Các bạn thân mến,

 

Diễn đàn vừa được nâng cấp nên có thể còn lỗi. Nếu các bạn gặp phải, xin vui lòng thông báo cho BQT ở đây.

 

Xin cảm ơn các bạn. 

Mình chưa thấy được bất kì sự thay đổi nào sau các đợt nâng cấp, ngoại trừ việc vào diễn đàn chậm hơn hẳn.

Đợt này mình phải mất tới 5 phút mới vào được diễn đàn.

Diễn đàn hoạt động trong nước nên chắc không phải tại đứt cáp quang biển rồi.

Vậy cho mình hỏi là do đâu?

$a,$ Tìm chín số nguyên dương có tổng các nghịch đảo bằng $1$.

$b,$ Có tồn tại hay không sáu, bảy, tám số có tính chất trên?

Vào tối hôm qua khi mình truy cập vào diễn dàn thì bị lỗi này:

Mình đã thử dùng cả Chrome và IE nhưng đều bị lỗi tương tự. Lỗi xảy ra ở cả chế độ Windows 8 và destop.

Giả sử $a; b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}b$ là một số nguyên. Gọi $d$ là ước số chung của $a$ và $b$. Chứng minh:

$d\leq \sqrt{a+b}$

Ta đặt $P= \frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}= \frac{a^2+b^2+a+b}{ab}= \frac{(a+b)^2+a+b}{ab}-2$

Vì $P\in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{(a+b)^2+a+b}{ab}\in \mathbb{N}$

Vậy đặt $(a+b)^2+a+b=mab$ $(*)$ với $m\in \mathbb{N}^{*}$.

Do $d$ là ước chung của $a$ và $b$ nên $a=pd; b=qd (p;q\in \mathbb{N})$.

Do đó $(*)$ trở thành $(p+q)^2.d^2+a+b=3pqd^2$

           $\Rightarrow a+b=d^2\left [ mpq-(p+q)^2 \right ]=nd^2$ (với $n=mpq-(p+q)^2$)

Mà $a; b; d$ là các số nguyên dương nên $n$ phải là số nguyên dương, do đó $n\geq 1$, vì thế

$a+b= nd^2\geq d^2\Leftrightarrow \sqrt{a+b}\geq d $

Phép chứng minh hoàn tất.

Giả sử $a; b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}b$ là một số nguyên. Gọi $d$ là ước số chung của $a$ và $b$. Chứng minh:

$d\leq \sqrt{a+b}$

 mình có bảo là chứng minh kiểu đó đâu......... chỉ là tham khảo thôi mà

Bài của bạn là chứng minh bất đẳng thức $Nesbitt$ ba biến, bđt này hầu như không ai là không chứng minh được. Nó hoàn toàn không liên quan đến bài của mình thì làm sao ''tham khảo'' được đây?

AM-GM.PNG

Spoiler

@ngại viết quá
@Phương : Công nhận Hoàng thẳng thắn thật

Bạn lưu ý đọc lại đề hộ mình, nếu là chứng minh $Netbitts$ như bạn làm thì mình đã ko hỏi làm gì. Mà bạn không nghe bạn Hoàng nói à: đề cho không phải để ngắm đâu.

Mấy bài này chỉ cần biến đổi biểu thức một chút rồi đặt ẩn phụ là ra. Quan trọng nhất và khó nhất là phần đặt điều kiện cho ẩn.

Thử làm xem!

Bạn làm ví dụ một bài xem?

Cho $x^2+y^2=1$. Tìm $max$ và $min$ của $S=(2-x)(2-y)$

Giải phương trình $-x^2+3x+\sqrt{2-x^{4}}-3=0$

Tìm $min$ $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$ với $a\geq b\geq c> 0$

Cho $a; b; c$ là các số thực dương. Chứng minh:

$2(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})\geq a^{2013}(b+c)+b^{2013}(a+c)+c^{2013}(a+b)$

Biết rằng $x^{2}+y^{2}=x+y$. Tìm GTLN và GTNN của A = x - y.

*Tìm $max$ $A$ như sau:

Từ $x^2+y^2=x+y\Rightarrow y=x^2+y^2-x\Rightarrow A=x-y= 2x-x^2-y^2= 1-y^2-(x-1)^2\leq 1$

Vậy $max$ $A=1$ đạt được khi và chỉ khi $x=1; y=0$

*Tìm $min$ $A$ như sau:

Từ $x^2+y^2=x+y\Rightarrow x=x^2+y^2-y\Rightarrow x-y=x^2+y^2-2y=x^2+(y-1)^2-1\geq -1$

Vậy $min$ $A=-1$ đạt được khi và chỉ khi $x=0; y=1$

ở đâu ra dc $\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left ( x+y \right )$ thế

$\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^{2}}= \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$ (do $(x-y)^2\geq0$) 

Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của biểu thức $C=ab+2bc+3ca$

