Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $xyz> 0$ và $\left | xy+yz+zx \right |=2\sqrt{2015xyz}$

Chứng minh rằng $(x+y-2015)(y+z-2015)(z+x-2015)\leq 0$

Làm tn đc ko nhỉ :-s

Ta có: $\frac{|xy+yz+zx|}{2\sqrt{xyz}}=\sqrt{2015}$

$\Rightarrow \frac{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz(x+y+z)}{4xyz}=2015$

$\Rightarrow \sum\frac{xy}{4z}+\sum\frac{x}{2}=2015$

Xét $x+y-2015=x+y-\sum\frac{xy}{4z}-\sum\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}-\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{4xyz}$

$\Rightarrow x+y-2015=-\frac{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2-2xyz(x+y-z)}{4xyz}=-\frac{(-xy+yz+zx)^2}{4xyz}$

Tương tự $2$ cái còn lại nhân vào được đpcm.

Cho $n$ số dương: $0<x_1\leq x_2\leq x_3\leq ...\leq x_n$

Chứng minh rằng với $n\geq 3$, ta có:

 $\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{i+1}}\geq\sum_{i=1}^n \frac{x_{i+1}}{x_i}$

Cho phương trình: $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm.

Chứng minh rằng: $2a^{2}+b^{2}\geq 4$.

Chứng minh rằng nếu $m,n$ là các số tự nhiên thoả mãn hệ thức:
$3m^{2}+m=4n^{2}+n$ thì $m-n$ và $4m+4n+1$ đều là số chính phương.

$3m^2+m=4n^2+n$

$\Leftrightarrow 4m^2-4n^2+m-n=m^2$

$\Leftrightarrow 4(m-n)(m+n)+(m-n)=m^2$

$\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2$ $(1)$

Đặt $(m-n;4m+4n+1)=d$ ($d\in\mathbb{N^{*}}$)

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} m-n\vdots d &\\ 4m+4n+1\vdots d &\end{matrix}\right.$ $(2)$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 4m-4n\vdots d &\\ 4m+4n+1\vdots d &\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 8m+1\vdots d$

Từ $(1),(2)$ ta có: $m^2\vdots d^2$$\Rightarrow m\vdots d$

Do đó, $1\vdots d$ nên $d=1$

Suy ra: $m-n$ và $4m+4n+1$ là $2$ số nguyên tố cùng nhau $(3)$

Từ $(1),(3)\Rightarrow m-n;4m+4n+1$ là các số chính phương

Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

Ta có: $x(x^2+1)+x^2+1=4y^2+4y+1$

    <=> $(x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$

Vì $y\in\mathbb{Z}$ nên: $2y+1$ lẻ => $(2y+1)^2$ lẻ

Do đó. $x^2+1$ và $x+1$ là các số lẻ.

Đặt $(x^2+1;x+1)=d$ ($d$ là số lẻ vì $x^2+1$ và $x+1$ là các số lẻ.)

=> $d|x^2+1$

và $d|x+1$=> $d|x^2-1$

Do đó $d|x^2+1-x^2+1$

=> $d|2$

Do đó, $d=1$ nên $x^2+1;x+1$ là 2 số nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng là số chính phương nên mỗi số đều là số chính phương,

=> $x^2+1$ là số chính phương

Mà $x^2$ cũng là số chính phương và $x^2;x^2+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên:

$x^2=0$ Khi đó, $y=0$ hoặc $y=-1$ 

Có bao nhiêu số $a$ thỏa mãn:

1) $a$ có $5$ chữ số khác nhau và chữ số $1$ và $2$ cạnh nhau

2) $a$ có $7$ chữ số khác nhau và chữ số $1$ cách chữ số $2$ một chữ số.

3) $a$ có $9$ chữ số, trong đó, chữ số $1$ xuất hiện $3$ lần, các chữ số còn lại khác nhau.

