GHPT : $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-2y^2=0\\ xy+3y^2+x=3 \end{matrix}\right.$

$$PT(1)\iff (x-y)(x+2y)=0$$

Giải bất phương trình : $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}\geq x^{2}-x+2$

Ta có: $$\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}\le \dfrac{x^2+x-1+1}{2}+\dfrac{-x^2+x+2}{2}=x+1 \\ \implies x^2-x+2\le x+1\iff (x-1)^2\le 0\iff \boxed{x=1}$$

Đặt$\begin{cases}a=\sqrt{x+2}\geq0\\b=\sqrt{x+6 }\geq0\end{cases}$
Phương trình thành: $\begin{cases}3(2+a)=b^2+a^2-8+b\\b^2-a^2=4\end{cases}$

$x^2-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000$

$\text{Ta giải phương trình :} \  x^{2}-x-a\sqrt{1+8ax}=a, \ \left(a=1000 \right) \\ \text{Ta quy về giải hệ :} \ \left\{\begin{matrix} {x}^{2}-x-ay=a &  & \\  y=\sqrt{1+8ax} &  &  \end{matrix}\right.\left(y\geq 0 \right)\iff \left\{\begin{matrix} {x}^{2}-x-ay =a& (3) & \\   {y}^{2}-8ax=1& (4) &  \end{matrix}\right. \\ \text{Lấy: 4.(3)-(4)}\implies \left(y-2x+1 \right)\left(y+2x+4a-1 \right)=0 \\ \iff \left[\begin{matrix} y-2x+1=0 & & \\ y+2x+4a-1=0 & \left(VT>0 \right) & \end{matrix}\right.\iff y=2x-1 \\ \iff  \sqrt{1+8ax}=2x-1\iff x=2a+1 \\ \text{Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:} \ \boxed{x=2001}$

Cho$x> 0,y> 0,z> 0$ thỏa mãn $x.y.z=1$. Tìm max  $A=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

HD: Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ thì:

$$(x+y+1)(x+y+z^2)\ge (x+y+z)^2\implies \dfrac{1}{x+y+1}\le \dfrac{x+y+z^2}{(x+y+z)^2}$$

http://diendan.hocma...ad.php?t=341723

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Phương trình có 2 nghiệm???Nghiệm của hệ đâu???

Cậu còn tai hại hơn tại sao $\frac{1}{4}=0$?

Mình nghĩ nó phải thế này

$0=3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 0\geq \frac{1}{4}$(vô lí)

ờ, mình gõ nhầm cái dấu bằng đó là dấu $>$

Ý của người viết có lẽ là để $0\geq \frac{1}{4}$ để dẫn đến mâu thuẫn

Tất nhiên là mình hiểu nhưng trong toán học không được viết như thế , dễ làm người đọc hiểu nhầm. Nếu mà như thế thì phải viết viết $3(x-\frac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}=0$( vô lý)

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y& \end{matrix}\right.$

Xét (1)$\Leftrightarrow 8x^{2}+12y^{2}-8xy-12xy=0\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow$

Vậy hoặc x=y hoặc x=1,5y

với x=y ta thế vào $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Với x=1,5y ta có $4x^{2}-6x+1=(1,5x)^{2}-4,5x\Leftrightarrow 1,75x^{2}-1,5x+1=0$ cũng vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm thực

Với $x=1,5y$ thì $4(1,5y)^2-6.1,5y+1=y^2-3y$ chứ nhỉ?? Bạn nhầm $x=1,5y$ với $y=1,5x$ rồi

