Còn cm dòng này đi

Dòng này phải thế này: $\sum xy^2\leq \frac{1}{9}\left ( x+y+z \right )^3$

Cách chứng minh khá đơn giản chỉ cần dùng BĐT Chebyshev là OK!!!!

Tìm min của biểu thức $P=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}$ với$ a,b\neq 0$

C3: 

$$\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{a^2+b^2-\frac{a^2+b^2}{2}}{a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{1}{3}$$

 

$\boxed{2}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $a \leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1,a+b\geq c$

 

Tìm min của

$$Q=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

 

 

cách khác:

Tại sao lại có cái phần màu đỏ kia được! Bài làm của bạn sai rồi!

$\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{y}+1 \right )=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{xy}.\sqrt{x}.\sqrt{y}}+1= 3\sqrt[3]{xy}+1$

sai ở đâu bạn?

Cho x, y là các số dương thỏa mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm min $P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$

từ GT ta được: $ \left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\geq 3\sqrt[3]{xy}+1\Rightarrow \sqrt[3]{xy}\geq 1\Rightarrow \sqrt{xy}\geq 1$

mặt khác ta được:

$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq 2\sqrt{xy}\geq 2; "="\Leftrightarrow x=y=1$

Do topic kia của mình có người khóa nên mình xin đánh lại   Mong các bạn thông cảm nhé

1.Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ac=abc.

Tìm min S=$\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}$

2.Bài tập mở rộng

Cho a,b,c> thỏa mãn  a+b+c=x.Tìm min

S=$\sum \frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}$

1.

$ab+bc+ca=abc\rightarrow \sum \frac{1}{a}=1$

Mặt khác ta có BDT:$$a^4+b^4\geq \frac{\left ( a+b \right )\left ( a^3+b^3 \right )}{2}$$

$\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \sum \left (\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}  \right )=\sum \frac{1}{a}=1$

2.

ta đặt:$$\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{a_1}=a & \\
 \frac{1}{b_1}=b& \\
 \frac{1}{c_1}=c&
\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a_1}+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{c_1}=x$$

BDT trở thành: $\sum \frac{a_1^4+b_1^4}{a_1b_1(a_1^3+b_1^3)}\geq \sum \frac{1}{a_1}=x$

Cho a,b,c dương và $a^{2} +b^{2}+c^{2}$ =3
Tìm Min $\left ( 2-a \right )\left ( 2-b \right )\left ( 2-c \right )$

ta có: $$(2-a)(2-b)(2-c)=(4+ab-2a-2b)(2-c)=\frac{8+2ab-4a-4b }{2}.\left ( 2-c \right )=\frac{(a+b-2)^2+c^2+1}{2}.\left ( 2-c \right )
\geq \frac{(c^2+1)(2-c)}{2}$$

đến đây ta chỉ việc xét hàm số: $f_{(t)}= \frac{(t^2+1)(2-t)}{2} \rightarrow f_{(t)}'=\frac{4t-3t^3-1}{2}=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$ từ đây dễ dàng suy ra:$Min=\frac{25}{27};"="\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\left\{\begin{matrix}
a=c=\frac{1}{3} & \\
 b=\frac{5}{3}&
\end{matrix}\right. & \\
 \left\{\begin{matrix}
a=\frac{5}{3} & \\
 b=c=\frac{1}{3}&
\end{matrix}\right.&
\end{bmatrix}$

Cho a,b,c >0 

và $a\geq max\left \{ b,c \right \}$

Tìm min 

$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

đã có ở đây:

phân tích:

ta có   $a+b+c\leq 3$     mà ta có Mẫu thức có:       $3a$

thường là tất cả những bài này ta để ý là làm được, ta lại nhận thấy $a+b+c\leq 3$ chứ không phải là $a+b+c\geq 3$

nếu như vậy thì cách này coi như bỏ đi, còn có khi là không giải được. nên khi giải ta cần phải tinh . bài này không khó nếu biết khai thác từ đề bài cho.