Cho $a,b,c,n,u,v,h$ là các số nguyên dương, $b,c$ là số lẻ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} n=2^s &\\ a-1=2^u.b &\\ a^2-1=2^v.c \end{matrix}\right.$

Đặt $h=ord_n(a)$

Chứng minh rằng:

1) Nếu: $u\geq s$ thì $h=1$

2) Nếu: $u<s$ thì $h=2^{max(1;s-u+1)}$

Cho $4$ điểm: $A,B,C,D$ và $M$.

Thực hiện liên tiếp các phép quay tâm $A,B,C,D$ góc $90^{\circ}$ theo chiều ngược đồng hồ biến điểm $M$ sau $4$ lần thành chính nó.

Chứng minh rằng: $AB=CD; AB\bot CD$

Cho $n\in\mathbb{N^*}$ và: $x_1;x_2;...;x_n>0$

Chứng minh rằng: $(1+x_1)(1+x_1+x_2)...(1+x_1+x_2+...+x_n)\geq\sqrt{(n+1)^{n+1}x_1x_2...x_n}$

Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại $B,C$. $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $A$ là điểm di chuyển trên $(O_1)$, $AB,AC$ lần lượt cắt $(O_2)$ tại điểm thứ hai là $F,E$. Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BE,CF$.

Chứng minh rằng: $AK$ luôn đi qua một điểm cố định

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+xy+y^2} &\\ 4(x+1)(xy+y-1)-3x=\sqrt[3]{x^4-x^2} \end{matrix}\right.$

Cho: $x;p\epsilon [a;b]$ ($a<b$).

Tìm: $min(max(\frac{|p-x|}{x})$

Đề bài:

Cho đa giác lồi $100$ đỉnh. Chứng minh rằng có thể chọn ra $3$ đỉnh sao cho đường tròn đi qua $3$ đỉnh đó chứa các đỉnh còn lại của đa giác.

Cho phương trình $x^2-4x+1=0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$

Chứng minh $x_1^{2002}+x_2^{2002}$ ko là số chính phương và có thể phân tích được thành tổng ba số chính phương liên tiếp.

Đề bài:

Cho $\Delta ABC$. Độ dài 3 cạnh là $a,b,c$; $h_a;h_b;h_c$ là các đường cao tương ứng; $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $\Delta ABC$.

Chứng minh rằng: $\frac{9R}{a^2+b^2+c^2}\leq\sum\frac{1}{h_a+\sqrt{h_b h_c}}\leq\frac{1}{2r}$

Vế sau mình biết làm rồi.

Cho các số tự nhiên $n;k$ thỏa mãn: $n=ab; a+b=10$ và số thập phân (hữu hạn hay vộ hạn) $\frac{k}{n}=\overline{0,a_{1}a_{2}a_{3}...}$ có mọi chữ số $a_i (i=1,2,3,...)$ đều khác $0$. 

Chứng minh rằng hai chữ số thập phân kề nhau bất kì: $a_i;a_{i+1}$ không thể bằng nhau.

Xét dãy số: $\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_n=3_{n-1}+2n^3-9n^2+9n-3 \end{matrix}\right.$ ($n=1;2;3;...$)

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$ thì biêu thức:

$M=2003\sum_{i=1}^{p-1}u_i$ chia hết cho $p$

Đề bài:

Cho hai phương trình:

$(1): x^2+ax+b=0$

$(2): x^2+(a+1)x+b=0$

Có tất cả $4$ nghiệm đều là số nguyên

Tìm $a;b$

Đề bài:

Cho đa giác lồi 100 đỉnh. Chứng minh có thể chọn ra 3 đỉnh sao cho đường tròn đi qua 3 đỉnh đó chứa các đỉnh còn lại của đa giác.

Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang. Các điểm $M,N,P,Q$ theo thứ tự thay đổi trên $AB,BC,CD,DA$ sao cho $MNPQ$ là hình bình hành.

Tìm quỹ tích giao điểm $I$ của $MP,NQ$