cái này còn suy ra đc 1 đống bất đẳng thức tg tự hay sao ý ???

VD với 3 số, (tương tự tổng quát cho n số ) : Cho $a,b,c\geq 1$ CMR : 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{1+abc}$

LG :

Áp dụng liên tiếp 2 lần BĐT với 2 số đã chứng minh ở trên :

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{abc+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\geq \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{a^4b^4c^4}}}=\frac{4}{1+abc}$

Suy ra ĐPCM.

TQ: Cho $a_{i}\geq 1\forall i=\overline{1,n}$

CMR : 

$\sum_{n}^{i=1}\frac{1}{1+a^n}\geq \frac{n}{1+\coprod_{n}^{i=1}a_{i}}$

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

   a) $4x^{2} + 25y^{2} + 144z^{2} = 2007$ 

   b) $x^{6} + 3x^{3} + 1 = y^{4}$

a, chặn z là được thôi mà.

b, 

$\Leftrightarrow 4x^6+12x^3+4=(2y)^2\Leftrightarrow (2x^3+3)^2-5=(2y)^2$

rồi chuyển về phương trình ước số.         

1. Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình :

     $x^{2} + y^{2} + z^{2} < xy + 3y + 2z - 3$

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

     $3(x^{2} + xy + y^{2}) = x +8y$

1.

$xy+3y+2z-3>x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx \Rightarrow 3y+2z-3>yz \Leftrightarrow yz-3y-2z+3<0\Leftrightarrow (y-2)(z-3)<3$

2,$3x^2+3xy+3y^2=x+8y\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y$ = 0 (1)

để PT (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta (x)$ phải là số chính phương ...  

Bài toán :  Cho a,b,c là các số thực dương . CMR : 

                   $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

P/s : Mình đã nghĩ rất lâu mà không giải được.

Rồi.Mình dùng hết các pp rồi ( chắc đánh giá kém ). Mình chẳng tìm thấy lời giải ở đâu cả. 

Cho (a,p) = 1 và p là số nguyên tố. CMR : $a^{p-1}\equiv 1(mod p)$

Vậy còn dạng ngược lại :

Cho a,p là số tự nhiên thỏa mãn (a,p)=1 và $a^{p-1}-1\vdots p$ CMR p là số nguyên tố.

Tương đương với bài toán sau :

Cho a,p thỏa mãn (a,p)=1 và p là hợp số. 

CMR : 

$a^{p-1}-1$ không chia hết cho p. 

Xét dãy số : 

$a,2a,3a,4a,.., (p-1)a$ 

TH1 :

Nếu tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho p là m.a và n.a ( m < n , m và n là các hằng số )

thì m.a - n.a = ( m - n ) a $\vdots$ p .

dễ nhận thấy 0 < m - n < p nên a $\vdots$ p suy ra (a,p) = p $\neq$ 1 suy ra Vô lý ( Loại )

TH2 :

Khi lấy các số trong dãy trên chia cho p không có số nào có cùng số dư khi chia cho p .

Suy ra các số dư lần lượt là 1,2,3,4,... p-1 vì a không chia hết cho p .

Hay $a.2a.3a...(p-1)a\equiv 1.2.3.4...(p-1)(modp)$ 

Hay $a^{p-1}.(p-1)!\equiv (p-1)!(modp)$

Hay $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ( ĐPCM )

(Định lý Fermat nhỏ là 1 định lý có nhiều ứng dụng trong số học)

Bài 47 là đề VNTST 2007

Bài 46: 

Cho x = 0 ta được : $f(f(y))=2y+f(0)$

Do đó f là song ánh Cho tiếp y = 0 ta được ngay $f(0)=0$

Do đó $f(x+f(y))=f(x)+2y=f(x)+f(f(y))$ suy ra ngay f là hàm cộng tính ( Do f toàn ánh ) 

Mà f liên tục nên $f(x)=kx$

Thử lại được $k=\sqrt{2}$

Câu 4b

Goi (ABC) là (O) tâm O

Gọi giao điểm của TM,TN với (O) là L,G

Ta sẽ chứng minh phân giác MTN đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa A.  Tương đương với chứng minh LG // BC hay $\widehat{BTM}=\widehat{NTC}$  (5)

Dễ thấy PQ là trục đẳng phương của (I),(HBC),(K) .                 (*)

Gọi J là giao điểm của EF với BC .

Ta có EFBC nội tiếp nên JE.JF=JB.JC do đó J nằm trên trục đẳng phương của (HBC) hay (O) và (I)     

Do đó J,P,Q thẳng hàng .

Ta có : T nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) nên O,K,T thẳng hàng .                 (1)

  Từ (*) suy ra  : JE.JF = JP.JQ = JM.JN = JB.JC

Do đó J nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) .                                                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra JT tiếp xúc (O) , (K).

Dễ thấy : $\widehat{JTC}=\widehat{TBC}$                                        (3)

     $ JT^2=JB.JC=P_{J/(O)} $ 

Do đó : $\widehat{JTN}=\widehat{JMT}$                                           (4)

Từ (3) và (4) suy ra ĐPCM  (Theo (5))

E nên chăm chỉ học và giải toán.

Toán sơ cấp không có phương pháp cụ thể giải từng bài đâu.

Tài liệu : 

Xét tam giác ABC với $(I),(I_{a}),(E)$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A và đường tròn Euler.

Gọi tiếp điểm của $(I),(I_{a})$ với BC là A' và A''

Gọi M,N,P là trung điểm của BC,CA,AB.

AI cắt BC tại I' 

Kẻ I'J vuông góc với ME.