cách giải:

$P= \sum \frac{ab}{\sqrt{ab+3c}}\leq\sum \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{ab}{a+c} +\frac{ab}{b+c}\right )=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\leq \frac{3}{2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

Tìm m để phương trình $cos3x-cos2x+mcosx-1=0$ có đúng 7 nghiệm thuộc $(\frac{-\pi}{2},2\pi)$

pttd: $4\cos ^3x-3\cos x-2\cos ^2x+1+m\cos x-1=0
\Leftrightarrow \cos x(4\cos ^2x-2\cos x+m-3)=0$

$\cos x=0$ cho ta 2 nghiệm thuộc khoảng: $\left ( \frac{-\pi}{2};2\pi \right )$

ta cần phương trình này có 5 nghiệm: $4\cos ^2x-2\cos x+3=-m$

 đặt: $t=\cos x$

 đặt $f(t)=4t^2-2t-3+m=0$ với t thuộc $[-1;1]$
TH1 $f(t)=0$ có 2 ng thỏa mãn
$0<t_1<1$ và $t_2=1 $VN
TH2 $f(t)=0$ có 2 nghiệm thỏa mãn $-1<t_1<0<t_2<1$

$\Rightarrow 1<m<3$
vậy m thuộc(1;3)

tìm m đề bpt sau có nghiệm $\left\{\begin{matrix} & 4x+1< 7x-2 & \\ & mx^2+x+1>0 & \end{matrix}\right.$

từ pt đầu ta được: $x>1$ kết hợp với pt thứ 2 ta được: $m>0$

 tìm min: $\sqrt{-x^{2} +4x+21 } - \sqrt{-x^{2}+3x+10}$

ĐK: $$2\leq x\leq 5$$

xét: $$f_{(x)}=\sqrt{-x^{2} +4x+21 } - \sqrt{-x^{2}+3x+10}$$

$\rightarrow f'_{(x)}=\frac{-x+2}{\sqrt{-x^2+4x+21}}+\frac{2x-3}{2\sqrt{-x^2+3x+10}}$

$f'_{(x)}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow Min f_{(x)}=f_{(\frac{1}{3})}=\sqrt{2}$

Tìm GTNN của A=$\frac{4x-3}{x^{2}+1}$

rõ hơn như sau:

từ bt A ta được:

$A.x^2-4x+A+3=0\Rightarrow \Delta '=4-A^2-3A$

để pt có nghiệm thì $\Delta '\geq0$

từ đây dễ dàng suy ra: $MinA=-4$

1.Cho $a,b,c > 0$  và $a+b+c\leq 2$

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

ta có:

$\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\left(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\geq \sqrt{\left(a+b+c \right)^2+\frac{16}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2+\frac{65}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2}\geq \sqrt{2\sqrt{\frac{16}{81}.9^2}+\frac{65}{16}.\left(\frac{9}{2} \right)^2}=\frac{\sqrt{97}}{2}."="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

Đoạn này kiểu gì thế bạn?

Mincopski à bạn ?

đây là BDT Mincopkis cho 3 số:

dạng của nó là:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\geq \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn : $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2014$. Tìm GTLN của biểu thức :

$P=\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}$

để dễ làm hơn, ta đặt cho dễ nhìn: $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y};c=\sqrt{z}$

$\Rightarrow a+b+c=2014$

ta có: $\sum \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}\leq \sum \frac{ab}{\frac{3}{2}\left ( \frac{a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{2c}{3} \right )}\leq \frac{1}{4}\sum \left (\frac{2ab}{a+c}+\frac{2ab}{b+c} \right )=\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )=1007; \rightarrow MaxP=1007;"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2014}{3}\Rightarrow x=y=z=\left ( \frac{2014}{3} \right )^2$

cho x,y,z>0 và $x+y+z>0$

tìm Min P =$\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{\left ( x+y+z \right )^{3}}$

