$\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+xcosx}{1+xsinx}dx$

$\int_{1}^{4}\frac{xe^{x}\sqrt{e^{x}+x}}{e^{x}+x+\sqrt{e^{x}+x}}dx\:$

$I = \int\limits_1^2 {\frac{{3 - 4{{\ln }^2}x}}{{4{x^2}\sqrt {1 + \ln x} }}dx}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} e^{x}=2007-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}\\ e^{y}=2007-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \end{matrix}\right.$

@Mod : Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ latex

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} e^x=2007-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}\\ e^y=2007-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \end{matrix}\righ$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=2\frac{\sqrt{x}}{y}+2 \\ y(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3(x^2+1)} \end{matrix}\right.$

Chú ý tiêu đề 

Giải bất phương trình: 

$4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x+3}\leq (x-1)(x^{2}-2)$

Điều kiện $x\geq -1$

BPT$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}-8+2\sqrt{2x+3}-6-x^3+x^2+2x+12 \Leftrightarrow \frac{16(x-3)}{4\sqrt{x+1}+8}+\frac{8(x-3)}{2\sqrt{2x+3}+6}-(x-3)(x^2+2x+4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{16}{4\sqrt{x+1}+8}-2+\frac{8}{2\sqrt{2x+3}+6}-1-(x+1)^2))\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{-8\sqrt{x+1}}{4\sqrt{x+1}+8}+\frac{2-2\sqrt{2x+3}}{2\sqrt{2x+3}+6}-(x+1)^2))$

$\Leftrightarrow (x-3)(x+1)(\frac{-8}{(4\sqrt{x+1}+8)\sqrt{x+1}}-\frac{8}{(2\sqrt{2x+3}+6)(2+2\sqrt{2x+3})}-(x+1))\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x+1)\geq0$( biểu thức dài dài kia nhỏ hơn 0 với mọi x lớn hơn bằng -1 nhé)

$\Leftrightarrow x\geq 3$ hoặc $x\leq -1$

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm x=-1 hoặc $x\geq 3$

Giúp mình nhé. Thanks các bạn

Mọi người giúp mình chứng minh cái BĐT này, mình thấy nó hay được áp dụng để làm bài GTLN,GTNN mà lại không biết chứng minh

$\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{2xy}{(x+y)^2}$

Cho hàm số $y=x^4-2x^2-1(C)$ Tìm nhứng điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị (C

Vì đây là hàm bậc 4, tiếp tuyến tại các điểm phân biệt thì chưa chắc đã phân biệt nên mình đang băn khoăn 2 cách giải sau, các bạn xem hộ mình:

Cách 1:

Đồ thị hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng(hàm chẵn) nên số tiếp tuyến có hệ số góc k khác 0 kẻ từ một điểm trên Oy luôn là số chẵn. Đề bài cho số tiếp tuyến là 3 nên ta khẳng định phải có một tiếp tuyến có hệ số góc =0

Điều kiện cần : Giả sử từ $M(O;m)\in Oy$ kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) $\Rightarrow$ tồn tại 1 điểm $x_1$ sao cho

 $y'(x_1)=0$ 

$\Leftrightarrow x_1=0 x_1=\pm \frac{\sqrt2}{2}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0\in(C)$ : $y=(4x_0^3-4x_0)(x-x_0)+x_0^4-2x_0^2-1$ (1)

+) Với $x_0=0$ ta được phương trình tiếp tuyến y=-1

đt y=-1 đi qua M(0;m) nên m=-1

+) Với $x_0=\pm \frac{\sqrt2}{2}$ ta được phương trình tiếp tuyến $y=-\frac{7}{4}$

đt  $y=-\frac{7}{4}$ đi qua M(0;m) nên $m=-\frac{7}{4}$

Điều kiện đủ  Thay các tọa độ điểm M vào phương trình tiếp tuyến (1) xem có thỏa mãn phương trình có 3 nghiệm x_0 không (chỗ này mình thay nó ra phương trình bậc 4 làm sao để biết nó có mấy nghiệm nhỉ?)

Cách 2

Gọi đt đi qua M(0;m) có hệ số góc k có dạng $y=kx+m (d)$

(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

$\left\{\begin{matrix} k=4x^3-4x \\ x^4-2x^2-1=kx+m \end{matrix}\right.$

thế k ta được pt: $3x^4-2x^3+m+1=0$ (1)

Đặt $x^2=t\Rightarrow 3t^2-2t+m+1=0$ (2)

Từ M ke được 3 tiếp tuyến đến (C) $\Rightarrow$ phương trình (2) có 2 nghiệm: 1 nghiêm bằng 0 và 1 nghiêm dương

$\Rightarrow m=-1$

Thay m=-1 vào (2) =>nghiệm t=> nghiệm x: $x=0; x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Với 3 nghiệm này ta được 3 tiếp tuyến phân biệt (thỏa mãn)

