leq a,b,c\leq 1, a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^4+b^3+c^2\leq 2$.

ta có

$a^{2}(a-1)(a+1) \leq 0$

$ \Rightarrow a^{4}\leq a^{2}$

$b^{2}(b-1) \leq 0 \rightarrow b^{3} \leq b^{2}$

$ \Rightarrow a^{4}+b^{3}+c^{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

lại có $ (a-1)(b-1)(c-1) \leq 0$

$ (a+1)(b+1)(-c-1) \leq 0$

cộng vế vế ta có $-2ab-2bc-2ca-2 \leq 0$

$ \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$

$ \Rightarrow a^{4}+b^{3}+c^{2}\leq 2$

Cho  $0 \leq x \leq 3 , 0 \leq y \leq 4.$Tìm GTLN  $H = (3-x).(4-y).(2x+3y)$

$H=\frac{(6-2x)(12-3y)(2x+3y)} {6} \leq \frac{(6-2x+12-3y+2x+3y)^{3}} {6.27} $

=$ \frac{18^{3}} {6.27}$=36

cho $ a+b+c=3$

$ a,b,c\geq 0$

tìm min $ \sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}$

 

2,  Cho $a,b,c>0$. $\sum ab=abc. CMR: \sum \frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\geq \sqrt{3}$

 

2 ta cần chứng minh $\frac{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}{ab} \geq \frac{1}{\sqrt{3}a}+\frac{2}{\sqrt{3}b}$ (biến đổi tương đương)

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Cho  a,c,b > 0 abc=ab+ac+bc         CM

 $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq 3(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{a^{2}})$

bđt $\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{a}{b^{2}}+ \frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}})\geq 3(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

$\Leftrightarrow \frac{b}{ac^{2}}+\frac{c}{a^{3}}+\frac{a}{b^{3}}+\frac{c}{a^{2}b}+\frac{a}{b^{2}c}+\frac{b}{c^{3}}\geq 2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

áp dụng bđt cô-si ta có

$\frac{b}{ac^{2}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{a}{b^{2}c}\geq 3\frac{1}{c^{2}}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

[CÂU LẠC BỘ TOÁN MỞ ĐƠN TUYỂN CỘNG TÁC VIÊN]

CLB Toán học - Chương trình Nuôi dưỡng nhân tài ra đời từ tháng 8/2017 nhằm tạo môi trường giao lưu, học hỏi giữa các bạn trẻ đam mê Toán. Các thành viên ban đầu đều là những học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Toán đến từ các trường chuyên trên khắp cả nước. Hiện nay, để chuẩn bị cho một số hoạt động phát triển, mở rộng câu lạc bộ, chương trình NDNT chính thức mở đơn tuyển CTV (số lượng: 30 CTV)

Bài 1

$ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$. Hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Gọi $w_{1}$ là đường tròn qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $A$. $w_{2}$ là đường tròn qua $C$ và tiếp xúc với $BD$ tại $D$. $w_{3}$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPC$

Chứng minh rằng dây cung chung của $w_{1},w_{3}$ và $w_{2},w_{3}$ cắt nhau trên $AD$

Bài 2

Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn không có 2 số nào là ước của nhau nhưng trong 3 số bất kì có 1 số là ước của tổng 2 số còn lại

Bài 3

Có 27 tấm thẻ trên đó có thể có 1,2 hoặc 3 biểu tượng trên đó. Các biểu tượng có thể là hình vuông, tam giác, hoặc hình tròn và mỗi tấm thẻ được tô màu xám, trắng hoặc đen. 3 tấm thẻ được gọi là 'hạnh phúc' nếu chúng có cùng hoặc đôi một khác số lượng các biểu tượng trên đó và chúng có cùng hoặc đôi một khác nhau các biểu tượng và  có cùng hoặc đôi một khác màu nhau. Hỏi có thể chọn ra tốt đa bao nhiêu tấm thẻ sao cho không có 3 tấm thẻ nào 'hạnh phúc'