Bạn hãy chứng minh :

Phép nghịch đảo : $N\tfrac{MA'^2}{M}$ biến $(I)\rightarrow (I_{a})$  và $(E)\rightarrow I'J$

Sau đó chứng minh : I'J đối xứng với BC qua phân giác của góc A 

Nên theo tính chất phép nghịch đảo suy ra ngay ĐPCM 

Giả sử $n^2+d=a^2$

Vì d là ước dương của $2n^2$ nên $2n^2=dk$ ( $k\in \mathbb{N}$ )

Suy ra $n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}$ $=a^2$

$\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2$

Suy ra :

$k^2+2k=(\frac{ak}{n})^2$ là số chính phương.

Suy ra  Vô lý vì $k^2 < k^2+2k<(k+1)^2$

Câu 4 : 

a) $\Delta CME$ đồng dạng $\Delta BNA$

b) $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=\widehat{M_{1}}=\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}=\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$

Suy ra $\widehat{MO_{2}D}=2\widehat{A_{2}}=\widehat{N_{1}}$

Suy ra tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp.

c) $O_{1},N,O_{2}$ nằm trên đường trung trực của AD nên chúng thẳng hàng.

dễ chứng minh $\widehat{MDN}=90^{o}$ nên tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp đường tròn tâm K 

Suy ra $\widehat{O_{2}KA}=2\widehat{M_{1}}=2\widehat{B_{1}}=\widehat{O_{2}O_{1}A}$

Suy ra tứ giác $AO_{2}KO_{1}$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

Câu 5 : Sử dụng BĐT Cauchy và BĐT Schwarz :

$VT=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}= \sum_{cyc}\frac{2a^2}{2\sqrt{b+3}}\geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{b+7}\geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{a+b+c+21}=\frac{3}{2}$

Câu 1 :

$P=(\frac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\frac{a+\sqrt{a}}{a-1}) : (\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{a}-1})$

a) Rút gọn P

b) Tìm a nguyên để $P+\frac{1}{4}$ là số nguyên

Câu 2 :

a ) Giải phương trình :

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$

b) Giải HPT :

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6y\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$

Câu 3:

Cho a,b,c nguyên dương và thỏa mãn :

$a^4\vdots b$ , $b^4\vdots c$ và $c^4\vdots a$ . CMR $(a+b+c)^{21}\vdots abc$

Câu 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ( AB < AC ) .

$(O_{1})$ đường kính AB.

$(O_{2})$ đường kính AC.

Hai đường tròn trên cắt nhau tại D. M là điểm chính giữa cung nhỏ CD của $(O_{2})$.

AM cắt $(O_{1})$ tại N và cắt BC tại E.

a) CMR : $ME.BN=MC.AN$

b) Tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp

c) K là trung điểm MN. CMR : $\widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

Câu 5 :

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn  a + b + c = 3.

CMR :

$\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}\geq \frac{3}{2}^{}$

                                                                        ( Duy Thân - THCS Song Mai) 

P/s : Bài Số học khó nhất.

minh ko hieu cho nay. (a,b,c) =k lam sao co duoc x,y,z doi mot nguyen to cung nhau? ví dụ đơn giản là (4;8;10) =2 ; 4=2.2; 8=2.4 ; 10 =2.5. nhưng 2 và 4 ko thể nguyên tố cùng nhau. ..... mọi người cho ý kiến với nhé!

ờ đúng rồi đó . mình nhầm rồi .

gỡ bài vậy.

Câu 3:

Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,

Thế thì 

$(a,b)\neq 1,(b,c)\neq 1,(c,a)\neq 1$ 

Suy ra : $(a,b,c)\neq 1$ 

Đặt $(a,b,c)=k$

Suy ra 

$a=kx$

$b=ky$

$c=kz$

( Với x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau vì (a,b,c) = k )

Vì $a^4\vdots b$ nên $k^4x^4\vdots ky$

Hay $k^3x^4\vdots y$ mà (x,y) = 1 nên : $k^3\vdots y$

CMTT : $k^3\vdots x$ và $k^3\vdots z$

Suy ra $k^9\vdots xyz$

Ta có : $(a+b+c)^{21}=k^{21}.(x+y+z)^{21}\vdots k^{21}\vdots k^{9}.k^{3}\vdots xyz.k^3=abc$

Câu 2 :

b) Phương trình 1 có dạng :

$3x-2y=y\sqrt{3x-2y}+6y^2\Leftrightarrow (2y+\sqrt{3x-2y})(3y-\sqrt{3x-2y})=0$

Giải xong rồi thế vào phương trình 2 

p/s : Bài HPT này dài .......

Đố các bác bài này nhé : 

$(x-2)\sqrt{x+1}+(x+2)\sqrt{x-1}=\frac{4\sqrt{5}}{25}x\sqrt{x}$

1. 

Áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz ta có : 

$\left ( 2a^2+b^2 \right )\left ( 2a^2+c^2 \right )=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2=a^2(a+b+c)^2$

Tương tự và do đó : 

$VT\leq \sum \frac{a}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{3}$

(Vì a + b + c = 3 ) 

Bài này là bài khá kinh điển cho NL Cực hạn .

Mình nhớ không nhầm thì là của tạp chí CRUX. 

Tài liệu NL Cực Hạn của thầy T N Dũng :

2.

Ta có : 

$\frac{a^2}{4}+b^2\geq ab$ 

Tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM .

bạn có thể làm rõ được không?

$\frac{a^2}{4}+b^2\geq ab$

$\frac{a^2}{4}+c^2\geq ac$

$\frac{a^2}{4}+d^2\geq ad$

$\frac{a^2}{4}+e^2\geq ae$

Cộng lại ta có ĐPCM.