1.Cho $a,b,c > 0$  và $a+b+c\leq 2$

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Cách khác ở  http://diendantoanho...-23#entry493834

147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

để mình ví dụ cho bạn 1 cái này, bạn thử so sánh z=1+i và số 2 xem,theo bạn cái nào lớn hơn?cái nào nhỏ hơn?,mình nghĩ nó cũng giống vậy với bdt trên của bạn,khi chỉ cụ thể không thể so sánh được thì làm sao mà dùng được??

Nhưng mà cô si luôn luôn áp dụng đc cho 2 số dương mà. Làm gì phức tạp thế? Đợi mình thử hỏi 1 người xem

Bạn ơi, z là số phức, bất đẳng thức trên là cho SỐ THỰC không âm,liệu xài được không?

Sao so sánh số phứcvới số thực được?,  $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$ thì 1 bên là số phức,một bên là số thực mà

Theo mình thấy đây là cô si cho 2 số dương $z^{2}$ và $\frac{1}{z^{2}}$ không cần phức hay thực gì hết.

Dấu bằng xảy ra <=> z=1

Từ GT --> $\left | (z+\frac{1}{z})(z^{2}-1+\frac{1}{z^{2}}) \right |\leq 2$

Mà $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$

     => $\left | z+\frac{1}{z} \right |\leq 2$

VT$\geq\sum \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=\sum \frac{2}{a}=\sum 2bc$( do abc = 1 )

Ta cần chứng minh : $\sum 2bc\geq \sum \sqrt{a}+3$

Ta có : $\sum bc \geq 3$ ( cô si )

           $\sum bc\geq \sum c\sqrt{ab}$( BĐT phụ $\sum x^{2}\geq \sum xy$) = $\sum \sqrt{b}$

Cộng vế -> đpcm

P/s: Làm hơi khó nhìn . Vui quá.

Có ý tưởng thế này. Áp dụng BĐT phụ :$\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}$ ta có:

$\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b}=\frac{...}{(b+c+d)(c+d+a)}\geq \frac{4(...)}{(a+2b+c+2d)^{2}}$

T/tự : .... rồi cộng vế lại.

...

Theo mình đề phải là $\left\{\begin{matrix}2x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}} & & \\ 2x_{2}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}} & & \\ ..... & & \\ 2x_{2014}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}} & & \end{matrix}\right.$

Vì nếu thế pt vô nghiệm

Nhân chéo lên ta suy ra được rằng

$x_{1},x_{2}...x_{2014}$ cùng dấu (vì cứ 2 số nhân vs nhau dương)

Th1 $x_{1\rightarrow }x_{2014}> 0$

Cộng cả 2014 vế vs nhau ta có

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...\frac{1}{x_{2014}}=0$ ( vô lý)

Th2 cũng thế

Đề lúc đầu đúng rồi mà.Sửa đề mà làm thế à ? ( phần chữ đỏ )

P/s: Mới làm được đang vui chạy ra định đăng ai ngờ bạn làm được rồi

  

   2/ Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3$

2.

VT= $\frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}+\frac{b^{2}}{ba+bc-b^{2}}+\frac{c^{2}}{ca+cb-c^{2}}$$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

Ta cần chứng mính :  $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}\geq 3$

Thật vậy: BĐT <=> $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4(ab+bc+ac)$

                     <=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ ( BĐT này dễ cm )

Vậy : ....

Tìm x biết :

$\left | x+\frac{1}{1.2} \right |+\left | x+\frac{1}{2.3} \right |+\left | x+\frac{1}{3.4} \right |+...+\left | x+\frac{1}{99.100} \right |=100x$

Ta có VT$>$0 => VP > 0 => x>0 

PT <=> $99x$ + $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}$ = 100x

     <=> x = $1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$ ( sử dụng ĐT $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$)

Câu 1 (6,0 điểm):

c)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \end{matrix}\right.$ 

Trừ vế và thu được x=y.

Thay vào 1 trong 2 phương trình là ra.

