Câu số học có vẻ giống bài IMO 1990. 

Cho $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Em nghĩ BĐT đúng phải là $x^2+y^2+z^2 \leqslant x^2y+y^2z+z^2x+1$

Ta có $x,y,z \in [0;1]$ do đó: 

$(x-1)(y-1)(z-1) \leqslant 0$   $\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1 \leqslant 0$

                $\Rightarrow xy+yz+zx \geqslant x+y+z+xyz-1 \geqslant x+y+z-1$

Lại có :   $x(x-1)(y-1) \geqslant 0$   $\Leftrightarrow x^2y \geqslant x^2+xy-x$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được : 

$x^2y+y^2z+z^2x \geqslant x^2+y^2+z^2+(xy+yz+zx)-(x+y+z) \geqslant x^2+y^2+z^2-1 $ 

Do đó ta có đpcm.

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z=3 & & & \\ q=xy+yz+zx & & & \\ r=xyz \leqslant 1 & & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh :   $p^2-2q+r \geqslant 4$    $\Leftrightarrow 2q-r \leqslant 5$

Theo BĐT Schur ta có : $p^3-4pq+9r \geqslant 0$   $\Rightarrow q \leqslant \frac{27+9r}{12}$

Do đó:  $2q-r \leqslant \frac{27+9r}{6}-r = \frac{27}{6}+\frac{r}{2} \leqslant \frac{27}{6}+\frac{1}{2}=5$   

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{4}{27}$

Gọi $(a,b,c)$ là hoán vị của $(x,y,z)$ sao cho $a \geqslant b \geqslant c$.

Khi đó theo BĐT Hoán vị ta có : 

$x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx \leqslant a.ab+b.ac+c.bc$

                          $ = b(a^2+ac+c^2)$

                          $\leqslant \frac{1}{2}.2b(a+c)^2$

                          $\leqslant \frac{1}{2}.\left ( \frac{2a+2b+2c}{3} \right )^3 = \frac{4}{27}$

Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[/spoiler] Em Hải 10 Toán 1 đây thầy ! Phải thầy Nghĩa ko ạ ? :3 [spoiler]

Cho $f$ là hàm đa thức xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện

$f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)$ , $\forall n \in \mathbb{R}$ thì dãy $\left \{ f(n) \right \}_n$ là một cấp số cộng.

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, $a,b$ là các số nguyên dương.

Chứng minh rằng: 

                          $(n^a+1,n^b+1)|n^{(a,b)}+1$

Bài 5: (Số học)

Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $|a|>1,|b|>1$. Biết rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho mỗi một trong chúng tồn tại số nguyên dương $m$ thõa mãn   $(a^m+b) \vdots (a^n+1)$.

Chứng minh rằng:                    $\exists k \in \mathbb{N^*}, |b|=|a|^k$

Bài 4(Số học). Cho $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^2+n^2$ và $m^3+n^3$

 Đặt :         $d=(m^2+n^2,m^3+n^3)$       $(d \in \mathbb{Z^+})$

Vì $(m,n)=1$ và $m$ chẵn nên dễ thấy $d$ lẻ

Ta có:

$m^3+n^3=(m^2+n^2)(m+n)-mn(m+n)$

Do đó         $d=(m^2+n^2,mn(m+n))$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d|m^2+n^2 & & \\ d|mn(m+n) & & \end{matrix}\right.$                     (1)

Vì $(m,n)=1$ nên ta xét các trường hợp:

- TH1:  Nếu $d| m+n$ thì từ (1) ta có:

           $d|(m+n)^2-2mn$   $\Rightarrow d|2mn$    $\Rightarrow d|mn$ (Vì $d$ lẻ)

     Nếu $d|m$  $\Rightarrow d|n$   $\Rightarrow d=1$

     Tương tự nếu $d|n$ thì suy ra $d=1$

- TH2:  Nếu $d|m$ thì từ (1) suy ra $d|n$   $\Rightarrow d=1$

- TH3: Nếu $d|n$ thì tương tự ta có $d=1$

          Vậy $(m^2+n^2,m^3+n^3)=1$

$d$ ở đây là gì thế nhỉ ? 

Em bị nhầm :3 Là $a$ đó anh! 

Chứng minh rằng tích các thặng dư của Hệ thặng dư thu gọn modulo $m$ thì đồng dư với $1$ hoặc $-1$ mod $m$.