ĐK: $-1\geq x\geq 1$

 

Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với:

 

$y(2y^2+1)=\sqrt{1-x}(3-2x)$

 

Đặt $\sqrt{1-x}=z \geq 0$ thì phương trình trên tương đương 

 

$y(2y^2+1)=z(1+2z^2)$

 

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 

$\sqrt{1-x}+1=2x^2+2x\sqrt{1-x^2}$

 

Do đó ta có: $y=z$ hay $y= \sqrt{1-x}$

 

Đến đây có thể nhân liên hợp để tìm ra nghiệm

Bạn có thể hướng dẫn cụ thể cho mình cách giải sau khi thay $y=\sqrt{1-x}$ vào phương trình (2) được không? Mình làm mãi không được, hình như vô nghiệm thì phải

Cho $y= \frac{x+3}{x-2} (C)$ ; $d: y=-x+m+1$. Tìm m để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $\widehat{AOB}=120^{\circ}$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 6x+y+10\geq 0\\ 2x+3\geq 0\\ y+1\geq 0\\ 3-2x\geq 0\\ 3+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình thứ nhất của hệ:  $2\sqrt{6x+y+10}=3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: 

 

$\left ( \sqrt{3}.\sqrt{3(2x+3)}+\sqrt{y+1} \right )^{2}\leq 4(6x+y+10)$

 

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+1} \leq 2\sqrt{6x+y+10}$

 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra hay $\sqrt{\frac{3(2x+3)}{3}}=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 2x+3=y+1$

 

Đến đây thế vào phương trình thứ hai để tìm nghiệm

Mình có thể đặt ẩn phụ để tìm ra $2x+3 = y+1$ nhưng mà lúc thay vào phương trình (2) để giải là cả một vấn đề đấy

\begin{cases}{2\sqrt{6x+y+10}-3\sqrt{2x+3}=\sqrt{y+1}}\\3x-5+4\sqrt{3-2x}=\frac{3y+6}{\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+y}+2}\end{cases}

$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2} \epsilon R$ và $z \epsilon \mathbb{C}$ trừ $\mathbb{R}$

Giả sử $I(a,b,c)$ là tâm mặt cầu

 

Từ hai giả thiết tâm thuộc $(P)$, qua $A$ và tiếp xúc $(Q)$ dễ suy ra được hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} a+b-c+6=0\\ 3\sqrt{(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)^{2}}=|2a-2b+c+3| \end{matrix}\right.$

 

Có $(S):(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)$

 

$(d):\left\{\begin{matrix} x=-3+3t\\ y=1-2t\\ z=1-t \end{matrix}\right.$

 

Thay $x;y;z$ của $(d)$ vào $(S)$, rút gọn ta được:

 

$7t^{2}+(3a+2b+c-6)t+4a-2b-5=0$ và phương trình này phải có 2 nghiệm phân biệt là tọa độ $A,B$ theo tham số là $t_{1};t_{2}$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\sqrt{14(t_{2}-t_{1})^{2}}$

 

$\Rightarrow AB^{2}=(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2}=\frac{1}{49}$

 

Áp dụng $Viète$, ta được $(3a+2b+c-6)^{2}-28(4a-2b-5)=1$

 

Vậy ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} a+b-c+6=0\\ 3\sqrt{(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-4)^{2}}=|2a-2b+c+3|\\(3a+2b+c-6)^{2}-28(4a-2b-5)=1 \end{matrix}\right.$

 

Về lý thuyết $3$ ẩn ta cần $3$ phương trình nhưng hệ này cũng...khá phức tạp, có bạn nào có cách khác không ?

 

Mình cũng ra được hệ này nhưng nhìn thấy sợ quá nên không làm tiếp nữa

Gọi I là trung điểm của AB => $\vec{IA} + \vec{IB} =\vec{0}$

$MA^2 + MB^2 = (\vec{MA})^2 + (\vec{MB})^2 =(\vec{MI}+\vec{IA})^2 + (\vec{MI}+\vec{IB})^2= 2MI^2 + IA^2 + IB^2 +2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})  = 2MI^2 + IA^2 + IB^2$

$=>( MA^2 + MB^2 )min <=> MI min$ <=> M là hình chiếu của I lên (P)

Đến đây dẽ rồi bạn tự làm nhá

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x+y-z+6=0$ và $(Q):2x-2y+z+3=0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(P)$, đi qua điểm $A(1;-2;4)$, tiếp xúc với $(Q)$ và cắt đường thẳng $d: \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$ tại hai điểm B, C sao cho $BC=\frac{\sqrt{14}}{7}$

$(x+1)(x-3)\sqrt{-x^2+2x+3}< 2-(x-1)^2$

$$\left\{\begin{matrix} y+2\sqrt{x-y} =9- x\\ y\sqrt{x-y} + 9 =0\end{matrix}\right.$$