MSS19
$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-2xy-3xy+3y^{2}=0 \Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0 \Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0 \Rightarrow 2x-3y=0$
hoặc $x-y=0$
Nếu $x-y=0$ thì $x=y$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0 \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x^{2}-x+ \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow$

vô lý
Nếu $2x-3y=0$ thì $x= \frac{3y}{2}$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4.( \frac{3y}{2})^{2}-6. \frac{3y}{2}+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1 =0 \Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0 \Leftrightarrow 4y(2y-1)-(2y-1)=0 \Leftrightarrow (4y-1)(2y-1)=0 \Rightarrow 4y-1=0$ hoặc $2y-1=0 \Rightarrow y= \frac{1}{4}$
hoặc $y= \frac{1}{2}$

mà $x= \frac{3y}{2} \Rightarrow$

Với $y= \frac{1}{4}$

thì $x= \frac{3}{8}$

Với $y= \frac{1}{2}$

thì $x= \frac{3}{4}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x= \frac{3}{8};y= \frac{1}{4}$

và $x= \frac{3}{4};y= \frac{1}{2}$
 

Đầu tiên, đoạn bôi đỏ đầu tiên , bạn viết $3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4}$ , cái này dễ làm người đọc hiểu nhầm là $0\ge \dfrac{1}{4}????$

Đoạn thứ 2 có vẻ hơi khó hiểu nhỉ, cái chữ "hoặc" tự nhiên nhảy ra giữa dòng là như thế nào??? Có lẽ đoạn này lỗi latex???

$\left(a^{2}+2 \right)\left(b^{2}+2 \right)=\left(ab-1 \right)^{2}+\frac{1}{2}\left(a-b \right)^{2}+\frac{3}{2}\left(a+b \right)^{2}+3\geq \frac{3}{2}\left[\left(a+b \right)^{2} +2\right]$


$ \left(a^{2}+2 \right)\left(b^{2}+2 \right)\left(c^{2}+2 \right)\geq \frac{3}{2}\left[\left(a+b \right)^{2}+2 \right]\left(c^{2}+2 \right)\geq \frac{3}{2}\left(a\sqrt{2}+b\sqrt{2}+c\sqrt{2} \right)^{2}$


$\implies \left(a^{2}+2 \right)\left(b^{2}+2 \right)\left(c^{2}+2 \right)\geq 3\left(a+b+c \right)^{2}\geq 9\left(ab+bc+ca \right),$

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Lời giải của MSS 33

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \ \ \ (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \ \ \ (2)& & \end{matrix}\right.$$

Nhận thấy $x=0;y=0$ không phải nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế phương trình $(1)$ cho $y^2$ ta được:

$$8\left(\frac{x}{y}\right)^2-20\frac{x}{y}-12=0\iff 2\left(\frac{x}{y}\right)^2-5\frac{x}{y}-3=0 \ \ \ (\star)$$

Đặt $\frac{x}{y}=a$, phương trình $(\star)$ trở thành:

$$2a^2-5a+3=0\iff \begin{bmatrix}a=1 & \\ a=\dfrac{3}{2}& \end{bmatrix}\implies \begin{bmatrix}x=y & \\ x=\dfrac{3y}{2}& \end{bmatrix}$$

$TH_1: \ \ x=y$, Thay vào phương trình $(2)$ ta được:

$$4x^2-6x+1=x^2-3x\iff 3x^2-3x+1=0$$

Phương trình trên vô nghiệm do $\Delta =-3<0$

$TH_2: \ \ x=\dfrac{3}{2}$, thay vào phương trình $(2)$ ta được:

$$4.\left(\frac{3y}{2}\right)^2-6.\frac{3y}{2}+1=y^2-3y\iff 8y^2-6y+1=0 \iff \begin{bmatrix}y=\frac{1}{2}& \\ y=\dfrac{1}{4}& \end{bmatrix}$$

Với $y=\dfrac{1}{2}\implies x=\dfrac{3.\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{3}{4}$

Với $y=\dfrac{1}{4}\implies x=\dfrac{3.\dfrac{1}{4}}{2}=\dfrac{3}{8}$

Thử lại: Thoả mãn cả 2 nghiệm.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : $(x;y)=\left(\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right);\left(\frac{3}{8};\frac{1}{4}\right)$

________________________________
$d = 10$
$S = 44$

Áp dụng pp này!!!

http://diendan.hocma...869#post2440869

làm như 2 bạn ko có dấu =

Thì bài này thực ra không có dấu bằng mà!!!

