Lưu ý là có đk :a+b+c=1 rồi thay vào thôi

Câu a: Do a,b,c không là 3 canh của 1 tam giác nên giả sử :$a+b\leq c$.Ta có :A=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b+a}{c})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+\frac{b+a}{c}+\frac{4c}{a+b}=5+(\frac{a+b}{c}+\frac{c}{a+b})+\frac{3c}{a+b}\geq 5+2\sqrt{\frac{a+b}{c}.\frac{c}{a+b}}+\frac{3c}{a+b}=7+\frac{3c}{a+b}\geq 7+\frac{3c}{c}=10$(đpcm) 

 Dấu = xảy ra khi a=b=$\frac{c}{2}$

Câu b: Gỉa sử a,b,c không là 3 canh 1 tam giác nhọn .Ta có :$a+b\leq c$ .Ta có =$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})+(\frac{a^2+b^2}{c^2})+c^2.(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq 3+2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{a^2}}+\frac{a^2+b^2}{c^2}+c^2.(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq 5+\frac{(a+b)^2}{2c^2}+c^2.\frac{2}{ab}\geq 5+\frac{(a+b)^2}{2c^2}+\frac{8c^2}{(a+b)^2}=5+(\frac{(a+b)^2}{2c^2}+\frac{c^2}{2(a+b)^2})+\frac{15c^2}{2(a+b)^2}\geq 5+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{15c^2}{2c^2}=6+\frac{15}{2}> 10$

(vô lý do trái với giả thiết) 

 Vậy a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nhọn.

Trừ pt đầu cho pt sau ta có :$x^3-y^3-4(x^2-y^2)+3(x-y)+(x^2-y^2)=0< = > x^3-y^3-3(x^2-y^2)+3(x-y)=0 < = > (x-y)(x^2+xy+y^2-3(x+y)+3)=0$

-Nếu x=y .Thay vào pt đầu $= > x^3-5x^2+3x=0< = > x(x^2-5x+3)=0$. Tìm x sau đó tìm y

-Nếu $x^2+xy+y^2-3(x+y)+3=0$ .

Do $x^2+xy+y^2\geq \frac{3(x+y)^2}{4}= > x^2+xy+y^2-3(x+y)+3\geq \frac{3(x+y)^2}{4}-3(x+y)+3=3.(\frac{(x+y)^2}{4}-(x+y)+1)=3.(\frac{x+y}{2}-1)^2\geq 0$

nên dấu = xảy ra khi x+y=2.Thay vào pt đầu là ra

Từ điều kiện này dễ dàng suy ra tam giác ABC vuông tại A nên A thuộc đường tròn đường kính BC cố định

(a): Đặt $\sqrt{x}=a,\frac{1}{\sqrt{x}}=b= > ab=1$ .Phương trình $< = > 5a+\frac{5b}{2}=2a^2+\frac{b^2}{2}+4$.Rút a theo b rồi thay vào pt tìm ra nghiệm

Áp dụng bdt Mincopxki ta có:$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}=\sqrt{(b-\frac{a}{2})^2+\frac{3a^2}{4}}+\sqrt{(\frac{c}{2}-b)^2+\frac{3c^2}{4}}\geq \sqrt{(b-\frac{a}{2}+\frac{c}{2}-b)^2+(\frac{(a\sqrt{3}+c\sqrt{3})^2}{4})}=\sqrt{\frac{(c-a)^2}{4}+\frac{3(a+c)^2}{4}}=\sqrt{a^2+c^2+ac}$(đpcm)

Đặt $x^2-2x+1=a,x^2+2x+1=b$ .PT $< = > a^b=b^a$$< = > a=b$ $< = > x^2-2x+1=x^2+2x+1< = > x=0$

Ta có:$x^3+8y^3-4xy^2=1= > x^3y+8y^4-4xy^3=y=2x^4+8y^4-2x= > x^3y-4xy^3+2x-2x^4=0$$= > x(x^2y-4y^3+2-2x^3)=0$

-Nếu x=0 $= > 8y^3=1= > y=\frac{1}{2}$

-Nếu x khác 0 thì $x^2y-4y^3+2-2x^3=0$.Rút ẩn y rồi thay vào là ra

Vẽ đường cao AD,BE,CF.Theo tính chất đối xứng ta có:$\angle ANB=\angle AMB$. Theo tính chất góc nội tiếp ta có:$\angle AMB=\angle ACB$. Mà $\angle ACB=\angle BHD$(cùng phụ $\angle CBE$)

$= > \angle ANB=\angle BHD= > ANBH$ nội tiếp. $= > \angle NHB=\angle NAB=$\angle MAB$(do góc nội tiếp và tính chất đối xứng)

-CM tương tự $\angle CHE=\angle MAC= > \angle NHB+\angle EHC=\angle BAM+\angle CAM=\angle BAC$.