$C=ab+2bc+3ca=(ab+ac)+2(bc+ca)=a(b+c)+2c(a+b)\leq\frac{(a+b+c)^2}{4}+2\frac{a+b+c)^2}{4} (AM-GM)=\frac{3}{4}$

Vậy $max C=\frac{3}{4}$$\Leftrightarrow a=c=\frac{1}{2}; b=0$

 

Ta nhận thấy $n,n+1,n+2,...,n+7$ tạo thành thặng dư đầy đủ mod 8 nên tồn tại các số chia cho $8$ dư $0,2,4,6$ nên $$\left.\begin{matrix}

8.2.4.2

\end{matrix}\right|a=n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( n+7 \right )\rightarrow a=128k$$

Giả sử tồn tại $x,y$ thỏa $x^{2}+y^{2}=128k+7!$. Khi đó $$\left.\begin{matrix}

4

\end{matrix}\right|x^{2}+y^{2}\rightarrow \left.\begin{matrix}

2

\end{matrix}\right|x,y\rightarrow x=2x_{1},\;y=2y_{1}$$Thế vào phương trình đầu suy ra $$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=32k+1260$$Tương tự suy ra $$x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=8k+315\rightarrow x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\equiv 3\left ( mod\;3 \right )$$ Điều này vô lý do scp chia cho $4$ dư $04 hoặc $1$. vậy điều giả sử là sai

 

Dẫn đến không tồn tại $x,y$ thỏa $n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( n+7 \right )+7!=x^{2}+y^{2]$

 

Cho mình hỏi bạn viết gì vậy?

1, Cho đa thức $f(x)$=$ax^2+bx+c$ và số $p$ thỏa mãn với mọi giá trị của $x$ ta luôn có $\left | a+b+c \right |\leq p$

Tìm giá trị của $q$ nhỏ nhất để bất đẳng thức $\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |\leq qp$ luôn đúng.

2, Cho các số thực không âm $x; y; z$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Chứng minh $\sum \sqrt{x+yz}\geq 1+\sum \sqrt{xy}$

1, Cho $x$ nhận các giá trị $-1; 0; 1$ ta được các bất đẳng thức sau: $\left | c \right |; \left | a+b+c \right |; \left | a-b+c \right |\leq p$

Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: $2p\geq \left | a+b+c \right |+\left | -(a-b+c) \right |\geq \left | 2b \right |\Rightarrow \left | b \right |\leq p$

Mặt khác $\left | a-b+c \right |\leq p\Rightarrow -p\leq a-b+c\leq p;$ (1)

Tương tự $-p\leq b\leq p $(2)$; -p\leq c\leq p$ $(3)$.

Trừ vế với vế các bđt ngược chiều của $(2)$ và $(3)$ ta được $-2p\leq b-c\leq 2p (4)$

Cộng vế với vế các bđt cùng chiều của $(1)$ và $(4)$ ta được: $-3p\leq a\leq 3p\Rightarrow \left | a \right |\leq 3p$

Vậy $\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |\leq 5p$

Ta lại thấy với $q<5$ thì Bđt có thể sai, chẳng hạn như cho $x=1; b=c=p; a=3p$ thì $\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |= 5p>qp$

Vậy q $min=5$

2, Do $x+y+z=1$ nên $x+yz=x(x+y+z)+yz= (x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^{2} (Bunyakovsky)\Rightarrow \sqrt{x+yz}\geq x+\sqrt{yz}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các bđt cùng chiều là được.

1, Cho đa thức $f(x)$=$ax^2+bx+c$ và số $p$ thỏa mãn với mọi giá trị của $x$ ta luôn có $\left | a+b+c \right |\leq p$

Tìm giá trị của $q$ nhỏ nhất để bất đẳng thức $\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |\leq qp$ luôn đúng.

2, Cho các số thực không âm $x; y; z$ thỏa mãn $x+y+z=1$

Chứng minh $\sum \sqrt{x+yz}\geq 1+\sum \sqrt{xy}$

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

 $GT\Leftrightarrow (x^2+2xyz+y^2z^2)+2(z^2+2xyz+x^2y^2)+3(x^2y^2z^2-2xyz+1)= 9\Leftrightarrow (x+yz)^2+2(xy+z)^2+3(xyz-1)^2=12\Leftrightarrow 3(xyz-1)^2\leq 12\Leftrightarrow -2\leq xyz-1\leq 2\Rightarrow xyz\geq -1$. .

Cho các số $x; y; z$ thỏa mãn đẳng thức $x^2+2z^2+2x^2y^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=0$

Tìm $min$ $xyz$.

Chứng minh rằng số $n(n+1)(n+2)...(n+7)+7!$ không thể phân tích thành tổng của hai số chính phương với mọi $n$ tự nhiên cho trước.

Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là số nguyên và có số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Tìm $x; y$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời $3x+1\vdots y$ và $3y+1\vdots x$.

Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Cho các số thực dương $a; b; c$ thảo mãn $abc=2$. Chứng minh:

$a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+a\sqrt{b+c}$