Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

Câu b t làm thế này:

ta co: 

$\frac{AB^{2}}{AC^2} =\frac{BH.BC}{CH.BC} =\frac{BH}{CH}$

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

Em chém bừa vậy   

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

xét $x < 1 \rightarrow y > 0 $

do đó: $ y \geq 1- x \rightarrow y^{2} \geq (1-x)^{2}$ 

$\rightarrow  D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (1-x)^{2} $

.....

$ => min D = 1,5$

xét $x >= 1$ thì ta có: $y^{2} \geq 0$ . do đó:

 $D \geq  \rightarrow \frac{8x^{2} + 1 - x}{4x} $

cm đc lúc này $min D = 2$ đạt tại $ x = 1$

suy ra $min$ $D = 1,5$

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?

ukm, t quên. phải xét $x < 1$ và $x >= 1$. sửa rùi đó. xem thử đc hok 

$P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3} = \sum a - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} = 3 - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} $

ta có: $ \sum \frac{2ab^3}{a+b^3 + b^3} \geq \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}$ 

Lại có:$a +  ac + ac \geq a\sqrt[3]{c^2}$

           $b + ba + ba \geq b\sqrt[3]{a^2}$

           $c + bc + bc \geq c\sqrt[3]{b^2}$

cộng theo vế ta có:

$(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \geq 3\sum b\sqrt[3]{a^2}$

suy ra: $3\sum b\sqrt[3]{a^2} \leq 3+2.3 = 9 $

do đó: $ \sum b\sqrt [3]{a^2} \leq 3$

từ đó $P \geq 3 - \frac{2.3}{3} = 1$

ta có:

Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành:

Cho 0<a<b<c<d. CM:

         $(b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})< \frac{(a+d)^{2}}{ad}$

$ (b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})< \frac{(a+d)^{2}}{ad}} $

$ \Leftrightarrow 2 + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} < 2 + \frac{a^{2} + d^{2}}{ad} $

3.$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

Điều kiện: $ \frac{-1}{3} \leq x \leq 6$

2.$\frac{1}{1-x^{2}}+1> \frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

điều kiện: $ -1 < x < 1$

xét $g(x) = x^5$

bạn tìm đa thức $f(x) = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g $sao cho: $g(x) = f(x) - f(x-1)$ (bạn khai triển ra rồi tìm các hệ số a,b,c,d,e,f,g bằng cách đồng nhất hệ số)

khi đó công thức cần tìm có dạng $S = g(1) + g(2) + ... + g(x) = f(1) - f(0) +f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + ... + f(x) - f(x-1) = f(x) - f(0) $

từ giả thiết suy ra: $y = \frac{2x}{2x-1}$ và $\frac{1}{x} < 2$ hay $x > \frac{1}{2}$

ta có: $5x^{2}+y-4xy+y^{2}= (2x -y)^2 + x^2 + y \geq x^2 +y =  x^2 + \frac{2x}{2x-1}$

cần chứng minh: $  x^2 + \frac{2x}{2x-1} \geq 3$

                       $\Leftrightarrow \frac{(3x+2)(x-1)^2}{2x-1} \geq 0 $       (đúng vì $x > \frac{1}{2}$)

ta có: $a +b \geq 2$ và $a^{2} + b^{2} \geq 2$

$ A = (a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b} + a^{2}+b^{2}-\frac{4}{a+b} $

$(a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b}\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} \geq  8$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab = 2$

$\frac{-4}{a+b}\geq -2$

$\rightarrow A >= 8 + 2 - 2 = 8$

  $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$   $(1)$  

Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3

Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.

+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3

mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.

vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó  (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27

đặt a = x -y.  b = y-z .  c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27

suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81

P/S: bị chậm mất rồi

4)cho a,b,c là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$ tìm giá trị nhỏ nhất của 

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a + 10 + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} \geq  36$

$b + c + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} \geq  32 $

cộng theo vế ta có: $P + 10 \geq 68$ suy ra: $P \geq 58$

dấu "=" xảy ra khi $a = 2 ;  b = 3 ; c = 5$ và khi đó  $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$

cho $a,b,c,d \in  \mathbb{R}$ thỏa:

ta có $ac= \frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{3}{2}a\frac{1}{\sqrt{2}}c$

$\leq \frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2})$

tương tự ta có

ac+bd+cd$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}(a^{2}+b^{2})+$$(\frac{\sqrt{2}}{6}c^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}cd+\frac{\sqrt{2}}{6}d^{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{3})cd$

$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+(1-2\sqrt{3})\frac{9}{4}$

hi. mò ra dấu "=" hay thế   !!
đây là cách của t
đặt $y = ac + bd + cd = ac + b(3-c) + c(3-c) = -c^{2} + (a-b+3)c + 3b$

ta có: $ y \leq \frac{-\bigtriangleup }{4a}$ 

hay $y \leq \frac{-(a-b+3)^{2}-12b}{-4}  = \frac{(a+b)^{2}-4ab + 6(a+b)+9}{4} $

ta có: $2ab = (a+b)^{2} - (a^{2}+b^{2}) = (a+b)^{2} - 1$ và $a+b \leq \sqrt {2(a^{2}+b^{2})} = \sqrt {2}$

do đó:

$y \leq  \frac{-(a+b)^{2} + 6(a+b)+11}{4} $

xét $f(t) = \frac{-t^{2} + 6t+11}{4} $ 
từ đó chứng minh đc $y \leq f(t) \leq f(\sqrt {2})= \frac{9+6\sqrt {2}}{4}$  

Cách giải này tự nhiên hơn !!!

Giải hệ phương trình:

 

1/

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^{4}-x^{4}) & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2}) & \end{matrix}\right.$

 

 

2/

$\left\{\begin{matrix} x^{4}-y^{4}=240 & \\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y) & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-2)^4 = (y-4)^4$
Tới đây là ok rồi!! 

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

sai rồi bạn!! $x + y = 2014$ mà

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M $min$ thì $xy$ phải $max$. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{6040.2014^{2}}{4}$

Tìm $max$:

M đạt max thì $xy$ phải $min$

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số $x,y$ không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta chọn 2 số $x - 1$ và $y+1$  (vì nó có tổng bằng 2014) 

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với $xy$ min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min $xy$ = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

tks bác!! để em sửa. 

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương và nhận giá trị cũng trên tập đó và được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} f(1) = 1 \\  f(2n) = f(n) \\ f(2n+1) = f(2n) + 1 \end{matrix}\right.$      $\forall n = 1,2...$ 

 Tìm $max$   $f(n)$ với $n \in [1;2011] $