Giải phương trình vi phân:

$$\frac{y"}{y'^3}+\frac{2}{y'}-x-y=e^{-y}$$

Giải phương trình vi phân sau:

$$ydx+(x+x^2y^2)dy=0$$

Cho khai triển Fourier $x^2=\frac{\pi ^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{cos(nx)}{n^2}, x \in [-\pi, \pi)$. Tính tổng $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}$

Tính $I=\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)dxdydz$, với V được xác định bởi:

$$x^2+y^2+z^2\leq 1,z \leq -\sqrt{x^2+y^2}$$

Bài 1: Tính tổng chuỗi hàm số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n(n+1)x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Bài 2: Tính tổng chuỗi số $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n. \pi^{2n}}{(2n)!}$

Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ: $x^2+z^2\leq 4,y^2+z^2\leq 4$

Cả a, và b, đều nhanh chóng giải quyết bằng ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính.

Bạn có thể cho mình mẫu của ý b không cái a thì thôi.

Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $P_{2}[x]\rightarrow P_{2}[x]$ thỏa mãn: $f(1-x^2)=-3+3x-6x^2,f(3x+2x^2)=17+x+16x^2,f(2+6+3x^2)=32+7x+25x^2$. 

$a,$ Tìm ma trận của $f$ đối với cơ sở chính tắc của $P_{2}[x]$. Tính $f(1+x^2)$

$b,$ Xác định $m$ để véc tơ $v=1+x+mx^2$ thuộc $Imf$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $A,B$ thuộc parabol $y=-x^2+2xx+4$,$A,B$ có tung độ dương, $C,D$ thuộc trục hoành. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$.

Tìm $a,b \in R$ sao cho:

$$ \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{e^{2x}-1+ax+bx^2}{x^2} =0$$

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ . Tính $det(A)$ với $a_{ij}=max(i,j)$

Nếu không có Vinacal thì làm sao giải đc hệ 4 ẩn em ơi? . Đây là đáp án của tác giả bài toán: 

Bài 5: 

Bài 169: ( Chuyên Lê Hồng Phong) Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z \leq \frac{19}{5}$. Tìm GTLN của:

$$P=(1+x^2y^2)\sqrt{1+z^4}-\frac{(x+y+z)^4}{12}$$

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D là 1 điểm trên AB sao cho AB=3AD. Từ B kẻ BH vuông góc với CD (H thuộc CD). Giả sử M là trung điểm CH. Chứng minh AM vuông góc BM?

Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2,$ và $x=max${$x,y,z$}, $y^2+z \neq 0$. Tìm GTNN của:

$$P=\frac{6x^2}{x^2+z}+\frac{6y^2}{y^2+z}+\frac{2z}{z+y^3}$$

Biến đổi p,q,r ta có: $2q=p^2-3$
Bđt Schur: $9r\geq p(4q-p^2)=p(p^2-6)$
Do đó $P\leq \frac{7}{2}(p^2-3)-p(p^2-6)\leq 12\Leftrightarrow (-\frac{5}{2}-p)(p-3)^2\leq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
MaxP=12.

Bài này nhẹ nhàng thôi, không cần thiết phải lôi BĐT Schur vào làm gì, với kiến thức thi đại trà thì không phù hợp.

Ở đây ta làm như sau:

Giả sử $a=max${$a,b,c$} thì ta có: $1\leq a\leq\sqrt{3}$.

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng $f(a)=a(9bc-7b-7c)+11-bc \geq 0$

Dễ thấy $f(a)$ là hàm đơn điệu nên ta chỉ cần chứng minh:

$f(1) \geq 0$ và $f(\sqrt{3}) \geq 0.$

Bài 125: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $(xy+x+y)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+\frac{1}{xy}=7$.Tìm GTNN của:

$$P=\frac{\sqrt{x^2+1}}{y}+\frac{\sqrt{y^2+1}}{x}-(x+y+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$$

Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:

$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$

BĐT tương tự sau cũng đúng:

$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2$$

Hoặc:

$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}+\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$$

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca>0$

$\frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b(c+a)}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{3\left [ (a-b)(b-c)(c-a) \right ]^{2}}{(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2})(c^{2}+ca+a^{2})}$

 

Spoiler

Mấy ngày này chán quá!   Lang thang trên mạng thì tìm được bài này, mọi người làm thử xem

Áp dụng BĐT C-S thì ta có:

$$VT \geq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ab^2+bc^2+ca^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc\left[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right]}$$

Mặt khác theo BĐT Schur thì $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \leq a^3+b^3+c^3+3abc$. Vậy nên ta có:

$$\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ab^2+bc^2+ca^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}$$

Ta có kết quả sau: Với mọi số thực $a,b,c$ thì BĐT sau đúng:

$$\prod(a^2+ab+b^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)$$

 

 

 

 

Đặt $p=x+y+z=3$, $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$. Áp dụng BĐT Schur :

$$r\geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$$

Cũng có :

$$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left [ (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \right ]=3r+3(9-3q)=3r-9q+27$$

 

Bạn có thể tránh dùng BĐT Schur bằng cách sử dụng nguyên lí Dirichle, giả sử $(x^2-1)(y^2-1) \geq 0$

Bài 52: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x(y^2+z^2)=yz(y+z)$.Tìm GTNN của:

$$\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$$

(Trích đề thi thử Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm $AH$. Đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $D$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $FB\perp BC$.

Cho các số thực không âm a,b,c, $a+b+c \le 2$

Tìm max:

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}+\dfrac{12}{\sqrt{a+b+c+2}}+1$

Bạn có thể dùng bổ đề sau:

$$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$$. Trên điễn đàn bài này đã được post nhiều