Tính các tích phân kép sau:

$I=\int_{D}\sqrt{2x-x^2-y^2}d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2-2x+y^2\leq 0$

$I=\int_{D}\left | {2x-x^2-y^2}\right |d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2+y^2\leq2y.$

Tính cái trên:

Đặt $x=rcos\phi, y=r\sin\phi$

$ 0 \le \phi \le 2\pi$, $x^2+y^2 \le 2x$ suy ra $ r^2 \le 2rcos\phi \implies r \le 2cos\phi$

Do đó $ I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2cos\phi}\sqrt{2rcos\phi-r^2}rdrd\phi $

Mk vẫn chưa hiểu cách bạn giải cho lắm. Bạn có thể giải chi tiết ra được ko?? Vì theo như lời giải của bạn. Mk vẫn chưa thể nào tính ra được $F(\frac{\pi}{6})$ và cả $F(0)$ nữa...

Chứng minh được $f(x)=-f''(x)$ thì khi đó $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx= -\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f''(x)dx=f'(0)-f'(\dfrac{\pi}{6})$

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\begin{bmatrix} 0; \frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ Biết $f'(x)cosx + f(x)sinx = 1$ $\forall x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$ và $f(0)=1$ Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}f(x)dx$

A. $I=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$

B. $I= \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

C. $I= \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

D. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

 

Ở bài này mình đã tính được ra $f(\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ xong là bí luôn. Ko nghĩ ra được hướng gì để biến đổi nữa. Nhưng cái biểu thức đó là $f(x)$ không phải $f'(x)$ nên làm hoài cũng chẳng được @@

Ta có $f'(x).cosx+f(x).sinx=1$

Đạo hàm hai vế ta có $f''(x).cosx-sinx.f'(x)+f'(x).sinx+cosx.f(x)=0 \iff cosx[f(x)+f''(x)]=0$,$ \forall x \in [0,\dfrac{\pi}{6}]$

Suy ra $f(x)=-f''(x)$

Ngày thi thứ hai

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018

Ngày thi thứ nhất

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên $a \ne 1$ sao cho:

$A=\dfrac{a^6-1}{a-1}$

là số chính phương.

Câu 2: Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $ P(0)=1 $ và

$ P(x^2+1)=(P(x)^2)+2xP(x)$

với mọi $x \in \mathbb{R}$

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA, CQ \perp BC, PR \perp AB, BR \perp BC $.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $ P $ vuông góc với $ QR $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ P $ thay đổi.

Câu 4: Cho $ a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$ \sqrt{\dfrac{a^2+bc}{a(b+c)}}+\sqrt{\dfrac{b^2+ca}{b(c+a)}}+\sqrt{\dfrac{c^2+ab}{c(a+b)}}+\sqrt{\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 4 $

Ngày thi thứ hai

Câu 5: Cho dãy số nguyên dương $ (a_n) $ thỏa mãn $a_{n+1}=a_n^3+4a_n$ với mọi $ n \ge 1 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1$ để $ a_{2018}+2018 $ chia hết cho $ 57 $.

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Các điểm $ E, F $ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $ CA, AB $ sao cho $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BHC $. $ K $ là tâm ngoại tiếp tam giác $ AEF $. $ KC,KB $ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ KAE,KAF $ theo thứ tự tại $ M,N $ khác $ K $. Chứng minh rằng $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AMN $.

Câu 7: Cho $ n \ge 3 $ là số nguyên dương. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, giả sử tồn tại một đa giác lồi $ n $ cạnh thỏa mãn các điều kiện sau:

-Mỗi đỉnh của đa giác có hoành độ, tung độ là các số hữu tỉ.

-Tất cả $ n $ cạnh của đa giác có độ dài bằng nhau.

Chứng minh rằng $ n $ là số chẵn.

Mọi người chỉ em cách trình bày một bài giải để gửi về tòa soạn của tạp chí TH&TT với ạ (tiêu đề, ghi tên, địa chỉ, viết trên giấy gì, viết trên 1 mặt hay 2 mặt của 1 tờ,...)

http://mathscope.org...ead.php?t=15868

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$:$U_{n}=a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2}+c\sqrt{n+3}$

Chứng minh rằng: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

Khi $n \to \infty $thì $ \sqrt{n+1} \sim \sqrt{n+2} \sim \sqrt{n+3}$

Khi đó $u_n \sim \sqrt{n+1}(a+b+c)$

Nếu$ limu_n=0$ thì $a+b+c=0$

KHTN cũng mới thi lúc sáng

Cho x, y là các số tự nhiên và $x+y\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y}\geqslant \frac{2}{1+2^{x+y}}$

Đặt $a= 2^x, b=2^y$. BĐT trở thành $ \dfrac{1}{1+a^2} +\dfrac{1}{1+b^2} \ge \dfrac{1}{1+ab}$

Tới đây biến đổi tương đương

Câu 6b là một tính chất của dãy $Lucas   (L_n)$

Với $m$ là số lẻ, ta có:

$ L_{mn} \vdots L_n$

 Câu a là hệ quả của tính chất này.

Như vậy $0 \leq \left |f'(x) \right |<\left |f(x) \right | = 0 $ trên $\left [ a,b \right ]$ ? Có vẻ không ổn.

$|f(x)|=0$ ?

Cho dãy $(u_{n})$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & & \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}-u_{n}+1} &,n\geq 1 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{n}<1$

Ta có $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{a_n}{a_n^2-a_n+1} \le 1$

Do đó dãy là số giảm.