*)nếu có công cụ đạo hàm thì bài này quá dễ dàng để chứng minh. nhưng liệu không có đạo hàm thì bài này sẽ chứng minh được thì rất hay.

mình làm thế này không biết đúng không

áp dụng Holder ta có $(x^{3}+y^{3}+16z^{3})(1+1+\frac{1}{\sqrt[3]{4}})^{2}\geq (x+y+z)^{3}$

từ đó suy ra min P

bạn làm nhầm rồi đó: "=" <=> x=y=4z

còn của bạn là x=y=z

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

$a\leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1;a+b\geq c$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q=$\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

bạn có thể làm thế này:

không mất tính tổng quát ta giã sử: $\left\{\begin{matrix}a=1+x >0 & \\
b=2+x >0& \\
c=3+x >0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}=\frac{x ^3+8x ^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}$

kết hợp với ĐK đầu bài: $a\leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1;a+b\geq c$

nên ta suy ra được: $0\leq x \leq 1$ và giờ ta chỉ cần tìm GTNN của biểu thức:$\frac{x ^3+8x ^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}$

mà theo gia thiết ta có:với mọi $x\epsilon \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow 7x^2+51x+86>0$

vì ĐK $x\geq 0\Rightarrow x\left (7x^2+51x+86 \right )\geq 0 \Leftrightarrow 7x^3+51x^2+86x\geq 0\Leftrightarrow 12x^3+96x^2+216x\geq 5x^3+45x^2+130x\Leftrightarrow 12x^3+96x^2+216x+120\geq 5x^3+45x^2+130x+130\Leftrightarrow 12(x^3+8x^2+18x+10)\geq 5(x^3+9x^2+26x+24)\Leftrightarrow \frac{x^3+8x^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}\geq \frac{5}{12}."="\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3$

P/s: muốn tìm GTNN của bài này ta cần phải biết dự đoán điểm rơi dấu $"="$ của bài!

$Cho x, y , z \geqslant 0 và thỏa mãn x+y+z> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}$

áp dụng holder:

ta có: $\left (x^{3}+y^{3}+16z^{3} \right )\left ( 1+1+\frac{1}{4} \right )\left ( 1+1+\frac{1}{4} \right )\geq (x+y+z)^3$

từ đây ta đươc: $P\geq \frac{16}{81}$$"="\Leftrightarrow a=b=4c$

Cho $a,b$ là các số thực dương thay đổi sao cho $a+b=2$

Tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức $P=2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

C2:

$VT\geq 2(a^2+b^2)+3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\left ( a+b \right )^2+\frac{3.4}{a+b}=10$

ta có BĐT:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3\left ( x+y+z \right )}=2\sqrt{3}$

==> Max P=$2\sqrt{3}$ "=" <=> a=b=c=$\frac{4}{3}$

các bạn kiểm tra lai nhé!!!!!!

chỗ này là 3 

dấu "=" không xảy ra nên sai

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ đúng sao sai?????

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ đúng sao sai?????

chỗ này là 3 

dấu "=" không xảy ra nên sai

nhung cung cam on ban tim ra cho

ta có BĐT:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3\left ( x+y+z \right )}=2\sqrt{3}$

==> Max P=$2\sqrt{3}$ "=" <=> a=b=c=$\frac{4}{3}$

 

các bạn kiểm tra lai nhé!!!!!!

nay xin cam on vi minh viet nham

đặt:

$\sqrt{x-2008}$=a

$\sqrt{y-2009}$=b

$\sqrt{z-2010}$=c

(a,b,c>0)

phương trình trở thành:

$\frac{a-1}{a^{2}}$+$\frac{b-1}{b^{2}}$+$\frac{c-1}{c^{2}}$=$\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{c}+\frac{1}{c^{2}}\right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{b} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{c} \right )^{2}$=0

từ đây suy ra: a=b=c=2 <=> x=2012;y=2013 và z=2014