Cho a, b, c > 0 và $a+b+c= 3$. Chứng minh rằng:

$\frac{3+a^{2}}{b+c}+\frac{3+b^{2}}{c+a}+\frac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

Bài này dùng Chebyshev khá đẹp 

Do bất đẳng thức đối xứng nên k mất tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$

Khi đó $\dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{1}{a+c} \geq \dfrac{1}{a+b}$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều, ta có được:

$VT \geq \dfrac{1}{3}.(3+\sum a^2)(\sum \dfrac{1}{b+c})$

Dề thấy đpcm vì $\sum a^2 \geq 3$ và $\sum \dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{3}{2}$

Gọi tập $\mathcal{A}=\left \{ 1,2,...,n \right \}$.Tìm số tập $\mathcal{B}=\left \{ i_1,i_2,...,i_k \right \}$ là tập con khác rỗng của $\mathcal{A}$ sao cho 

$\min\left \{ i_1,i_2,...,i_k \right \}\ge k$.

Cố định $k->k_0,1 \leq k_0 \leq n$

Vì mọi số trong $|B|=k_0$ đều không bé hơn $k_0$ nên nhận giá trị trong $k_0,k_0+1,...,n$

Số tập $B$ là $C_{n-k_0+1}^{k_0}$

Cho $k_0$ chạy từ $1->n$ thì số tập $B$: $\sum_{k=1}^{n}C_{n-k+1}^{k}=\sum_{k=1}^{n}C_{n-[\dfrac{n+1}{2}]+1}^{[\dfrac{n+1}{2}]}$ (coi như $C_a^b=0$ nếu $b>a$)

Thay vì chứng minh $\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$. Ta chứng minh$\sum \frac{1}{ab-1}\geq \frac{9}{-2}$

 

Với $\sum a^2=1$ , $BCS- Engel$ cho ta:

$$\sum \frac{1}{ab-1}\geq \frac{9}{\sum ab -3}\geq \frac{9}{\sum a^2 -3}=\frac{9}{-2}$$

Vậy ta có đpcm.

mẫu thức âm đâu dùng được BCS đâu bạn

Dễ thấy với $y=0$ thì $x=0$

Ta có: $2^y=(x^2+1)(x+1)$

Đặt $x^2+1=2^a;x+1=2^b$ và $a+b=y$, $a \geq b$ thì:

$x^2-x=2^a-2^b$

=>$x(x-1)=2^b(2^{a-b}-1)$

Với $x=1$ thì $a=b$ và $y=1$, trường hợp x khác 1 thì

$(x;x-1)=1$ do đó có các trường hợp sau:

$x=2^b; x-1=2^{a-b}-1$ (1)

$x=2^{a-b}-1;x-1=2^b$  (2)

Mà $x+1=2^b$ nên cả 2 TH đều không có nghiệm

Ngoài ra còn 1 TH là x=2 nữa nhưng thay vào vô lý 

Với $x=1$ thì $y=2$

Có thể thấy rằng $x$ lẻ nên có thể bỏ TH1

Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,n)$ thỏa mãn:

$$\dfrac{x!+y!}{n!}=3^n$$

Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho nếu tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn:

$m^n=1(\mod n)$ thì $m=1(\mod n)$

đề chọn đội tuyển chuyên Đại Học Vinh

Bài số 5 là $n^3$ hay $n^2$ vậy

sai chỗ này

Ghi nhầm mất, cái này là 1864, nhưng đâu đủ để lệch đáp số lớn vậy đâu

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1

 

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$

 

Bài 6 mình làm bù trừ, không hiểu sao sai đáp số

Đặt $x_1=x-50, z_1=z-50, z_2=z-101$

Ta có $x_1+y+z_1=1965$ (1), $x_1+y+z_2=1864(2)$

Gọi $A$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(1)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_1 \geq 0$

Gọi $B$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(2)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_2 \geq 0$