-Mặt khác ta có:$\angle BHD=\angle BCE=\angle BCA,\angle CHD=\angle CBF=\angle CBA= > \angle BHD+\angle DHC=\angle BCA+\angle CBA=180-\angle BAC= > \angle BHD=180-\angle BAC= > \angle BHC+\angle NHB+\angle EHC=180-\angle BAC+\angle BAC=180= > \angle BHC+\angle NHB+\angle EHC=180$ $= > N,H,E$ thẳng hàng

(a) :  Kéo dài HE cắt AC ở N. Do $\angle AHB=\angle AEB=90= > AEHB$ nội tiếp $= > $\angle AEN=\angle ABH$.

-Do AO=OC nên $\Delta AOC$ câm ở O $= > \angle EAN=\angle OAC=\frac{180-\angle AOC}{2}=\frac{180-2\angle ABH}{2}=90-\angle ABH=\angle BAH= > \angle EAN=\angle BAH= > \angle EAN+\angle AEN=\angle \angle BAH+\angle ABH=90= > \angle AEN+\angle EAN=90= > \angle ANE=90=>$ HE vuông góc với AC.

(b): Do AEHB nội tiếp nên $\angle HEF=\angle ABC$. Tuong tu $\angle HFE=\angle ACB$ $= > \Delta HEF\infty \Delta ABC$

(c):Gọi K,D theo thứ tự là trung điểm của AB,AC. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có: $KH=KE=\frac{1}{2}AB$. Mà BI=IC,BK=KA $= > KI$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ $= > KI$ song song AC .Mà HE  vuông góc với AC (chứng minh câu a) $= > KI$ vuông góc HE .Do tam giác KHE cân tại K có KI là đường cao nên KI là trung trực HE $= > IE=IH$ .

-CM tương tự $IH=IF$ $= > IH=IE=IF$ $= > I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$

Áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có :$A^2=(a+b+c-abc)^2=[a(1-bc)+(b+c).1]^2\leq (a^2+(b+c)^2)((bc-1)^2+1)=(a^2+b^2+c^2+2bc)(b^2c^2-2bc+2)=(3+2bc)(b^2c^2-2bc+2)=2b^3c^3-b^2c^2-2bc+6$(1)

 Mặt khác theo bdt cosi ta có:$3=a^2+b^2+c^2\geq b^2+c^2\geq 2bc= > bc\leq \frac{3}{2}= > (bc-\frac{3}{2})\leq 0= > 2bc-3\leq 0= > (2bc-3)(2b^2c^2+2bc+1)\leq 0= > 4b^3c^3-2b^2c^2-4bc-3\leq 0= > 2b^3c^3-b^2c^2-2bc\leq \frac{3}{2}= > 2b^3c^3-b^2c^2-2bc+6\leq \frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}$(2).

 Từ (1),(2) $= > [a(1-bc)+(b+c)]^2\leq \frac{15}{2}= > a+b+c-abc\leq \sqrt{\frac{15}{2}}$

Ta có :$3^n-1=(3-1)(3^(n-1)+3^(n-2)+...+1)=2(3^(n-1)+3^(n-2)+...+1)$ là số chẵn nên n chẵn

Ta có:$sin C=sin (A+B)=sinA.cosB+sinB.cosA=cosA.cosB.(\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB})= > cosC.tanC=cosA.cosB.(tanA+tanB)= > \frac{cosA.cosB}{cosC}=\frac{tanC}{tanA+tanB}= > \sum \sqrt{\frac{cosA.cosB}{cosC}}=\sum \sqrt{\frac{tanC}{tanA+tanB}}$.

 -Đặt $tanA=x,tanB=y,tanC=z$. 

Ta quy về CM bdt :$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$ .

Theo bdt cosi ta có :$\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}}=\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\leq \sum \frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}=\sum \frac{x+y+z}{2x}= > \sum \sqrt{\frac{y+z}{x}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$ .

Dấu = xảy ra khi $x+y=z,y+z=x,x+z=y< = > x+y+z=0$(vô lý)$= >$Đẳng thức không xảy ra 

 $= > \sum \sqrt{\frac{cosA.cosB}{cosC}}> 2$

Giả sử :$x\geq y\geq z$.Ta sẽ CM :$\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq \frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}(1)< = > \frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}-\frac{2}{(x+z)(y+z)}\geq \frac{1}{4xy}-\frac{1}{(x+y)^2}< = > \frac{(x-y)^2}{(x+z)^2(y+z)^2}\geq \frac{(x-y)^2}{4xy(x+y)^2}< = > (x+z)(y+z)\leq 4xy(x+y)^2$

(luôn đúng do $4xy\geq 4y^2\geq (y+z)^2,(x+y)^2\geq (x+z)^2= > 4xy(x+y)^2\geq (x+z)^2(y+z)^2$)

Từ (1) $= >$ ta chỉ cần CM bdt :$\frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}\geq \frac{9}{4(xy+yz+xz)}< = > (xy+yz+xz)(\frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)})\geq \frac{9}{4}$ .