Trường hợp nào thì tích đó đồng dư với $-1$ mod $m$

Giả sử $a,b,m$ là các số nguyên dương $(a,m)=1$. Chứng minh rằng nếu $x$ là nghiệm của $ax \equiv b \textrm{(mod m)}$ thì $x$ củng là nghiệm của 

                   $a_{1}x \equiv b.\left[\frac{m}{a} \right ]$ $\textrm{(mod m)}$

 Trong đó $a_{1}$ là thặng dư dương bé nhất của $m$ $\textrm{modulo a}$

Cho số nguyên tố $p>3$. Chứng minh rằng :

$\prod_{j=1}^p(j^2+1) \equiv 0,4 \textrm{(mod p)}$

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\left \{ 0,\frac{1}{1},\frac{1}{2},...,\frac{1}{p-1} \right \}$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo $p$ 

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ với đúng 12 ước là $1=d_{1}<d_{2}<...<d_{12}=n$ sao cho ước với chỉ số $d_{4}$ (đó là $d_{d_{4}}-1$) là $(d_{1}+d_{2}+d_{4})d_{8}$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ lẻ sao cho với mọi số nguyên lẻ $a$ nếu $a^2 \leqslant n$ thì 

$a \mid n$

Tìm $a;b$ nguyên dương thõa mãn:

 $\left\{\begin{matrix} 7\nmid ab(a+b) & & \\ 7^3 \mid a^2+ab+b^2 & & \end{matrix}\right.$

Tìm số nguyên dương lơn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé hơn căn bậc ba của nó.

Lời giải. Ta xét các trường hợp sau:

Nếu tồn tại một ước nguyên tố $p$ lẻ của $a$, khi đó theo bổ đề LTE, ta suy ra $$v_p \left( (a+1)^c-1 \right)= v_p(a)+v_p(c )= v_p(a) \cdot b.$$

Do đó $v_p(c )=v_p(a) \cdot (b-1)$. Như vậy $c \ge p^{b-1}$ với $p \ge 3$. Ta suy ra $(a+1)^c-1 \ge (a+1)^{p^{b-1}}-1> a^{b}$, mâu thuẫn.

 

Vậy hoặc $a=1$ hoặc $a=2^k, \; k \ge 1$.

Nếu $a=1$ thì $1^b+1=2^c$ suy ra $c=1,b=n \in \mathbb{N}^*$.

Nếu $a=2^k$. Nếu $a=2$ thì $2^b+1=3^c$. Từ đây dễ dàng suy ra $(b,c)=(1,1),(3,2)$.

Nếu $a=2^k, k \ge 2$ thì $a+1>2$. Do đó theo định lý Zsigmondy ta suy ra tồn tại ước nguyên tố $p$ của $(a+1)^c-1$ sao cho $2 \nmid p$ với mọi $c \ne 2$. Do đó $c=2$. Khi đó $a^b+1=(a+1)^2$ hay $a^{b-1}=a+2$ hay $a (a^{b-2}-1)=2$, mâu thuẫn vì $a \ge 4$.

 

Như vậy $\boxed{(a,b,c)=(1,n,1),(2,1,1),(2,3,2)}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Em nghỉ là trước khi xét trường hợp tồn tại ước nguyên tố $p$ lẻ của $a$ thì ta nên xét với $b=1$ trước.

Nếu xét với $b=1$ trước thì ta có bộ nghiệm $(a,b,c)=(n,1,1)$ nữa ạ.

Cho $\Delta ABC$ có $\measuredangle BAC >90$ $(AB \neq AC)$ nội tiếp trong đường tròn $(O:R)$. Đường tròn nội tiếp tâm $I$, bán kính $r$. Đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ tâm $J$ bán kính $R_{A}$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$. 

Chứng minh rằng:     $MA.MI = R(R_{A}+r)$

Họ tên: Nguyễn Minh Hải

Nick trong diễn đàn (nếu có): Nguyen Minh Hai

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS , THPT 

Tìm bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $a^b+1=(a+1)^c$

Bài toán:   Tìm số nguyên dương $a,b,x$ và số nguyên tố $p$ thõa mãn :

                    $a^n+b^n=p^x$       với $n$ nguyên dương.

Cho $n$ là số nguyên dương thõa mãn $n^2 | 2^n+1$

Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $3$

Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi

Có lời giải bằng Ánh xạ chỉ ra nghiệm

Mà đọc hại não quá 

Xem thêm ở đây

Sao a đào mộ giỏi thế :v e search mãi chả ra