P/s: Làm hơi tắt đi ăn cơm

HPT $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+z^{2} & = 2z\\ (y-z)^{2}+x^{2}& = 2x\\ (z-x)^{2}+y^{2}& = 2y \end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z$(1)

$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq (x-z)^{2}$

$\Rightarrow 2z-z^{2}\leq 2y-y^{2}\Rightarrow (z-1)^{2}\geq (y-1)^{2}\Rightarrow z-1\geq y-1\Rightarrow z\geq y$(2)

 

(1),(2)$\Rightarrow x=y=z$

Thay vào PT :$2x-x^{2}=0\Rightarrow x=0\vee x=2$

 

Nghiệm: $(0;0;0);(2;2;2)$

Thiếu nghiệm nhiều lắm bạn ơi.(0;1;1) (2;1;1) và các hoán vị.

Không biết còn nữa không?

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} =2z-z^{2}& \\ (y-z)^{2}=2x-x^{2}& \\ (z-x)^{2}=2y-y^{2}& \end{matrix}\right.$

P/s: kết luận đủ nghiệm nhá.

bạn ơi làm s tách dc nhân tử chung như z.

bạn nhân ngược lại là biết cách làm ấy mà.

Giải hpt:
118) $\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=-4 & & \\ x^2+y^2-2x-4y=-5 & & \end{matrix}\right.$

 

 

118.

pt (2) <=> $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}$=0 => x=1; y=2

Thay vào (1) không thỏa mãn => VN

$x^{2}+2011x +2012y^{2}+y= xy +2012xy^{2}+2013$

pt <=> $\left ( x-1 \right )\left ( 2012+x-2012y^{2} -y\right )=1$ 

Đến đây chia các TH là ra.

 

 

107) $\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2+2y+1}+\frac{y^2}{x^2+2x+1}=\frac{1}{2} & & \\ 3xy-x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

107.

từ pt (2) => $x= \frac{y+1}{3y-1}$ thế vào pt (1) rồi tìm y.

trước khi thế ta biến đổi pt (1) = $\left ( \frac{x}{y+1} \right )^{2}+\left ( \frac{y}{x+1} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

 

 

109) $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-x-2y=19 & & \\ xy(x-1)(y-2)=-20 & & \end{matrix}\right.$

 

 

109.

pt (1) <=> $x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-2 \right )=19$

Áp dụng ĐL Vi-ét đảo cho 2 số $x\left ( x-1 \right )$ và $y\left ( y-2 \right )$

Đến đây được rồi nhỉ?

P/s: viết hpt kiểu gì ?

AB>AC sao được hả bạn.

điều kiện đó sai đó.Bạn coi như không có điều kiện đó mà làm bình thường nhé.

có nhầm lẫn j ko

đã fix rồi bạn làm đi

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác góc BAC cắt (O) tại D khác A.Gọi M là trung điểm AD  và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt AC tại F khác A.

a) Chứng minh $\bigtriangleup BMD \sim \bigtriangleup BFC$

b) Chứng minh EF vuông góc với AC

Bạn xem lại đề đi vẽ hình không ra được.

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

$\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$ 

= $\left ( 1-\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )$$\left ( 1-\frac{1}{y} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )$

= $\left ( 1-\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1-\frac{x+y}{y} \right )$$\left ( 1+\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1+\frac{x+y}{y} \right )$

=$\left ( -\frac{x}{y} \right )\left ( -\frac{y}{x} \right )$$\left ( \frac{2x+y}{x} \right )\left ( \frac{2y+x}{y} \right )$

=$\frac{5xy+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{xy}$

$\geq 5+4$    (vì x²+ y²$\geq$ 2xy theo cô si )

Dẫu bằng xảy ra khi x=y=0.5

Giải phương trình: $x^2+\frac{x^{2}}{(x+5 )^{2}}=11$

xem đề đầy đủ tại đây nhá. Làm bài 2 với bài 5 nhé.

http://violet.vn/pha...ntry_id/9414166