Với mỗi $y_0$ từ $0-100$ thì số cách chọn $x_1,z_1$ là $C^{1}_{1965-y_0+2-1}$

Suy ra $|A|=1966+1965+....+1866$

Tương tự $|B|=1865+...+1765$

Gọi $C$ là tập các nghiệm thỏa đề thì theo bù trừ, ta có:

$|C|=|A|-|B|=10201$

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1,c+d=3$

Chứng minh rằng: $ac+bd+cd \leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}$

Họ tên: Bùi Bá Anh

Nick trên diễn đàn: Bui Ba Anh

Năm sinh: 1999

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

Gợi ý. Với mọi số thực dương $x,\,y$ ta luôn có

\[x^2+y^2 \leqslant \frac{(x+y)^4}{8xy}.\]

Em cảm ơn anh

Cho $a,b,x$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $x^{a+b}=a^bb$. Chứng minh $a=x,b=x^x$

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa $a+b+c+d=4$

Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da} \geq a^2+b^2+c^2+d^2$

Đề đã được sửa lại cho đúng, đúng là sai có 1 từ thôi mà làm sai hẳn ý nghĩa bài toán

 

Đại sư huynh cho chúng e chút gợi ý được không ạ

Đề tóm gọn thì e chỉ thấy phải đưa về đồ thị và con số $7, \leq 12$ liên tưởng đến định lý Mantel-turan

Tìm các hoán vị p của tập $\left \{ 1,2,...,2015 \right \}$ thỏa mãn:

           $\left | p(1) -1\right |$+$\left | p(2)-1 \right |$+...+$\left | p(2015)-1 \right |$=$\frac{2015^{2}-1}{2}$

Đề không chính xác

Vế trái bằng $1+2+..+2015-2015=2029105$

Vế phải bằng $2030112$ nên không có đẳng thức

Nói cách khác là không có cách chọn

Mình nghĩ thi HSG 9 thì bài này là căn nguyên của hầu hết các bài về đường tròn

Bài 35: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010) (MOSP 1995)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. $AD,BE,CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại điểm $M$

1) Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,E,F$ cùng nằm trên đường tròn

2) Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $H$ là trược tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $GH$ vuông góc $AN$

Cho $a,b>0$ , $a+b=1$ và $n\epsilon N$ ; $n\geq 2$ 

$CMR:$

$\frac{a^n}{a+b^2}+\frac{b^n}{b+a^2}\geq \frac{2^{3-n}}{3}$

Hình như đề bài có vấn đề rồi,thay $a=b=\frac{1}{2}$ và $n=4$ thấy ngay bất đẳng thức sai 

1. Chứng minh bđt đúng với $n=2$ và $n=3$

2. quy nạp theo $n$ bằng cách nhân thêm $a+b$ để tạo ra lượng $n+1$ cho quy nạp

Cho các số dương $a,b,c$, chứng minh rằng:

$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{b+c})^3+(\dfrac{c}{c+a})^3 \leq \dfrac{3}{8}(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc})^2$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm Euler N, điểm Kosnita K và điểm Gibert Q của tam giác ABC thẳng hàng.

Bạn định nghĩa tâm euler, điểm kosnita và điểm gibert được k?

Bản soạn bằng word chuyển sang PDF nên k được đẹp, rất mong được thông cảm

Bạn nào có tài liệu về vấn đề này có thể gửi ở đây để a e học hỏi

 HanQuocAlbania1.pdf   149.65K   1431 Số lần tải

Cám ơn Toàn về sự quan tâm và lời giải rất hay , hãyđón đọc số tuần sau nhé !

Dạ thưa thầy cho e hỏi trong lời giải đăng trên derakynay1187 của tuần trước, tại sao $OT //SN$ ạ?

Bài toán này là 1 bước để c/m Droz-fany đây.

 

 

Chính xác thì đây là bài toán xác định "Anti-Steiner Points"

Cảm ơn bạn Zaraki và thầy Trần Quang Hùng

Hy vọng Zaraki tiếp tục cập nhật các bài của các tháng tiếp theo ở đây