Cho điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$. Một đường  thẳng qua $D$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tìm $GTLN$ của $T=S_{BDM}.S_{CDN}$ với $AB=5,AC=6,BC=7$.

Tìm số nguyên x bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

   $x^{2}-4xy+5y^{2}+20x-22y+12=0$

Mọi người làm giúp với!

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$. Gọi $H$ là giao điểm các đường cao $AD,BE,CF$. Vẽ đường kính $AK$.

$a)$ Chứng minh rằng tứ giác $BCEF$ nội tiếp. Suy ra: $AF.AB=AE.AC$ và $AK$ vuông góc $FE$.

$b)$ Vẽ $OI$ vuông góc $BC$. Chứng minh rằng: $BHCK$ là hình bình hành. Suy ra $3$ điểm $H,I,K$ thẳng hàng và $AH=2OI$.

$c)$ $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Tứ giác $BCKM$ là hình gì?

$d)$ Chứng minh rằng: $DA^{2}+DB^{2}+DM^{2}+DC^{2}=4R^{2}$ và $AB^{2}+AC^{2}+MB^{2}+MC^{2}=8R^{2}$.

------->Trường hợp $AB=R\sqrt{2};AC=R\sqrt{3}$. Tính độ dài $BC$.

Cho tam giác $ABC$, điểm $O$ cố định nằm trong tam giác ($O$ không thuộc các cạnh). Điểm $M$ di động trên tia $OA$($M$ khác $O$, $A$) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$ còn cắt tia $OB$ tại $N$ khác $B$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACM$ còn cắt tia $OC$ tại $P$ khác $C$.

a) Chứng minh $\frac{ON}{OP}$ không đổi.

b) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$. Chứng minh $O,I,J$ thẳng hàng.

Rút gọn: $A=\sqrt{7+2\sqrt{17\sqrt{2}}+2\sqrt{2}}+\sqrt{3\sqrt{2}+2}.$

Cho hai đường tròn $(O_{1};R_{1}),(O_{2};R_{2})$. Các điểm $M_{1},M_{2}$ theo thứ tự thay đổi trên $(O_{1};R_{1}),(O_{2};R_{2})$. Tìm quỹ tích trung điểm $M$ của $M_{1}M_{2}$.

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $2a$. $A^{'},B^{'},C^{'}$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,AB,AC$. Gọi $M$ là điểm nằm ở miền trong tam giác $A^{'}B^{'}C^{'}$. Gọi $H,K,L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên  $BC,AC,AB.$

1) Gọi $J$ là giao điểm của $MH$ với $B^{'}C^{'}$. Chứng minh tổng $MJ+MK+ML$ không phụ thuộc vị trí $M$.

2) Biết $\sqrt{MH}=\sqrt{MK}+\sqrt{ML}.$ Chứng minh $M$ thuộc đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

P/s: Đây là câu hình cuối của đề thi HSG tỉnh mình :v

Cho $a,b,c,d$ khác nhau đôi một. Biểu thức $A=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}.$ Với giá trị nào của $x,y,z,t$ thì $A$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Trong đó $x,y,z,t$ là các hoán vị của $a,b,c,d$.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}b^{2}+25}-5=a^{2}\\ \sqrt{a^{2}b^{2}+25}+5=b^{2} \end{matrix}\right.(a,b,\sqrt{a^{2}b^{2}+25}\in \mathbb{Q})$.

Trong một tờ giấy hình vuông bằng giấy có cạnh $12 cm$ có $31$ lỗ kim châm. Chứng minh rằng ta vẫn có thể cắt từ tờ giấy này ra một hình tròn có bán kính $1 cm$ mà không chứa một lỗ kim châm nào.

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a\geq b\geq c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm $GTNN$ của: $$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac {24}{5\sqrt{5a+5b}}.$$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn: $ab+bc+ca$ khác $0$. Chứng minh: $$\frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+3bc}+\frac{b^{2}(a+c)^{2}}{b^{2}+3ac}+\frac{c^{2}(a+b)^{2}}{c^{2}+3ab}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}.$$

Lấy $a=b=c= \alpha \in (0,\frac{1}{3})$, "BĐT" trên sai.

a=b=c=1/6 => bất đẳng thức trên sai

Xin lỗi, mình đánh nhầm đề, đã sửa ở trên

Đây là 2 bài bdt hay, mình đã giải được rồi, mong các bạn giải thêm nhiều cách:

   1.Cmr với mọi $x>\sqrt{2}, y>\sqrt{2}$ thì:

$x^{4}-x^{3}y^+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\geq x^{2}+y^{2}$.