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng : 

$\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq14$

Giải phương trình :$\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^{2}}{2}$

Tham khảo: http://diendantoanho...rt1-x2-fracx24/

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$. CMR: $2(x+y+z)-xyz\leqslant 10$

http://diendan.hocma...d.php?p=2348601

Mình nhớ mang máng bài 2 là 1 bài trong đề thi hsg tỉnh thanh hoá 2011,2012 gì đó?Mỗi tội k nhớ lời giải:

Chia cả 2 vế cho xyz.Viết bdt lại thành 

$\sum \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{4-xy}\geq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}(\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz})\geq 2$

AD $\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz}\geq \frac{4}{8-x(y+z)}=\frac{4}{8-3x+x^{2}}$

Do đó ta chỉ cần cm $\sum \frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{2}$

Dùng tiếp tuyến hoặc cân bằng hệ số ta có $\frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{36}(x-1)+\frac{1}{6}$

ĐẾN ĐÂY LÀ OK RÒi

Em thắc mắc tí!!!

$\sum \frac{1}{x}(\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz})\geq 2\iff \sum \frac{1}{x}.\frac{4}{8-3x+x^2}\ge 2$

Vì sao lại chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{2}$

 

2/ Cho a,b,c>0 thoả mãn x+y+z=xyz

Chứng minh rằng:$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leqslant xyz$

1. Cho $\begin{cases}a>1;b>1\\a+b\le 4\end{cases}$. Tìm Min của $P=\dfrac{a^4}{(b-1)^3}+\dfrac{b^4}{(a-1)^3}$

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh:

$$\sum\frac{x(y+z)}{4-yz}\ge 2xyz$$

$$pt \iff (6x + 2)\sqrt {2x^2 - 1} = 10x^2 + 3x - 6 \\ \implies (6x+2)^2(2x^2-1)=(10x^2+3x-6)^2 \\ \iff 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40 \\ \iff (7x^2-4x-8)(4x^2+4x-5)=0$$

Giải phương trình:

$\sqrt{5x^{2}+14x+9}-5\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-x-20}$

$pt\iff 5{x^2} + 14x + 9 = {x^2} + 24x + 5 + 10\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 20} \right)}$
$\iff 5\sqrt{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)} = 2x^2 - 5x + 2 \\ \iff 5\sqrt{(x+1)(x+4)(x++5)}=2(x^2-4x-5)+3(x-4)$
Chia 2 vế cho $x + 4 \neq 0\left( {x \ge 5} \right)$, ta được:
$2\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}} - 5\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} + 3 = 0$
Đặt $\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{x + 4}}} = a\left( {a \ge 0} \right)$

vẫn còn phần a) bác nào giải hộ với

giải hệ $\left\{\begin{matrix} 36x^{2}y-60x^{2}+25z=0\\ 36y^{2}z-60y^{2}+25x=0\\ 36z^{2}x-60z^{2}+25y=0 \end{matrix}\right.$

$y=\frac{60x^2}{36x^2+25}$ nên $y\geq 0$. Tương tự $x,z\geq0$.

$TH_1:$ Dễ thấy $x=y=z=0$ là nghiệm.

$TH_2:$ Xét $x,y,z>0$.

Hệ trên suy ra:$$xyz=\frac{60^3x^2y^2z^2}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}$$
$$\Leftrightarrow 1=\frac{60^3xyz}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}\leq \frac{60^3xyz}{(2.6.5.x)(2.6.5.y)(2.6.5.z)}=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{6}$

Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0)$ và $\left ( \frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right )$

$Cho$ $a,b,c >0$ $tm$ $abc=1$ 
$Cmr$ $P=\frac{1}{a^{2}+c+1}+\frac{1}{b^{2}+a+1}+\frac{1}{c^{2}+b+1}\leq 1$

$(a^2+c+1)(1+c+b^2)\ge (a+b+c)^2\implies \dfrac{1}{a^2+c+1}\le \dfrac{b^2+c+1}{(a+b+c)^2}$