Bài 3 ngày 1

xét tại mỗi hàng ta đánh tùy ý $m-1$ ô đầu và ô cuối đánh sao cho hàng đó có chẵn ô đen

có $2^{m-1}$ cách đánh

Đánh như vậy ở $n-1$ hàng nên có $2^{(n-1)(m-1)}$ cách đánh

Xét hàng cuối ta đánh sao cho mỗi cốt có số ô đen là số chẵn

Dễ thấy khi đó hàng cuối cũng có chẵn ô

Ta có vs cách đánh này ta xác định đc tất cả các TH thỏa mãn đề bài

Vậy có $2^{(n-1)(m-1)}$ cách đánh

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}\geq 1+\sum\sqrt{ \frac{1}{ab}}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})}\geq 1+\sum \sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sum \sqrt{\frac{1}{ab}}$

mà $\sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\geq \sum (\frac{1}{a}+\frac{1}{\sqrt{bc}})=1+\sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$(đpcm)

Có $3$ hộp đựng 3 loại bị . Hộp 1 đựng bi đỏ, hộp 2 đựng bi trắng và hộp 3 đựng cả 2 . Bên ngoài mỗi hộp được dãn nhãn ghi loại bi đựng trong đó nhưng đều bị dán sai . Nếu chỉ được mở 1 hộp và lấy ra 1 viên bi trong đó thì phải mở hộp nào để dán nhãn đúng cho cả 3 hộp 

ta mở hộp dán nhãn cả 2

nếu viên bi trong đó màu đỏ thì đó là hộp màu đỏ

trong 2 hộp còn lại nếu hộp dán nhãn đỏ là cả hai thì hộp còn lại dán nhãn trắng và màu trắng suy ra vô lí

vậy hộp dán nhãn đỏ đựng bi trắng và hộp nhãn trắng đựng cả 2 bi

tương tự với TH còn lại

Giải phương trình:$x^3+6x^2+5x-3-(2x+5)\sqrt{2x+3}=0$

 

Câu 1,5 điểm thi chuyên HV trên mình rất khó và hay.Đây là lời giải của thầy giáo trên mình 

ĐK:$x\geq \frac{-3}{2}$

Phương trình biến đổi như sau:

              $x^3+6x^2+5x-3-(2x+5)\sqrt{2x+3}=0$

       <=>$x^3+4x^2+5x-3-(2x+5)(x+1)-(2x+5)(\sqrt{2x+3}-x-1)=0$

       <=>$(x^2-2)(x+4+\frac{2x+5}{x+1+\sqrt{2x+3}})=0$

 Ta thấy:$x\geq \frac{-3}{2}$ thì $x+4+\frac{2x+5}{x+1+\sqrt{2x+3}}>0$

nên $x^2-2=0$ <=>$x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$

 

Mấy thấy cách giải của thầy hay nhưng hình như vẫn mò không có ý tưởng rõ nét  và ở chỗ cuối sao $x=-\sqrt{2}$ không thỏa mãn mong các bạn giải thích và tìm cách khác hay hơn

với $x\geq \frac{-3}{2}$ thì sao $x+4+\frac{2x+5}{x+1+\sqrt{2x+3}}> 0$ được

Cho a,b,c dương và abc=1.Chứng minh rằng:$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\geq 2\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

 

Chú ý: Tiêu đề không dài được nên có thể viết phần đầu tiêu đề rồi "..." ở cuối.

đặt $a+b+c=x,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=y$

bđt trở thành

$ab+3\geq 2(a+b)$

$\Leftrightarrow (a-2)(b-2)\geq 1$ (luôn đúng do $a\geq 3,b\geq 3$)

