Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, có các cạnh a,b,c và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong tương ứng.CMR

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Phân giác $AD$.

Qua $B$ kẻ đường song song $AD$, cắt $AC$ tại $M$

Tam giác $ABM$ cân tại $A$

Sử dụng tính chất p/g và định lí Ta let, có: $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Cho : $\left\{\begin{matrix}n\in \mathbb{\mathbb{N}^{\ast }} & & \\ & & \end{matrix}\right.7^{n}-3^{n}\vdots n$

 

a) Chứng minh rằng : n chẵn 

b)Tìm n 

 

 

 

     

$7^n\equiv 7(modn);3^n\equiv 3(modn)\Rightarrow 7^n-3^n\equiv 2(modn)\Rightarrow n=2$

Vayaj $n=2$  là số chẵn :v

Có giỏi đâu mà nhận 

Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$

 

$VT\geqslant (a^2+b^2).[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}]$ với giả sử: $a>b>c\geqslant 0$

Bung ra và đặt: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t> 2$, dùng đạo hàm là ra :v

cách chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản.nếu ai trả lời được thì xin cảm ơn nhé

Bài 7, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

Bài 8, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

Bài 9, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

Thưa ban quản trị, 

cho em hỏi bạn em là Huong TH Phan trả lời cái topic này, sao lại bị ĐHV nhắc nhở ạ!

Mong BQT xem xét.

Nguồn: http://diendantoanho...-2/#entry522891

Em và bạn ấy cám ơn,

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTLN của biểu thức 

$\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+\sqrt{c^2+c+4}$

Ta đi CM: $f(x,y)\geqslant f(x+y)+f(0);0\leqslant x,y;x+y\leqslant 3\Rightarrow P=f(a)+f(b)+f(c)\leqslant f(0)+f(a+b)+f(c)\leqslant f(0)+f(0)+f(3)=8$

 

Kết thúc bài viết, tôi xin đề nghị một số bài tập tự luyện: 

 1. Cho $a, b, c, d\in [0; 1]$. CMR: $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d\ge 1$$

 

$(1):LHS=[(1-b)(1-c)(1-d)-1].-a+(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c-1\geqslant 0$

Cố định $b,c,d$ , $a\in [0;1]$ nên $a=1$;$a=0$.

Tương tự với $b,c\in {0;1}$

a,b>0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Bạn trình bày rõ hơn được không

quá dễ hiểu nhất rồi :3

Câu b nè ;v

$gt=>u> x,y,z\Rightarrow u!\vdots x!;....\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x!+y!\vdots z!\\ y!+z!\vdots x!\\ x!+z!\vdots y! \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=2;u=3$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

a) $x!+y!=(x+y)!$

b) $x!+y!+z!=u!$

Spoiler

Mấy bài tập đề nghị trong cuốn Chuyên đề số học VMF khó quá

$(a):(x+y)!\vdots x!\Rightarrow y\vdots x;x\vdots y\Rightarrow x=y\Rightarrow 2.x!=(2x)!\Rightarrow x=1$

dùng BĐT Minkowski

làm ntn ???

làm đi bạn

Bị sai bước bạn nhá!

Mẫu số= $(x_1+x_2)^2-8x_1x_2$ mới đúng.

Min là -2 khi m=1.

uhm. bt rồi. Nhầm. 

2/ 

28159=29* 971

Bài 2: Tìm các chữ số $a, b$ và $n \epsilon N$ , biết $\overline{a7b} . n = 2819$

 

2819 là số nguyên tố vì vậy không tìm đc a,b thỏa mãn bài toán

Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định

 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên

$U_2=5+ \sqrt{k-8}$

$\sqrt{k-8}=t^2$

$u_3= 25+5t +\sqrt{(t^2+8)(t+5)^2-8)} \Rightarrow (t^2+8)(t+5)^2-8$ la so chinh phuong

rồi ((t^2+8)(t+5)^2-8 chặn giữa 2 số chính phương là (t^2 +5t +4)^2 và (t^2+5t+14)^2

t=4

k=24

thử lại vs k=24 thi $U_n = 10U_n-1 - U_n-2 là 1 số nguyên

đề thi cấp tỉnh nè mn

Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm Min: $S=3\sqrt{x^2+y^2}+4\sqrt{x^2+y^2-8y+16}+5\sqrt{x^2+y^2-6x+9}$

 

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: $x^2-2mx+m-2=0~~(1)$ $(x$ là ẩn $)$

1. Cmr phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Tìm $m$ để biểu thức $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

 

2.1 $\Delta =(2m-1)^2+7>0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt

2.2 Theo hệ thức viet, ta có :$x1+x2=2m; x1*x2=m-2$

$2mx_{1}+x_{_{2}}^2-6x_{1}x_{2}-m+2=(x_{1}+x_{2})x_{1}+x_{2}^2-6x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=(2m-1)^2+7\geqslant 7$

 $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}\geqslant \frac{-24}{7}$

dấu = xảy ra khi m=$\frac{1}{2}$

Viet Hoang 99

Chú ý $\LaTeX$, có thể kẹp $ vào một công thức dài ví dụ như

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Chứ không phải là

$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$

Không kẹp $ vào tiếng Việt có dấu

Tam giác ABC,AB>AC, M,N là 2 điểm thuộc đường p/g trong, ngoài của góc  A.

CMR: a/ MB-MC<AB-AC

b/ NB+NC>AB+AC

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

$\sum (\frac{1}{3}-\frac{ab}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{a}{2a+b}=\sum \frac{(a-b)^2}{3.(a^2+ab+b^2)}+\sum \frac{a^2}{2a^2+ab}\geqslant \frac{\frac{4}{3}.(a-c)^2+(a+b+c)^2}{2.\sum a^2+\sum ab}\leqslant 1(true)$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$

$gt\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geqslant 1$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geqslant 1;A=LHS=\sum \frac{z^3}{x^2+y^2}$ (đặt: $1/a=x$)

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geqslant y\geqslant z> 0\Rightarrow A\geqslant ^{Chebyshev}\frac{1}{3}.\sum x^3.\sum \frac{1}{y^2+z^2}$

Dùng $AM-GM$ nữa là xong :v

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} 

bài thi chuyển lớp năm ngoái nì