$u_1=\dfrac{1}{2}<1$, quy nạp ta có $u_n <1 \forall n \ge 1$

Từ đó ta có $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0 $
$u_{n+1}-1= \dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1}-1= \dfrac{u_n-1}{u_n^2-u_n+1}$

Nên $ u_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1} $

Suy ra $ S_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{n}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_1-1} $

Do đó $ \lim\limits_{n \to +\infty} S_{n} = -1+\dfrac{1}{1-u_1} $ nên $S_n <1$

cho a,b,c >0 và a+b+c =3 chứng minh rằng 

$$4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9$$

Đặt $a+b+c=p=3, ab+bc+ac=q, abc=r$. Khi đó ta có:

$a^2 +b^2+c^2 = p^2-2q = 9-2q$

$a^3+b^3+c^3= p^3-3pq+3r = 27-9q+3r$

Do đó bất đẳng thức tương đương với 

$4(9-2q) - (27-9q+3r) \ge 9 \iff q \ge 3r$.

Ta có $ q^2 \ge 3pr = 9r$ suy ra $q \ge 3\sqrt{r} \ge 3r $ vì  $ 0<r \le 1$ 

Ta có đpcm

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên đoạn $ [a;b]$ và $ \forall x \in [a;b]$ thì $|f'(x)|<|f(x)|$.

Chứng minh rằng $f(x) \equiv 0$, $\forall x \in [a;b]$.

Tìm $\lim_{x->0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt[3]{x^{3}-1}}{x^{2}}$

Dùng $L'Hopital$ thôi bạn

Nếu thế thì xác định dãy 'theo' cái gì?

Đề cho vậy thôi ạ

Không có giá trị khởi tạo luôn sao???

vâng anh

Xác định dãy số $(x_n)$ biết rằng 

  $ x_{2n+1}= 3x_n+2$ với $n=0,1,2,...$

Gọi $V$ là tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một ma trận vuông cấp $n$ có các phần tử đôi một khác nhau và là các số trong tập hợp 

$\left\{1,2,...,n^2 \right\}$. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $rank(A)$ với $A \in V$.

Cho $A, B$ là hai ma trận có tính chất $A^2=A, B^2=B$. Chứng minh rằng $A$ đồng dạng với $B$ khi và chỉ khi $rank(A)=rank(B)$

cho $p$ là số nguyên tố lẻ

chứng minh :

$\sum_{0}^{n}(C_{p}^{k} C_{k+p}^{k})-(2^p+1) \vdots p^2$

Có trong mấy quyển tuyển tập Olympic 30/4

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, I là tâm đường tròn nội tiếp. E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AC, AB. BI, CI cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ 2 lần lượt là P, Q. Chứng mình rằng P, Q, E, F thẳng hàng

bạn coi lại đề

Cho các số a,b,c,x,y,z>0 và a+b+c=1. CMR:

$ ax+by+cz+2\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)} \leq x+y+z $

Bổ đề: Với mọi số thực dương $a, b, c, x, y, z$, bất đẳng thức sau luôn đúng 

$ (b+c)x+ (c+a)y+ (a+b)z \ge 2\sqrt{(xy+yz+xz)(ab+bc+ac)}$ 

Thật vậy ta có $(b+c)x+ (c+a)y+ (a+b)z$

$= (a+b+c)(x+y+z)- (ax+by+cz) $

$=  \sqrt{[2(ab+bc+ac) +a^2 +b^2 +c^2][2(xy+yz+xz) +x^2 +y^2 +z^2]}- (ax+by+cz)$

$  \ge 2\sqrt{(xy+yz+xz)(ab+bc+ac)} + [ \sqrt{ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2 +z^2)}- (ax+by+cz)]$

(Sử dụng bất đẳng thức $ \sqrt{(m+n)(p+q)} \ge (\sqrt{mp} + \sqrt{nq}) $

$ \ge  2\sqrt{(xy+yz+xz)(ab+bc+ac)}$  (đpcm)

(vì $\sqrt{ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2 +z^2)} \ge  ax+by+cz $)

Từ đây ta có $ ax+ by +cz +2\sqrt{(xy+yz+xz)(ab+bc+ac)} \le ax+by+cz + (b+c)x+ (c+a)y+ (a+b)z = (a+b+c)(x+y+z) =  x+y +z   $

(do $a+b+c=1$)

Bài 2:

Ta có $ x_{n+1}- x_n = \dfrac{n+1}{(n +2)!} >0 $

Suy ra dãy $(x_n)$ là dãy tăng, do đó $ 0<x_1 < x_2 <...< x_{2011}$.

Khi đó $ x _{2011} < \sqrt[n]{x_1^n +x_2 ^n +...+ x_{2011}^ n} < 2011^{\dfrac{1}{n}}x_{2011}$

 Cho $ n \rightarrow +\infty $ Ta có $lim u_n = x_{2011}$

Mà $x_n = 1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ nên $x_{2011}= 1- \dfrac{1}{2012!}$

Vậy $lim u_n = 1- \dfrac{1}{2012!}$

Với $ \lim\limits_{x \to \infty}{x_{n}}=x$ chứng minh:

$ \lim\limits_{x \to \infty}{\sqrt{x_{n}}}=\sqrt{ \lim\limits_{x \to \infty}{x_{n}}}=\sqrt{x}$

$lim(a.b) = lim a. lim b ?$