Mặt khác:$\frac{xy+yz+xz}{4xy}=\frac{1}{4}+\frac{z(x+y)}{4xy},\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+z)(y+z)}=2-\frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}$ nên bdt cần CM $< = > \frac{z(x+y)}{4xy}\geq \frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}< = > (x+y)(y+z)(x+z)\geq 8xyz$(luôn đúng theo bdt cosi cho 2 số) 

 $= >$ BDT: $\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+xz)}$ được chứng minh .

 Dấu = xảy ra khi x=y=z

Câu c:Ta có:$7(\frac{(x^2+x+1)^2}{(x-1)^2})-7=13\frac{(x^3-1)}{(x-1)^2}=\frac{13(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)^2}=\frac{13(x^2+x+1)}{x-1}$

Đặt $\frac{x^2+x+1}{x-1}=a$ .PT $< = > 7a^2-7=13a< = > 7a^2-13a-7=0< = > a^2-\frac{13a}{7}-1=0< = > (a-\frac{13}{14})^2=1+(\frac{13}{14})^2$(thay vào là ra)

Ta có:$2(x+\frac{1}{x})=\frac{x}{2}+x^2< = > \frac{2x^2+2}{x}=\frac{2x^2+x}{2}< = > 2x^3+x^2=4x^2+4< = > 2x^3-3x^2-4=0< = > 2x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=0< = > (x-2)(2x^2+x+2)=0$

Do $2x^2+x+2> 0= > x-2=0= > x=2$

Giả sử $a^2+b^2+c^2=1$ .Ta có=$\sum \frac{b}{a^2+c^2}=\sum \frac{b}{1-b^2}$ 

Mặt khác $\sum \frac{b}{1-b^2}\geq \sum \frac{3\sqrt{3}b^2}{2}= > P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(ab+bc+ac)=\frac{3\sqrt{3}}{2}= > \sum \frac{b}{a^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Cách khác:$\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}-a^3=\frac{-a^3b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{-a^3b(a+b)}{2ab+ab}=\frac{-a^3b(a+b)}{3ab}=\frac{-a^2(a+b)}{3}=\frac{-a^3-a^2b}{3}= > \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}\geq a^3-\frac{a^3+a^2b}{3}=\frac{2a^3-a^2b}{3}$

Tương tự $\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b^3-b^2c}{3},\frac{c^5}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{2c^3-c^2a}{3}= > \sum \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{3}\geq \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3)}{3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$

(đpcm)

Bạn làm sai rồi dấu đẳng thức là sai

Ta có :A=$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)^2+(xy+yz+xz)^2=(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)^2+(\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2})^2$ .

Đặt $x^2+y^2+z^2=a,(x+y+z)^2=b$ $= > A=ab+(\frac{b-a}{2})^2=\frac{a^2-2ab+b^2+4ab}{4}=\frac{(a+b)^2}{4}= > A=\frac{((x+y+z)^2+(x^2+y^2+z^2))^2}{4}=\frac{(2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)^2)}{4}=(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)^2$

PT đầu $< = > (x-y)+(\frac{1}{y^3}-\frac{1}{x^3}=0< = > (x-y)(x^2+xy+y^2+x^3y^3)=0$

-Nếu x=y .Từ pt (2) $= > (x-4x)(2x-x+4)=-36= > x(x+4)=12= > (x+2)^2=16= > x=2,x=-6= > y=2,y=-6$

-nếu $x^2+xy+y^2+x^3y^3=0= > x=y=0$(vô lý)

PT (2) phải là +y^2 chứTa có :$xy=18(x^2+y^2)-38xy=18(x-y)^2-2xy= > 3xy=18(x-y)^2,x^2-xy+y^2=7(x-y)+14< = > (x-y)^2-7(x-y)+xy-14=0$ 

Đặt $xy=a,x-y=b$ 

Hệ có dạng :$a=6b^2,b^2-7b+a-14=0$$a=6b^2,b^2-7b+a-14=0$.Thay $a=6b^2$ vào pt (2)

$= > b^2-7b+6b^2-14=0= > 7b^2-7b-14=0> b^2-b-2= 0= > (b-2)(b+1)=0$

-Nếu b=2 $= > a=24$ $= > xy=241,x-y=2$(giải ra là xong)

-Nếu $b=-1= > a=6= > xy=6,x-y=-1$(giải ra là xong)

PT (1) phải là $4(2x-3)y^2$ ,PT(2) phải là $x^2+3y=9$ chứ.Ta có :$y^4+4(2x-3)y^2-48x-48y+55=0< = > y^4+8xy^2+16(9-3y)-12(y^2+4x)+55=0< = > y^4+8xy^2+16x^2-12(y^2+4x)-89=0< = > (y^2+4x)^2-12(y^2+4x)-89=0$

Cho a,b,c $> 0$ thoả mãn :$a^2+b^2+c^2=3$.CMR:

 A=$\frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}\geq \frac{3}{4}$