Anh Giang và truclamyentu lập ra topic ôn tập này hay thế, vừa để các anh chị lớp 12 luyện thi vừa để bọn lớp 10 và 11 tụi em trau dồi để đạt 10 phẩy ( theo lời Bác Ba Phi)
Em xin chém trước bài của anh Galois nhé : Trong mp Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC d1: x+y+1=0. Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x-2y-2=0. Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác .
Giải : Ta có pt BC(d1)x+y+1=0 và pt đường cao từ B(d2)x-2y-2=0, pt đường cao từ C(d3)
Ta có điểm M(2;1) thuộc (d3) nên pt hệ số góc là :y-1=k(x-2) hay kx-y+1-2k=0(d3)
Kí hiệu cos(A;B) là cos của góc hợp giữa đường thẳng A và B. Do tam giác ABC cân tại A và cả 3 góc đều là góc nhọn nên ta có :
$cos(d_2;d_1)=cos(d_3;d_1) \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {1^2 + 1^2 } \sqrt {1^2 + 2^2 } }} = \dfrac{{\left| {k - 1} \right|}}{{\sqrt {1^2 + 1^2 } \sqrt {k^2 + 1^2 } }} \\ \Leftrightarrow 5(k-1)^2=k^2 +1 \\ \Leftrightarrow 4k^2 -10k +4=0 \\ \Leftrightarrow k=2 hay k=\dfrac{1}{2}$
Xét k=1/2 ta có pt(d3) là x-2y=0( loại do (d3) song song (d2)x-2y-2=0). Xét k=2 ta có pt(d3):2x-y-3=0(nhận)
Từ đó tính được B(0;-1) và C(2/3;-5/3). Do đó ta tìm được phương trình AB:x+2y+2=0 và phương trình AC: 6x+3y+1=0.
Nếu ai có cách hay hơn thì em xin thọ giáo . Để kết thúc bài viết em xin post lên 1 bài khá hay cho topic thêm phong phú :
Trong mp Oxy, cho A(1;1) . Hãy tìm tọa độ điểm B trên đường thẳng y=3 và điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC là tam giác đều .

Bạn làm thế này nếu như đường thẳng (d3) không có hệ số góc (y=b) thì đã bỏ sót một trường hợp rồi. Khi làm bài với hệ số góc phải gọi 2 trường hợp

TH1: Đường thẳng có dạng $y= b$ (không có hệ số góc)

TH2: Đường thẳng có dạng $y=k(x-x_0)+y_0$

Bài này may là TH1 không thỏa mãn nên đáp án của bạn vẫn đúng. Mình xin trình bày một cách nữa

Gọi H là trực tâm tam giác ABC

(BH): $x-2y-2=0$

(BC):$x+y+1=0$

Qua M kẻ đường thẳng //BC cắt AH tại K, cắt BH tại N. Do ABC cân nên K là trung điểm của MN

PT đường thẳng MN đi qua $M(2;1)$ và song song với BC: $x+y-3=0$$N=MN\cap BH$ nên $N(\frac{8}{3};\frac{1}{3})$

K là trung điểm của MN => $K(\frac{7}{3};\frac{2}{3})$

PT đường thẳng AH đi qua $K(\frac{7}{3};\frac{2}{3})$ và vuông góc với BC: $x-y-\frac{5}{3}$

$H=AH\cap BH=> H(\frac{4}{3};\frac{-1}{3})$;$B=BC\cap BH => B(0;-1)$

$\vec{MH}=(\frac{-2}{3};\frac{-4}{3})$

Phương trình đường thẳng AB đi qua $B(0;-1)$ nhận $\vec{MH}$ là VTPT :${\color{Red} {x+2y+2=0}}$

Phương trình đường cao hạ từ C đi qua $M(2;1)$và  $H(\frac{4}{3};\frac{-1}{3})$ là :  $2x-y-3=0$

$C=BC\cap CH$ => $C(\frac{2}{3};\frac{-5}{3})$

Phương trình đường thẳng AC đi qua $C(\frac{2}{3};\frac{-5}{3})$ và vuông góc với BH :${\color{Red} {6x+3y+1}}$

Giải bất phương trình

$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}>1$$

Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?

Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có

$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{15-x}\leq \sqrt{2(x^{2}-6x+9+15-x)}=\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$      $(1)$

Mặt khác $x-3\leq |x-3|=\sqrt{x^{2}-6x+9}$                                                                     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $x-3+\sqrt{15-x}\leq\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$

Dấu "=" xảy ra $\iff x = 3$

Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=3}$

Mình chưa hiểu lắm cái chỗ bất đẳng thức (1). Với lại thay x=3 vào có thỏa mãn đâu, chắc nhầm cái chỗ giải dấu '=' xảy ra