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=3xyz$

CMR: $\sum x^{2}y\geqslant 2(x+y+z)-3$

$x^{2}y+\frac{1}{y}\geq 2x$

Thiết lập các bđt tương tự ta có

$\sum x^{2}y\geq 2(x+y+z)-\sum \frac{1}{x}= 2(x+y+z)-3$

Ghpt  

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy-3y=4 & & \\ 2x-3y+xy=3 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} & x^{2}+y^{2}+xy-3y=4 &(1) \\ & 2x-3y+xy=3 & (2) \end{matrix}\right.$

nhân (2) với 3 rồi trừ vế vế ta có 

$(x-y)^{2}-6(x-y)+5=0$

đến đây dễ rồi

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=0$

Tìm Min T=$\frac{x+y}{2x-z}+\frac{z+y}{2y-z}$

MOD.Chú ý tiêu đề

đã có ở đây

Tìm các số nguyên dương n, k sao cho: $n^{3}-2=k!$

với k=0,1,2 thì pt vô nghiệm

với k>2 thì $k!\vdots 2$ nên$a^{3}\vdots 2$$\Rightarrow a^{3}\vdots 8$

$\Rightarrow n^{3}-2$ ko chia hết cho 4

$\Rightarrow k< 4$

với k=3 thì n=2(tm)

Trong các nghiệm (x,y) của bất phương trình: $5x^2+5y^2-5x-15y+8\leqslant 0$. Hãy tìm nghiệm có tổng x+3y nhỏ nhất.

$gt\Leftrightarrow 10(x^{2}+y^{2})-10(x+3y)+16\leq 0$

ta có

$(1+9)(x^{2}+y^{2})\geq (x+3y)^{2}$

$\Rightarrow (x+3y)^{2}-10(x+3y)+16\leq 0$

$\Rightarrow (x+3y-2)(x+3y-8)\leq 0$

$\Rightarrow x+3y_{min}= 2\Leftrightarrow x=\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a+b+c=2010. Tìm max biểu thức:

$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$

$6-A= 1-\frac{a}{a+1}+1-\frac{b}{b+1}+4-\frac{4c}{c+1}$

$= \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{4}{c+1}\geq \frac{16}{a+b+c+3}= \frac{16}{2013}$

$\Rightarrow A\leq \frac{12062}{2013}$

Cho x, y, z dương thoả mãn: xy+xz+yz=3 . CMR:

$\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\geq 1$

$\sum \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}= \sum \frac{x^{2}}{\sqrt{(x+2)(x^{2}-2x+4)}}$

$\geq \frac{2x^{2}}{x^{2}-x+6}\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{\sum x^{2}-\sum x+18}$

ta cần cm

$2(x+y+z)^{2}\geq \sum x^{2}-\sum x+18$

$\Leftrightarrow \sum x^{2}+4\sum xy+\sum x\geq 18$

ta có

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx= 3$

$x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}= 3$

ta có đpcm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^{2}}$ ( Với x, y là các số thực dương )

ta có $(x+y+1)^{2}\geq 3(xy+x+y)$

đặt $\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+x+y}=t(t\geq 3)$

$A= t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq \frac{10}{3}$

Cho $a.b.c$ là số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$:

Chứng minh rằng:

$P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq \frac{9}{10}$

$P= \sum \frac{a^{2}}{a+abc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+3abc}$

ta cần cm

$\frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+3abc}\geq \frac{9}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+3abc}\geq \frac{9}{10}$

$\Leftrightarrow 1\geq 27abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq 27abc$(luôn đúng)

gpt sau

 

$\frac{2x}{3x^2-x+2}-\frac{7x}{3x^2+5x+2}=1$

dễ thấy x=0 lkoong là nghiệm của pt

với x khác  0 thì

$pt\Leftrightarrow \frac{2}{3x-1+\frac{2}{x}}-\frac{7}{3x+5+\frac{2}{x}}=1$

đặt $3x+\frac{2}{x}= t$

đến đây dễ rồi

GPT: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{97-x}=5$

đặt $\sqrt[4]{x}= a$ 

$\sqrt[4]{97-x}= b$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & a+b =5 & \\ & a^{4}+b^{4}=97 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2}+2ab =25 & \\ & (a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=97 & \end{matrix}\right.$

đặt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2} =u & \\ & ab=v & \end{matrix}\right.$ là ra