   2.Cho a,b,c thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Cmr:

$2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$.

Bọt Bèo mới nhập học trong ngôi trường của các phù thủy. Bài tập đầu tiên cậu phải thực hiện là câu thần chú “Úm – ba – la đổi màu”. Có n viên bi, mỗi viên được đánh thứ tự từ 1 đến n. Ban đầu tất cả các viên bi đều màu xanh. Sau khi Bọt Bèo đọc thần chú lần thứ 1, các viên bi có số thứ tự chia hết cho 2 sẽ đổi màu (xanh thành đỏ), sau khi Bọt Bèo đọc thần chú lần thứ 2, các viên bi có số thứ tự chia hết cho 3 sẽ đổi màu (xanh thành đỏ, đỏ thành xanh), ..., sau lần đọc thứ k, các viên bi thứ tự chia hết cho k+1 sẽ đổi màu (xanh thành đỏ, đỏ thành xanh).

Yêu cầu: Cho trước n và k, đếm xem có bao nhiêu viên bi màu đỏ khi Bọt Bèo đọc xong k câu thần chú.

                                            n=1000 và k=35 thì có bao nhiêu bi đỏ???

Giải hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix} \frac{7}{2}+\frac{3y}{x+y}=\sqrt{x}+4\sqrt{y}\\ (x^{2}+y^{2})(x+1)=4+2xy(x-1) \end{matrix}\right.$$

Cho $\Delta ABC$ có các chiều cao $h_{a},h_{b},h_{c}$ và đường tròn nội tiếp bằng $2$.Biết $h_{a}=7,h_{b}=3$. Tính $h_{c}$.

Cho $0\leq b_{k}\leq 1\forall k$ và $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}\geq a_{n+1}=0. Cmr$: $\sum_{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})\leq \sum_{k=1}^{[\sum_{i=1}^{n}(b_{i})]+1}(a_{k})$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b,c$ ta có thể tìm được số nguyên dương $n$ sao cho $$n^3+an^2+bn+c$$ không là số chính phương.

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca > 0 và a + 2b + 3c = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+c^{2}}}$

Áp dụng $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$:

$P\geq \frac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{ab+bc+c^{2}}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c^{2}+c(a+2b)+2ab}}.$

Ta có: $(a-2b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2ab\leq (\frac{a+2b}{2})^{2}$.

Do đó: 

$P\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c^{2}+c(a+2b)+(\frac{a+2b}{2})^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{a+2b+2c}\geq \frac{4\sqrt{2}}{a+2b+3c}=\sqrt{2}$

Vậy $Min P=\sqrt{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi: $a=2,b=1,c=0$.

Giải phương trình $[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+...+[\sqrt[3]{x^{3}-1}]=855$.

x,y, > o, x+y-z=1.CM x+y$\geq 16xyz$

Mình nghĩ đề phải sửa thành x+y+z=1. Nếu thế thì làm như sau:

Ta có :

$x+y=(x+y)(x+y+z)^{2}=(x+y)[(x+y)+z]^{2}$. Mà theo BĐT AM-GM với (x+y) và z dương

(x+y)+z $\geq 2\sqrt{(x+y)z}$. =>(x+y)$\geq (x+y)4(x+y)z = 4(x+y)^{2}z$

Mà $(x+y)^{2}\geq 4xy$ (AM-GM) => (x+y) $\geq 4(x+y)^{2}z \geq 4z.4xy=16xyz$. Vậy có đpcm.

Tìm nghiệm nguyên của pt: 

$2x^{2}+3xy-2y^{2}=7$. (Không dùng biệt thức $\Delta$)

Cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $3\leq \frac{3(3a+1)}{(a+1)^{2}}+\frac{3(3b+1)}{(b+1)^{2}}+\frac{3(3c+1)}{(c+1)^{2}}\leq a+b+c.$

Cho $\triangle ABC$. Hãy chứng minh rằng: $\frac{bc.cosA+ca.cosB+ab.cosC}{a.sinA+b.sinB+c.sinC}\geq 2r$.

Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng ba lần tổng của chúng .
Gọi ba số nguyên tố cần tìm là a,b,c được : abc =3(a + b + c).Do a ,b, c là các số nguyên tố nên phải có một số bằng 3

 

 

 

Tại sao ? lại là 3 mà không thể là 2, 5,7 .... cần người giải thích giúp 

Tất nhiên rồi bạn.  Do $abc$ chia hết cho $3$ nên có $1$ số chia hết cho $3$. Nên có một số bằng $3$.